专题8.1 北师大版必修第一册综合检测卷-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022春·陕西西安·高二校联考期中）已知全集U=1,2,3,4,5,6，集合P=1,3,5，集合Q=1,2,4，则∁UP∩Q=（ ）
A．1B．3,5
C．2,4D．1,2,4,6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】全集U=1,2,3,4,5,6，集合P=1,3,5，则∁UP={2,4,6}，而Q=1,2,4，
所以∁UP∩Q={2,4}.
故选：C
2．（2022秋·北京顺义·高一统考期末）已知|m|>|n|>0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．m>nB．|m|+n>0
C．m+n0，而不满足m>n，所以A错误，
对于B，当n>0时，则|m|+n>0一定成立，当n|n|>0，得m>−n，则|m|+n>0，所以B正确，
对于C，若m=2,n=1时，满足|m|>|n|>0，而不满足m+n|n|>0，而不满足1m0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．ab≥2B．a+b≤2
C．2a+1b≥3D．a2+b2≥2
【答案】D
【分析】根据不等式串21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】对于选项A：∵ab≤a+b22=1，当且仅当a=b时取等号，∴A错误；
对于选项B： a+b2≤a+b2=1，a+b≤2，∴B错误；
对于选项C ：2a+1b=12a+b2a+1b=123+2ba+ab≥3+222，
因为3+2224时的函数值符号即可判断作答.
【详解】函数fx=lnx−3x−33定义域为(−∞,3)∪(3,+∞)，其 图象可由函数g(x)=ln|x|x3(x≠0)的图象右移3个单位而得，
而g(−x)=ln|−x|(−x)3=−g(x)，即函数g(x)=ln|x|x3是奇函数，其图象关于原点对称，
因此，函数fx图象关于点(3,0)对称，选项A，B不满足；
又当x>4时，ln|x−3|>0，(x−3)3>0，即有fx>0，则当x>4时，fx图象在x轴上方，D不满足，
所以函数fx=lnx−3x−33的部分图象大致为C.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a,b,12，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A．12B．35C．34D．310
【答案】D
【分析】根据互相独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，则ab⋅1−12+12a(1−b)+12b(1−a)=15，所以12(a+b)−12ab=15，所以a+b−ab=25，所以该同学一个社团都不进入的概率P=(1−a)(1−b)⋅1−12=12[1−(a+b)+ab]=12{1−[(a+b)−ab]}=12×1−25=310．
故选：D．
8．（2022秋·云南昆明·高一东川明月中学校考期末）1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶−90，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶−90含量减少至初始含量的约1.6×10−9倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（ ）(参考数据：lg 2≈0.301，lg 975≈2.989)
A． 400年B．600年C．800年D．1000年
【答案】C
【分析】根据衰减率，列出方程，求解该次核泄漏对自然环境的影响消除时持续时间.
【详解】设初始含量为a，则a(1−2.5%)n=1.6×10−9a，即(9751000)n=161010，两边取对数得n=lg16−10lg975−3=10−4lg23−lg975≈800.
故选：C.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x,y}⊆A，则xy，x+y∈A，且当x≠0 时，yx∈A，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，y∈A，则x−y∈A
【答案】BC
【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
【详解】A选项：若x=2，y=1，而12∉Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合−1,0,1是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合A={−1,0,1}是“紧密集合”，当x=1，y=−1时，x−y=2∉A，D错误．
故选：BC.
【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.
10．（2022春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考开学考试）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a=0.005
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【分析】由频率和为1求参数a，判断A；由直方图求60分以下的人数、求[60,80)的频率判断B、C；由中位数的性质求中位数即可判断D.
【详解】因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1，所以a=0.005，所以A正确；
因为不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40，所以B正确；
因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为60+≠65，所以D错误．
故选：ABC.
11．（2022·高一课时练习）已知数据x1，x2，…，xn的平均数为x，标准差为s，则（ ）
A．数据x12，x22，…，xn2的平均数为x2，标准差为s2
B．数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2x，标准差为2s
C．数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为x＋2，方差为s2
D．数据2x1－2，2x2－2，…，2xn－2的平均数为2x－2，方差为2s2
【答案】BC
【分析】举反例得到A错误，再根据平均值和方差的性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】取x1=1,x2=3，则x=2，x12=1,x22=9，x2=5，故x2≠x2，A错误；
数据2x1,2x2,⋅⋅⋅,2xn的平均数为2x，标准差为2s，B正确；
数据x1+2,x2+2,⋅⋅⋅,xn+2的平均数为x+2，方差为s2，C正确；
数据2x1−2,2x2−2,⋅⋅⋅,2xn−2的平均数为2x−2，方差为4s2，D错误.
故选：BC
12．（2022秋·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）一般地，若函数fx的定义域为a,b，值域为ka,kb，则称a,b为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为a,b，值域也为a,b，则称a,b为fx的“跟随区间”．下列结论正确的是（ ）
A．若1,b为fx=x2−2x+2的“跟随区间”，则b=2
B．函数fx=1+1x存在“跟随区间”
C．若函数fx=m−x+1存在“跟随区间”，则m∈−14,0
D．二次函数fx=−12x2+x存在“3倍跟随区间”
【答案】AD
【分析】对A，由跟随区间的定义可得b2−2b+2=b，求解即可；对B，根据定义得出{a=1+1bb=1+1a可求解；对C，根据定义得出{b=m−a+1a=m−b+1，解得a+1+b+1=1，令t=a+1化简可判断t2−t−m=0在区间[0,1]上有两根不相等的实数根；对D，根据定义设定义域为[a,b]，值域为[3a,3b]，可得讨论当a1故b=2．故A正确；
对B，因为函数f(x)=1+1x在区间(−∞,0)与(0,+∞)上均为减函数，故若f(x)=1+1x存在跟随区间[a,b]则有{a=1+1bb=1+1a，解得：{a=1−52b=1+52，但0∈[a,b]，
故不存在，B错误．
对C，若函数f(x)=m−x+1存在跟随区间[a,b]，因为f(x)=m−x+1为减函数，故由跟随区间的定义可知{b=m−a+1a=m−b+1⇒a−b=a+1−b+1，a0，则a>0，b>0，
所以，b+2aab=1a+2b=1，
因为a+8b=a+8b1a+2b=17+8ba+2ab≥17+28ba⋅2ab=25，
当且仅当a=2b时，等号成立，故a+8b的最小值为25.
故答案为：25.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2023秋·河南·高一校联考期末）已知b>a>1，lgab=2，a+b=6．
(1)求a,b的值；
(2)解不等式：bx−6ax+8