河北省沧州市献县献县第五中学、现代中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

这是一份河北省沧州市献县献县第五中学、现代中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题，共23页。
注意事项：1． 仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2． 考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分． 1～6小题各3分，7～16小题各2分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于直线成轴对称，则盖住的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称的定义，挡板盖住的图形为A，只有A能沿直线对折后能与①能够完全重合．
故选A．
2. 在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形判定以及三角形内角和定理．
【详解】解：在中，若，
∴
∵
∴等边三角形．
故选：B．
3. 下列结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法幂的乘方，积的乘方，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
4. 如图，在中，是角平分线． 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和求出． ，再由角平分线的定义得到，由此可利用三角形外角的性质得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，是角平分线，
∴，
∴，
故选B．
5. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. 9C. D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于y轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴
∴
故选：A
6. 若________，则横线上的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
【详解】解：根据乘除法互逆运算可知，横线上的式子为
，
故选：．
7. 如图，在中，是高，下列结论不正确的是（ ）
A. 与互余B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据它的性质一一判断即可．
【详解】解：∵是高，∴，∴与互余，正确，故本选项不符合题意；
．∵中，是高，∴，正确，故本选项不符合题意；
．∵中，是高，，∴，正确，故本选项不符合题意；
．，无法证明，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，点在同一条直线上，． 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．以及内角和定理．
【详解】解：∵，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
又∵
∴，
故选：C．
9. 小王计划在街道1上建一个送奶站，向小区提供牛奶，要使小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的选址正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称的相关知识点，作出点（或点）关于街道l的对称点即可求解．
【详解】解：选项D中：
∴当三点共线时，的值最小，满足题意；
故选：D
10. 如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D. 无法比较的大小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可．
【详解】∵该图是正八边形，
∴，
，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
11. 下图是老师出示的计算题，下列序号处的填写不正确的是（ ）
A. ①处填B. ②处填
C. ③处填D. ④处填
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
【详解】解：
，
故选：．
12. 若的展开式中不含项，则展开式中的一次项系数为（ ）
A 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的乘法，合并同类项，根据展开式中不含项，求出n的值，再代入展开式即可求出展开式中的一次项系数．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含项
∴，
∴，
∴展开式中的一次项系数为．
故选：B．
13. 如图，点在内，且点到三边的距离相等，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理．
【详解】解：∵点P到三边的距离相等，
∴、、是和以及的角平分线
∴，．
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
14. 如图，在中，，要求在上找一点，使将分成两个等腰三角形． 现有如下两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一：作的平分线，使其交于点；
方案二：作的垂直平分线，使其交于点
A. 两种方案都正确B. 只有方案一正确
C. 只有方案二正确D. 两种方案都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定和垂直平分线的性质，对于两种方案均证明，可得结论．
【详解】解：方案一：如图1中，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴为等腰三角形；
方案二：如图2，
∵
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴为等腰三角形；
故选项A正确，
故选：A．
15. 已知，下列结论①；②；③中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法公式，幂的乘方及其逆应用，积的乘方及其逆应用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
故③正确；
故选：D．
16. 题目“如图，，在射线上取一点，设，若的形状、大小是唯一确定的，求的取值范围． ”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 乙、丙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】当时，此时的形状、大小是唯一确定的，
根据直角三角形性质，得，
故甲的说法正确；
当时，以A为圆心，以d为半径的圆与射线有唯一的交点，
故此时的形状、大小是唯一确定的，
故，
故丙的说法正确；
故选B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分． 17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17. 若正边形的每个内角是相邻外角的2倍，则的值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和外角的关系，根据内角和相邻的外角互补计算即可．
【详解】设正边形的外角为n度，则每个内角是2n度，
根据题意，得，
解得，
故，
故答案为：6．
18. 如图，和均为等边三角形，点分别在上．
（1）若，则__________度；
（2）是否与全等？__________．（填“是”或“否”）
【答案】 ①. 88 ②. 是
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．
（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可．
(2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明．
【详解】（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：88．
（2）∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：是．
19. 现有3张卡片、10张卡片、6张卡片，卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲．
（1）若甲为正方形，且边长为，则取了__________张C卡片；
（2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数的值为__________．
【答案】 ①. 4 ②. 5
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟记公式的形式是解题关键．（1）计算即可求解；（2）分解即可求解．
【详解】解：（1），
卡片的面积为
∴取了4张C卡片；
（2）∵
∴或
∵只有6张卡片
∴
故答案为：①4；②5
三、解答题（本大题共7个小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算下列各小题．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算及乘法公式的运用，解题的关键是熟记整式的混合运算顺序，将各式化为平方差公式进行运算，本题属于基础题型．
（1）利用整式的混合运算顺序求解即可；
（2）利用整式的混合运算顺序求解即可；
（3）利用平方差公式简算即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
21. 按要求完成下列各小题．
（1）如图1，在四边形中，平分，求的度数；

（2）如图2，某公园绿化带内有两个喷水管，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到的距离相等，且到两个喷水管的距离也相等，请你用尺规在图中标出水泵的位置． （不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，角的平分线的定义，尺规作角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握定理和作图是解题的关键．
(1) 根据四边形内角和定理，三角形内角和定理，角的平分线的定义计算即可．
(2) 根据尺规作角的平分线，线段的垂直平分线画图即可．
【小问1详解】
∵在四边形中，，
．
平分，
，
．
【小问2详解】
根据题意，分别作的平分线，作线段的垂直平分线，二线交于点O，

则点O即为所求．
22. 如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为；乙正方形的边长为，面积为． （其中为正整数）
（1）请用含的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）； ；41
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，求代数式的值，
（1）根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算即可，根据代数式的值计算求解即可．
（2）利用作差法计算比较即可．
【小问1详解】
∵长方形的两边长分别为，面积为；
∴
．
∵乙正方形的边长为，面积为，
∴．
∴
，
当时，
．
【小问2详解】
∵， ，
∴
，
∴．
23. 如图，是的两条高，且交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】23. 见解析
24.
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识．
（1）由，推出，，推出，根据即可证明；
（2）由．推出，由，推出，根据直角三角形两锐角互余可求出，由此即可解决问题．
【小问1详解】
∵是高，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
，
．
24. 发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
验证：（1）___________；
（2）设两个正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确；
拓展：（1）已知，，求的值；
（2）直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数．
【答案】验证：（1）8；（2）；拓展：（1）8；（2）两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是4的倍数
【解析】
【分析】验证：（1）根据题意可直接进行求解；（2）利用完全平方公式可进行求解；
拓展：（1）根据完全平方公式可进行求解；（2）根据完全平方公式可进行求解．
【详解】解：验证：（1）；
故答案为8；
（2）由题意得：；
拓展：（1）∵，，
∴；
（2）设两个正整数为m，n，
∴，
∴两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是4的倍数．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
25. 如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）判断是否垂直平分线段？并说明理由；
（3）若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线段，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定和性质，
（1）根据题意得，则，根据角平分线的性质得，即可证得；
（2）根据等腰三角形性质和角平分线性质得，得到即可证明结论；
（3）当，求得，即可求得；当，先求出，进而根据求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是角平分线，，，
∴，
∴．
【小问2详解】
垂直平分线段；
理由：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
垂直平分线段；
【小问3详解】
如图，当，则，
∴；
如图，当，则，
∴
综上所述，为或．
26. 如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系；
（3）如图2，当点在线段的延长线上运动时．
①__________度；
②当时，求的长；
（4）连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②16
（4）20
【解析】
【分析】（1）根据题意得和即可证得结论；
（2）利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得线段之间的关系；
（3）①利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得答案；
②由，结合题意可得，利用含角的直角三角形性质即可求得答案；
（4）作点关于的对称点，连接，有，由（2）和（3）得到点从点沿射线运动过程中，点在外角的角平分线上运动，将最小转化为最小，当点与点重合时，最小即可．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
是等边三角形；
【小问2详解】
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在与中，
，
∴，
∵，
∴，
【小问3详解】
①和是等边三角形，
∴，，
∴，
则，
∴，
即；
②由①可得．
是等边三角形，
∴，，
．
，
，
，
；
小问4详解】
作点关于的对称点，连接，如图，
则，
由（2）和（3）可知动点从点沿射线运动过程中，，，
即点在外角的角平分线上运动，
若最小，即最小．
当点与点重合时，最小，
此时最小值为，
则最小值为20．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质和求解点的运动轨迹，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和找到点的运动轨迹．