2023届四川省内江市威远中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省内江市威远中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据分式不等式解法和对数型函数的定义域可分别求得集合，根据交集的定义求得结果.
【详解】，
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解和对数型函数的定义域求解，属于基础题.
2．复数的共轭复数是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：,,故选D.
【解析】复数的运算与复数相关的概念.
3．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
5．为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．这30名学生测试得分的中位数为6
B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等
C．这30名学生测试得分的平均数比中位数小
D．从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识
【答案】D
【分析】利用中位数，众数，平均数的计算方式可判断各个选项.
【详解】对于A，这30名学生测试得分的中位数为，故A错误；
对于B，这30名学生测试得分的众数为5，故B错误；
对于C，这30名学生测试得分的平均数为，故C错误；
对于D，因为抽取的30名学生测试得分普遍偏低，所以预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识，故D正确．
故选：D
6．函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
故选：D.
7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图可知，，，从而可求出，，进而由可求得答案
【详解】解：由图可知，，
所以，，或，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，，或
因为，所以，
所以，
由，
解得，
所以的单调递减区间为，
故选：D
【点睛】此题考查由三角函数的部分图像求解析式，考查三角函数的图像和性质，属于中档题
8．设函数,则使成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
【解析】抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．
9．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
10．将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）
A．18种B．36种C．48种D．60种
【答案】D
【详解】试题分析：当甲一人住一个寝室时有：种，当甲和另一人住一起时有：，所以有种.
【解析】排列组合.
11．已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0B．C．D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法.
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
[方法三]：构造法.
设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点.
将，代入，即得
∴，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数和的图象都关于对称,
所以两函数的交点也关于对称,
对于每一组对称点和，都有.
从而.故选B.
【解析】函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.
12．已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
则时，，单调递减，时，，单调递增.所以
根据，
所以，所以.
故选：A.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：构造新函数或者进行参变分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围.
二、填空题
13．的展开式中常数项为___________.
【答案】141
【分析】根据二项式定理展开式可得通项为，再得得展开式通项为，并确定与的取值范围，则可得常数项时的取值，即可得展开式的常数项.
【详解】解：的展开式的通项为，其中
又的通项为，其中
则取常数项时，则的可能取值为，对应的的取值为
则的展开式的常数项为：.
故答案为：141.
14．已知数列的通项公式则数列的前n项和___________.
【答案】
【分析】根据题意，由裂项相消求和即可.
【详解】因为，
，
．
故答案为：
15．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则__________.
【答案】2
【分析】由奇偶性和对称性求出函数周期，求出一个周期内函数值，进而得解.
【详解】因为，所以函数关于直线对称，
则，又函数是定义域为的奇函数，
所以，则函数的周期，
因为，则，，
，所以，
由于，所以．
故答案为：.
16．在中，内角对边分别为，已知，且，记边的中点为，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由正弦定理得，再由余弦定理得，利用两边平方得，由余弦定理和基本不等式可得，于是求出的最大值，从而求得答案.
【详解】因为 ，，
所以，由正弦定理得，
再由余弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
因为且，故由余弦定理知，
所以，当且仅当时取等，
于是的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．
（1）求与的通项公式；
（2）令，求的前项和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据与的关系可求，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）∵，，
∴，当时，满足上式，
，，
由于，∴，∴
（2）由（1）得，，①
∴，②
①②得，
∴.
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且满足：.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；
（2）由（1）求出，用余弦定理得出关系式，运用基本不等式，可求出结论.
【详解】解：（Ⅰ）由，，
得，，
在中，由正弦定理
得，
化简得，
因，所以.
（Ⅱ）在中，由（1）得，由余弦定理得，
，所以，
当且仅当时“”成立.
因，
所以当且仅当时，面积的最大值为.
【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题.
19．已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）