高中2.2 直线的方程综合训练题

这是一份高中2.2 直线的方程综合训练题，共4页。试卷主要包含了过两点和的直线在x轴上的截距为，直线l1，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
1．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为( )
A．－ eq \f(3,2)B．－ eq \f(2,3)C． eq \f(2,5)D．2
【答案】A 【解析】直线方程为 eq \f(y－9,1－9)＝ eq \f(x－3,－1－3)，化为截距式为 eq \f(x,－\f(3,2))＋ eq \f(y,3)＝1，则在x轴上的截距为－ eq \f(3,2).
2．已知A(1，2)及AB的中点(2，3)，则B点的坐标是( )
A．(4，－3) B．(3，4)
C．(－4，－3) D．(－4，3)
【答案】B 【解析】设B(x，y)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,2)＝2，,\f(2＋y,2)＝3，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))即B(3，4).故选B.
3．直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)与直线l2： eq \f(x,k)＋ eq \f(y,b)＝1在同一坐标系中的图象可能是( )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B))
eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【答案】D 【解析】因为kb≠0，由四个选项中的l1可知k>0，可排除A，C；当b0时，D符合题意．
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【答案】D 【解析】由直线的方程：ax＋y－2－a＝0得此直线在x轴与y轴上的截距分别为 eq \f(a＋2,a)和2＋a，由 eq \f(a＋2,a)＝2＋a，得a＝1或a＝－2.
5．已知直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，点C(1 009，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 016 B．2 018 C．2 020 D．2 022
【答案】C 【解析】因为直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，所以直线l的方程为 eq \f(y＋6,6＋6)＝ eq \f(x＋4,2＋4)，即y＝2x＋2.又因为点C(1 009，b)在直线l上，所以b＝2×1 009＋2＝2 020.
6．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为( )
A．y＝－ eq \f(2,3)xB．y＝－x
C．y＝ eq \f(2,3)xD．y＝x
【答案】C 【解析】由题意可知l过平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l的方程为 eq \f(x－0,3－0)＝ eq \f(y－0,2－0)，即y＝ eq \f(2,3)x.
7．(多选)过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线可能为( )
A．y＝－2xB．y＝－x－1
C．y＝x－3 D．y＝2x－4
【答案】ABC 【解析】当直线经过原点时，直线的方程为y＝－2x.当直线不经过原点时，设直线的方程为x＋y＝a或x－y＝b.把(1，－2)代入可得a＝－1，b＝3，可得直线方程为x＋y＝－1，x－y＝3，即y＝－x－1，y＝x－3.综上，满足条件的直线分别是y＝－2x，y＝－x－1，y＝x－3.故选ABC.
8．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P恰为AB的中点，则直线l的方程为__________．
【答案】3x－2y＋12＝0 【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为P恰为AB的中点，则 eq \f(x＋0,2)＝－2， eq \f(0＋y,2)＝3，所以x＝－4，y＝6，即A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为 eq \f(x,－4)＋ eq \f(y,6)＝1，即为3x－2y＋12＝0.
9．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________．
【答案】 eq \f(x,2)＋ eq \f(y,6)＝1 【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6)，则l的方程为 eq \f(x,2)＋ eq \f(y,6)＝1.
10．如图，已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．
解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝ eq \f(4,\r(2))＝2 eq \r(2).
所以点A，B，C，D的坐标分别为(2 eq \r(2)，0)，(0，2 eq \r(2))，(－2 eq \r(2)，0)，(0，－2 eq \r(2)).
所以AB所在直线的方程是 eq \f(x,2\r(2))＋ eq \f(y,2\r(2))＝1，
即x＋y－2 eq \r(2)＝0.
BC所在直线的方程是 eq \f(x,－2\r(2))＋ eq \f(y,2\r(2))＝1，
即x－y＋2 eq \r(2)＝0.
CD所在直线的方程是 eq \f(x,－2\r(2))＋ eq \f(y,－2\r(2))＝1，
即x＋y＋2 eq \r(2)＝0.
DA所在直线的方程是 eq \f(x,2\r(2))＋ eq \f(y,－2\r(2))＝1，
即x－y－2 eq \r(2)＝0.
对称轴方程分别为x±y＝0，x＝0，y＝0.
B级——能力提升练
11．直线l： eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )
A．6 B．7 C．8 D．16
【答案】B 【解析】因为a>0，b>0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ eq \f(1,2)ab，于是 eq \f(1,2)ab≥10⇒ab≥20，若a＝1时，没有这样的b满足条件；若a＝3时，b＝8；若a＝5时，b∈{4，6，8}；若a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.故选B.
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【答案】BD 【解析】若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1表示，所以A不正确；当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2∥P1P可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD.
13．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
【答案】3 【解析】直线AB的方程为 eq \f(x,3)＋ eq \f(y,4)＝1，P(x，y)在直线AB上，则x＝3－ eq \f(3,4)y，∴xy＝3y－ eq \f(3,4)y2＝ eq \f(3,4)(－y2＋4y)＝ eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，即xy的最大值是3.
14．(2023年杭州月考)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________，反射光线所在直线的方程为________．
【答案】y＝2x－4 y＝－2x＋4 【解析】∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为 eq \f(y－6,－2－6)＝ eq \f(x＋1,3＋1)，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为 eq \f(y－2,－6－2)＝ eq \f(x－3,－1－3)，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4.
15．直线l过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
解：(1)设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，由题意知a＋b＋ eq \r(a2＋b2)＝12，
又因为直线l过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，
所以 eq \f(4,3a)＋ eq \f(2,b)＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，))
所以直线l的方程为 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,3)＝1或 eq \f(5x,12)＋ eq \f(2y,9)＝1.
(2)设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由题意知ab＝12， eq \f(4,3a)＋ eq \f(2,b)＝1，消去b，
得a2－6a＋8＝0，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6，))
所以直线l的方程为 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,3)＝1或 eq \f(x,2)＋ eq \f(y,6)＝1.