河北省沧州市献县万村中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023~2024学年第一学期九年级学情质量检测（一）

数学试卷

（考试时间：120分钟，满分：120分）

卷Ⅰ（选择题，共38分）

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）

A.0 B. C.1 D.

2.下列方程中，有两个相等实数根的是（   ）

A. B. C. D.

3.已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ）

A. B. C. D.或

4.若方程有一个根是1，则另一个根是（   ）

A.1 B. C.-3 D.2

5.抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（   ）

A.  B.

C. D.

6.若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ）

A. B. C. D.

7.关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则的值为（   ）

A. B.1 C.2 D.

8.抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（   ）

A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限

9.二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是（   ）

A. B. C. D.

10.若，，则与的大小关系为（   ）

A. B. C. D.

11.若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（   ）

A.， B.， C.， D.，

12.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ）

A.  B.

C.  D.

13.四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（   ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

14.已知点在二次函数的图象上，则的最小值为（   ）

A. B.8 C. D.9

15.平面直角坐标系上有两个二次函数的图形，其顶点皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于四点，各点位置如图所示，若，，，则的长为（   ）

A.7 B.8 C.-9 D.9

16.某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）.有下列结论：

①

②池底所在抛物线的解析式为

③池塘最深处到水面的距离为1.8m

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的

其中结论正确的个数有（   ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

卷II（非选择题，共82分）

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分）

17.将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是____________.

18.如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为______，此盒子体积是_______.

19.在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，且点在点的左侧.

（1）点的坐标为______________；

（2）当时，抛物线的最小值为，则的值为_____________.

三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（本小题满分9分）

解方程：

（1）；  （2）

21.（本小题满分9分）

已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为.

（1）求点的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；

（2）设一次函数的图象经过两点，请直接写出满足的的取值范围.

22.（本小题满分9分）

已知关于的一元二次方程.

（1）求证：不论为何值，方程总有实数根；

（2）若该方程有两根为，且，求的值.

23.（本小题满分10分）

某工厂利用空地新建一个矩形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米.已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该矩形电动车棚与院墙垂直的一边长为米.

图1       图2

（1）求与墙平行的一边长为__________米；（用含的代数式表示）

（2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

24.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”.已知二次函数.

（1）当时，求二次函数上的“零和点”；

（2）若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，求的值.

25.（本小题满分12分）

某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的.在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件.设销售单价为元（销售单价不低于35元）

（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？

（2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数解析式；

（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

26.（本小题满分13分）

如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标；

（3）若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值.

2023-2024学年第一学期九年级学情质量检测（一）

数学试卷（人教版）参考答案

本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分。

一、选择题

1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.D 12.D 13.B 14.C 15.B 16.B

二、填空题

17. 18.2   48

19.（1） （2）1或

三、解答题

20.解：（1），

，

，；

（2），，，，

，

，.

21.解：（1）对于抛物线，

令，得到，解得或3，，

令，得，，

，顶点的坐标.

图形如图所示；

（2）满足的的取值范围为.

22.（1）证明：，，，

，

，即，

不论为何值，方程总有实数根；

（2）解：是关于的一元二次方程的两个实数根，

，，

，即，

，

整理得，，解得，，

的值为0或.

23.解：（1）；

（2）当时，（米），

设小路的宽为米，

由题意得，，

整理得，，

解得（舍去），，

答：小路的宽为1米.

24.解：（1）当时，二次函数的解析式为，

根据“零和点”的定义得，，

，，解得，，

二次函数上的“零和点”为或；

（2）根据“零和点”的定义得，，

二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，

方程，即有两个相等的实数根，

，解得.

25.解：（1），

且当时，每天的销售量为（件），

当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；

（2）由题意得，

；

（3），

，对称轴为直线，，

当时，，

答：当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元.

26.解：（1）将，，代入，

，解得

二次函数的解析式为；

（2），

抛物线的对称轴为直线，

如图1，作点关于对称轴的对称点，连接并延长与对称轴交于点，

，，

此时有最大值，

，

设直线的解析式为，

解得

直线的解析式为，

点的坐标；

（3）如图2，过点作轴交于点，

，，

设的解析式为，

解得

直线的解析式为，

设，则，

，，

，，

当时，四边形的面积最大，最大值为4.

图1                图2