高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题65必修第一册全册综合测评(一)(原卷版+解析)

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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题65必修第一册全册综合测评(一)(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，则A∩∁RB＝( )
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|12}
2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A.eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a) B.eq \f(1,a)＞eq \f(1,b) C．|a|＞|b| D．a2＞b2
4．函数f(x)＝eq \f(x2,\r(x2－1))＋lg(10－x)的定义域为( )
A．R B．[1,10] C．(－∞，－1)∪(1,10) D．(1,10)
5．已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
6．已知a＝lg29－lg2eq \r(3)，b＝1＋lg2eq \r(7)，c＝eq \f(1,2)＋lg2eq \r(13)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
7．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)等于( )
A.eq \f(2\r(2),5) B．－eq \f(\r(2),5) C.eq \f(\r(2),5) D．－eq \f(2\r(2),5)
8．将函数f(x)＝2eq \r(3)cs2x－2sinxcsx－eq \r(3)的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,6)
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
A．y＝|x|； B．y＝x3； C．y＝2|x|； D．y＝x2＋|x|.
10．若幂函数f(x)＝xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可能为( )
A．-2 B．eq \f(1,2) C．－1D．2
11．已知函数①y＝sin x＋cs x，②y＝2eq \r(2)sin xcs x，则下列结论不正确的是( )
A．两个函数的图象均关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－eq \f(π,4)成轴对称图形
C．两个函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
12．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，给出下列命题：
A．f(x)的最大值为eq \r(2)；
B．f(x)的最小正周期是2π；
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是减函数；
D．将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向右平移eq \f(π,24)个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题是( )
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知关于实数x的不等式2x2－bx＋c<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，则b＋c的值为________．
14．计算：eq \f(1－cs210°,cs 800°\r(1－cs 20°))＝________.
15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是_____．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合A＝{x|x2－7x＋6<0}，B＝{x|4－t(1)当t＝4时，求A∪B及A∩∁RB；
(2)若A∪B＝A，求实数t的取值范围．
18．已知A(csα，sinα)，B(csβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝eq \f(\r(10),5).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)若csα＝eq \f(3,5)，求csβ的值．
19．已知f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调增区间．
20．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围．
21．某村电费收取有以下两种方案供用户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一收费L(x)(单位：元)与用电量x(单位：度)间的函数关系；
(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
22．已知f(x)＝lg4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝lg4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
专题65 必修第一册全册综合测评(一)
考试时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，则A∩∁RB＝( )
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|12}
[解析]A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|(x－1)(x－2)<0}＝{x|1则∁RB＝{x|x≥2或x≤1}，则A∩∁RB＝{x|0≤x≤1或x≥2}．
2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp.故p是q的充分不必要条件．
3．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A.eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a) B.eq \f(1,a)＞eq \f(1,b) C．|a|＞|b| D．a2＞b2
[解析]取a＝－2，b＝－1，则eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a)不成立．
4．函数f(x)＝eq \f(x2,\r(x2－1))＋lg(10－x)的定义域为( )
A．R B．[1,10] C．(－∞，－1)∪(1,10) D．(1,10)
[解析]要使函数f(x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1>0，,10－x>0，))解得x<－1或15．已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
[解析]函数f(x)＝x2－ax图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，
根据二次函数的性质可知eq \f(a,2)≤0或eq \f(a,2)≥1，解得a≤0或a≥2.故选D.
6．已知a＝lg29－lg2eq \r(3)，b＝1＋lg2eq \r(7)，c＝eq \f(1,2)＋lg2eq \r(13)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
[解析]a＝lg29－lg2eq \r(3)＝lg23eq \r(3)，b＝1＋lg2eq \r(7)＝lg22eq \r(7)，c＝eq \f(1,2)＋lg2eq \r(13)＝lg2eq \r(26)，
因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且2eq \r(7)＞3eq \r(3)＞eq \r(26)，所以b＞a＞c.
7．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)等于( )
A.eq \f(2\r(2),5) B．－eq \f(\r(2),5) C.eq \f(\r(2),5) D．－eq \f(2\r(2),5)
[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)＝eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \f(\r(2),2)csα＋eq \f(\r(2),2)csα＝eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \r(2)csα.
∵sinα＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴csα＝－eq \f(3,5).∴eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \r(2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),5).[答案] B
8．将函数f(x)＝2eq \r(3)cs2x－2sinxcsx－eq \r(3)的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,6)
[解析]将函数f(x)＝2eq \r(3)cs2x－2sinxcsx－eq \r(3)＝eq \r(3)cs2x－sin2x＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移t(t>0)个单位，可得y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2t＋\f(π,6)))的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
则t的最小值为eq \f(π,6).故选D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
A．y＝|x|； B．y＝x3； C．y＝2|x|； D．y＝x2＋|x|.
[解析]对于A，y＝|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于B，y＝x3是奇函数；对于C，y＝2|x|是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于D，y＝x2＋|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有A C，故选AC.
10．若幂函数f(x)＝xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可能为( )
A．-2 B．eq \f(1,2) C．－1D．2
[解析] ∵幂函数f(x)＝xm在区间(0，＋∞)上单调递减，∴m<0，由选项可知，选AC
11．已知函数①y＝sin x＋cs x，②y＝2eq \r(2)sin xcs x，则下列结论不正确的是( )
A．两个函数的图象均关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－eq \f(π,4)成轴对称图形
C．两个函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
[解析]①y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ，0))，k∈Z，对称轴为x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝eq \r(2)sin 2x图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ，0))，k∈Z，对称轴为x＝eq \f(π,4)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))，k∈Z，最小正周期为π.故选ABD.
12．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，给出下列命题：
A．f(x)的最大值为eq \r(2)；
B．f(x)的最小正周期是2π；
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是减函数；
D．将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向右平移eq \f(π,24)个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题是( )
[解析] f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))，
∴函数f(x)的最大值为eq \r(2)，最小正周期为π，
又当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))时，2x－eq \f(π,12)∈[0，π]，∴函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是减函数，故C正确；
由D得y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,24)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))，故D正确．
[答案] ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知关于实数x的不等式2x2－bx＋c<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，则b＋c的值为________．
[解析]∵一元二次不等式2x2－bx＋c<0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，∴－1，eq \f(3,2)是方程2x2－bx＋c＝0的两根，
由根与系数关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋\f(3,2)＝\f(b,2)，,－1×\f(3,2)＝\f(c,2)，))即b＝1，c＝－3.∴b＋c＝－2.
14．计算：eq \f(1－cs210°,cs 800°\r(1－cs 20°))＝________.
[解析]eq \f(1－cs210°,cs 800°\r(1－cs 20°))＝eq \f(sin210°,cs720°＋80°·\r(2sin210°))＝eq \f(sin210°,cs 80°·\r(2)sin 10°)＝eq \f(sin210°,sin10°·\r(2)sin10°)＝eq \f(\r(2),2).
15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
[解析]当t＝0.5时，y＝2，所以2＝eeq \f(k,2)，所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是_____．
[解析]∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，∴f(x)＝－1或f(x)＝－eq \f(1,k)(k≠0)．
① ② ③
(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；
(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－eq \f(1,k)无解，
即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；
(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1有1个实根，
∵f((x))－2＝0有3个实根，∴f(x)＝－eq \f(1,k)有2个实根，∴1＜－eq \f(1,k)≤3，解得－1＜k≤－eq \f(1,3).
综上，k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3))).
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合A＝{x|x2－7x＋6<0}，B＝{x|4－t(1)当t＝4时，求A∪B及A∩∁RB；
(2)若A∪B＝A，求实数t的取值范围．
[解析] (1)解二次不等式x2－7x＋6<0，得1当t＝4时，B＝{x|0所以A∪B＝{x|0(2)由A∪B＝A，得B⊆A，
①当4－t≥t，即t≤2时，B＝∅，满足题意，
②B≠∅时，由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－t综合①②得，实数t的取值范围为(－∞，3]．
18．已知A(csα，sinα)，B(csβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝eq \f(\r(10),5).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)若csα＝eq \f(3,5)，求csβ的值．
[解析] (1)由|AB|＝eq \f(\r(10),5)，得eq \r(csα－csβ2＋sinα－sinβ2)＝eq \f(\r(10),5)，
∴2－2(csαcsβ＋sinαsinβ)＝eq \f(2,5)，∴cs(α－β)＝eq \f(4,5).
(2)∵csα＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，α，β为锐角，∴sinα＝eq \f(4,5)，sin(α－β)＝±eq \f(3,5).
当sin(α－β)＝eq \f(3,5)时，csβ＝cs[α－(α－β)]＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq \f(24,25).
当sin(α－β)＝－eq \f(3,5)时，csβ＝cs[α－(α－β)]＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴csβ＝eq \f(24,25).
19．已知f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调增区间．
[解析] (1)因为f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)＝4cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)cs2x－eq \r(3)＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \f(2π,3)＝eq \r(3).
(2)因为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以函数的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
20．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2，∴c＝3－a.
又6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，∴－eq \f(1,3)＜a＜eq \f(4,3).
又a∈N*，∴a＝1，c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.
(2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1,2]，则由已知得
当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2.
当1＜m－1＜2，即2＜m＜3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解．
当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解．
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]．
21．某村电费收取有以下两种方案供用户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一收费L(x)(单位：元)与用电量x(单位：度)间的函数关系；
(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
[解析] (1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x；当x>30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，
∴L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋0.5x，0≤x≤30，,0.6x－1，x>30.))(注：x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时，令L(x)＝2＋0.5x＝35得x＝66，舍去；
当x>30时，由L(x)＝0.6x－1＝35得x＝60，∴老王家该月用电60度．
(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x.
当0≤x≤30时，由L(x)25，∴25当x>30时，由L(x)综上，25故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．
22．已知f(x)＝lg4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝lg4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即lg4(4－x＋1)－kx＝lg4(4x＋1)＋kx，
化简得lg4eq \f(4－x＋1,4x＋1)＝2kx，lg44－x＝－x＝2kx，则有(2k＋1)x＝0.对任意的x∈R恒成立，
于是有2k＋1＝0，k＝－eq \f(1,2).
(2)∵f(x)＝lg4(4x＋1)－eq \f(1,2)x，f(x)＝lg4(a·2x－a)有且只有一个根，∴lg4(4x＋1)－eq \f(1,2)x＝lg4(a·2x－a)，
即(1－a)(2x)2＋a·2x＋1＝0有唯一实根．
令t＝2x，则关于t的方程(1－a)t2＋at＋1＝0有唯一的正根．
①当1－a＝0即a＝1时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0，则t＋1＝0，即t＝－1，不符合题意．
②当1－a≠0即a≠1时，Δ＝a2－4(1－a)＝a2＋4a－4＝(a＋2)2－8.
若Δ＝0，则a＝－2±2eq \r(2)，此时，t＝eq \f(a,2a－1).
当a＝－2＋2eq \r(2)时，则有t＝eq \f(a,2a－1)＜0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，不符合题意；
当a＝－2－2eq \r(2)时，则有t＝eq \f(a,2a－1)＞0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2a－1)－1))＝eq \f(a2－a,2a－1)＞0，
方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．
若Δ＞0，则方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．
于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,\f(1,1－a)＜0，))由此解得a＞1.
综上所述，a＞1或a＝－2－2eq \r(2).