人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算巩固练习，共5页。试卷主要包含了∴BC⊥AC，故选B，设a，b，c为非零向量，则·c，下列关于数量积的运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1.在正方体ABCDA′B′C′D′中，〈 eq \(A′B,\s\up6(→))， eq \(B′D′,\s\up6(→))〉＝( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】D 【解析】连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈 eq \(A′B,\s\up6(→))， eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°，即〈 eq \(A′B,\s\up6(→))， eq \(B′D′,\s\up6(→))〉＝120°.故选D.
2.若O是△ABC所在平面内一点，且满足( eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))·( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.斜三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A 【解析】∵ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，∴ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形.故选A.
3.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为( )
A.6 B. eq \r(6)C.3 D. eq \r(3)
【答案】B 【解析】如图，由题意可知 eq \(AC1,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→))，∴ eq \(AC1,\s\up6(→))2＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→)))2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \(AA1,\s\up6(→))2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))＋2 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2(cs 60°＋cs 60°＋cs 60°)＝6，∴| eq \(AC1,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，即AC1的长为 eq \r(6).故选B.
4.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C 【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DB,\s\up6(→))，∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DB,\s\up6(→)))· eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))2＋ eq \(DB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1.∵| eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，| eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，∴cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝ eq \f(1,2×1)＝ eq \f(1,2).∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.故选C.
5.设a，b，c为非零向量，则(a·b)·c( )
A.是三个向量的数量积B.是与a共线的向量
C.是与c共线的向量D.无意义
【答案】C 【解析】由a，b，c为非零向量可得a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))·cs 〈a，b〉，显然a·b为数量，设为t，则(a·b)·c＝tc，即有(a·b)·c是与c共线的向量，故A，B，D均错误，C正确.故选C.
6.已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是( )
A.a∥bB.a⊥b
C.a与b相交 D.a与b重合
【答案】B 【解析】非零向量b在非零向量a方向上的投影为|b|·cs 〈a，b〉＝0，又因为b≠0，故|b|≠0.所以有cs 〈a，b〉＝0，得〈a，b〉＝ eq \f(π,2)，故a⊥b.故选B.
7.(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是( )
A.|a·b|＝|a|·|b|B.|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)
C.(a·b)·c＝a·(b·c)D.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
【答案】BD 【解析】对于A选项，|a·b|＝|a||b||cs 〈a，b〉|，故A错误；对于B选项，|a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2－2·a·b＋b2)，故B正确；对于C选项，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错误；对于D选项，由数量积的运算律知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故D正确.故选BD.
8.如图，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________.
【答案】7 【解析】因为PA⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥DC.又因为 eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))，所以| eq \(PC,\s\up6(→))|2＝( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))2＝| eq \(PA,\s\up6(→))|2＋| eq \(AD,\s\up6(→))|2＋| eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋2 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＋2 eq \(DC,\s\up6(→))· eq \(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2| eq \(AD,\s\up6(→))|| eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝61－12＝49，所以| eq \(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC的长为7.
9.如图，在四面体ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则 eq \(MN,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＝________.
【答案】－ eq \f(1,4) 【解析】 eq \(MN,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)| eq \(BD,\s\up6(→))|| eq \(DC,\s\up6(→))|·cs 〈 eq \(BD,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(1,2)×1×1×cs 120°＝－ eq \f(1,4).
10.如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))·( eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))；
(2)| eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))|.
解：(1)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))·( eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))＝( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))·( eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))·( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))－2 eq \(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°＋1×1×cs 60°＋12－2×1×1×cs 60°＝1.
(2)| eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))|
＝ eq \r( (\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)))2)
＝ eq \r(\(OA,\s\up6(→))2＋\(OB,\s\up6(→))2＋\(OC,\s\up6(→))2＋2(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→))＋\(OA,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→))))
＝ eq \r(12＋12＋12＋2(1×1×cs 60°)×3)
＝ eq \r(6).
B级——能力提升练
11.已知|a|＝3 eq \r(2)，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，则λ＝( )
A.－1 B.－ eq \f(3,2)C.－2 D.1
【答案】B 【解析】m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3 eq \r(2)×4×cs 135°＋3 eq \r(2)×4×cs 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ.因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－ eq \f(3,2).
12.(多选)如图，在四面体ABCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))B.2 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))C.2 eq \(EF,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))D.2 eq \(FG,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))
【答案】BD 【解析】依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，〈 eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝120°，2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs 120°＝－a2，A不是；对于B，〈 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(BD,\s\up6(→))〉＝60°，2 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝2a2cs 60°＝a2，B是；对于C，因为E，F是AB，AD的中点，则2 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))，而〈 eq \(BD,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))〉＝120°，2 eq \(EF,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＝a2cs 120°＝－ eq \f(1,2)a2，C不是；对于D，因为F，G是AD，DC的中点，则2 eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，2 eq \(FG,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))2＝a2，D是.故选BD.
13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出命题：
①| eq \(A1A,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))|2＝3| eq \(A1B1,\s\up6(→))|2；
② eq \(A1C,\s\up6(→))·( eq \(A1B1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0；
③ eq \(AD1,\s\up6(→))与 eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°；
④此正方体体积为| eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))|.
其中错误命题的序号是__________.
【答案】③④ 【解析】①因为| eq \(A1A,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))|＝| eq \(A1C,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)| eq \(A1B1,\s\up6(→))|，故①正确；②因为 eq \(A1C,\s\up6(→))·( eq \(A1B1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→)))＝( eq \(A1B1,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))＋ eq \(A1A,\s\up6(→)))·( eq \(A1B1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→)))＝ eq \(A1B1,\s\up6(→))2＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))· eq \(A1D1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→))· eq \(A1D1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→))2＝0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但 eq \(AD1,\s\up6(→))与 eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°；④因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))＝0，故④错误，正确的应是| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AA1,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|.
14.已知两个单位向量a，b的夹角为60°.
(1)若c＝λa＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(λ2,2)))b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________.
【答案】(1)－2或3 (2) eq \f(3,2) 【解析】(1) b·c＝λa·b＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(λ2,2)))b2＝λcs 60°＋3－ eq \f(λ2,2)＝ eq \f(－λ2＋λ＋6,2)＝0，所以λ＝－2或λ＝3.
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为 eq \f((a＋b)·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝ eq \f(\f(1,2)＋1,1)＝ eq \f(3,2).
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝ eq \r(2).设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(→))＝c.
(1)试用a，b，c表示向量 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BD1,\s\up6(→))；
(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角.
解：(1)由向量的加减运算法则知
eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b， eq \(BD1,\s\up6(→))＝ eq \(AD1,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b＋c－a.
(2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝ eq \r(2)，
〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，
eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BD1,\s\up6(→))＝(a＋b)·(b＋c－a)＝a·c－a2＋b2＋b·c＝1· eq \r(2)·cs 120°－1＋1＋1· eq \r(2)cs 120°＝－ eq \f(\r(2),2)－ eq \f(\r(2),2)＝－ eq \r(2).
因为| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(2).
| eq \(BD1,\s\up6(→))|＝ eq \r((b＋c－a)2)
＝ eq \r(b2＋c2＋a2＋2(b·c－a·b－a·c))
＝ eq \r(1＋2＋1＋2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))))＝ eq \r(4)＝2，
所以cs 〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BD1,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BD1,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(BD1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(－\r(2),\r(2)·2)＝－ eq \f(1,2).
所以〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BD1,\s\up6(→))〉＝120°，
即AC与BD1所成的角为60°.