人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展八：导数隐零点问题的6种考法总结-直击高考考点归纳（学生版）-讲义

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拓展八：导数隐零点问题的6种考法总结零点：设函数 ，若实数满足，则称为函数的零点.从函数图像上看，函数的零点即为其图像轴交点的横坐标.隐零点：若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点.零点存在定理：设函数是定义在上的连续函数，且满足，则存在实数，使得.换句话说，函数在上存在零点.结合函数的性质，还可以精确判断函数在上的零点个数.另外，该定理往往用来判断零点所属区间.隐零点问题的一般求解策略：第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是： （1）在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探；（2）在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探.第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式.第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解.注：同时对于导数隐零点问题，需要重点关注其中的三个过程，包括零点确定性过程、最值表达式的变形过程及整体代人过程，具体内容如下:（1）隐性零点确认，确认隐性零点可直接利用零点存在性定理，也可由函数的图像特征，以及题设条件来推导而隐性零点的范围界定，主要由所求问题来决定，解析尽可能缩小其取值范围（2）表达式的变形过程中，尽可能将复杂的表达式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，为后续的探究做铺垫（3）整体代人过程基于的是数学的设而不求思想，对于其中的超越式，尽可能化为常见的代数式注：1.理解隐零点定义，总结确定方法"隐零点"本质上还是零点，是基于精准求解而设定的零点划分，学习时需要关注其本质，把握“难以精确定位”和"准确求极值"对"隐零点"的定义，故“隐零点”的存在性是一定的。另外需要关注“隐零点”的确定方法，上述总结了零点存在性定理、函数图像、题设条件三种，理解方法原理，掌握方法技巧极为关键。故教学中需要注重对“隐零点”两大内容的剖析，一是“隐零点”的定义设定，二是"隐零点"的确定方法，教学中可对比"显零点"，结合实例具体探究.2.归纳三步策略，强化解析思维上述所归纳的"三步法"是求解导数"隐零点"的重要方法，构建了"零点判断→单调性分析→代入转化”的解析思路.三步过程之间紧密相关，具有严密的逻辑顺序，严格按照该方法求解可实现问题的高效作答.而在实际教学中，除了需要指导学生掌握“三步法”的构建思路外，还要注重解题引导，培养学生的解析思维.让学生亲历探究过程，通过设问引导来完善学生的数学思维，从根本上提升学生的能力.3.掌握转换方法，积累变形经验变形转换是求解导数“隐零点”问题的重要环节，将直接确定问题走向，该环节需要使用一定的方法技巧.常见的转换方法有分离参数、变更主元、整体代换、分离函数等，对于涉及参数的不等式问题，可采用分离参数来简化，然后基于代数式构造函数来研究性质，同时配合整体代换实现函数的简洁化，而变更主元常用于导函数无法求出零点的情形. 教学中要指导学生掌握上述转换技巧的内涵，然后结合实例具体讲解，帮助学生积累简化经验，提升学生的运算能力.考点一 自变量代换（直接代换）1．（2022·陕西渭南·统考一模）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求证：函数的图象在x轴上方.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.【详解】（1），令则.当时，，∴函数在上单调递增；当时，，∴函数在上单调递减.即的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），，易知单调递增，又，，∴在上存在一个，使得：，即：，且，当，有单调递减；当，有单调递增.∴，∴，∴函数的图象在x轴上方.【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.2．（2023·贵州·校联考一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数a的最小值．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)2【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论.（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【详解】（1）的定义域为，（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；（ⅱ）当时，令，令，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由，可得：，∵，∴原命题等价于对恒成立．令，∴，令，∴，∴在上单调递增．又，故存在唯一的，使得．当时，，∴，∴在上单调递增，当时，，∴，∴在上单调递减．∴，∴时，恒成立．∴，又，∴a的最小整数值为2．【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.第一步设出隐零点，然后代入得到等式，第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值第三步极值分离出代入，化简成新的表达式第四步求的最值.3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．（1）证明：在区间内存在唯一的零点；（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；（2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，当时，，∴在上单调递增，∵，，∴在区间内存在唯一的零点．（2）解：∵，且，∴，令，则，，由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，设该零点为，则，故当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，∴，∴，故整数的最大值为3．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中为正实数.(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)当时，，求的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；（2）当时，成立，所以；当时，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，然后利用求出即可得答案.(1)解：当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，设切线与两坐标轴交点为，所以；(2)解：由题意，当时，即恒成立，当时，成立，所以；当时，因为，所以恒成立，即，令，，则，令，，则，，令，，由二次函数的知识有在上单调递减，因为，，所以存在使得，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以存在，使得，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，即，所以在上单调递减，所以，所以，综上，的取值范围为.5．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）已知函数.（1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值；（2）当时，证明：.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【分析】（1）求导可得解析式，利用导数的几何意义，求得切线斜率，又，代入点斜式方程，可求得切线方程，分别令、，结合面积为4，即可求得答案.（2）当时，所求变形为，设，利用导数求得的单调性和极值，综合分析，即可得证.【详解】（1）由，∴，又，∴切线方程为，（）.当时，；当时，，由题意可得，解得或.（2），，当时，，令，则，设的零点为，则，即且，∴在上递减，上递增，∴，∴时，恒成立，从而恒成立，∴当时，.（或根据证明）【点睛】解题的关键是掌握导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需根据a的范围，进行合理变形，进而直接求证即可，属中档题.6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，根据，得到关于的方程，求出的值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调性，从而确定的范围即可．【详解】(1)，因为，所以.(2)设，则，设，注意到，，①当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立.所以在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意.②当时，，，，使得，当时，，所以，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以当时，，不符合题意.综上所述，，即实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了导数在函数的单调性，最值中的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．考点二 参数代换7.（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)，所以，，   所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过点，所以解得．(2)设，则，   设，则，因为在上递增，所以当时，，当时，所以在上递减，在上递增，所以，   令，则所以在递减，因为，所以，所以．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数求得，再利用函数的单调性结合可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题8．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ，，三种情况讨论可得单调区间.（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且 所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.试题解析：（Ⅰ），，令，，若，即，则，当时，，单调递增，若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.若，即，则有两个零点，，由，得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.此时，就是函数在区间的唯一零点.所以，从而有，又因为，所以，令，则，设，则，再由（1）知：，，单调递减，又因为，，所以，即点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.9．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考阶段练习）已知函数．(1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知当时，不满足；进而讨论当 时，存在唯一零点，当 时，单调递增，当 时， 单调递减，故，解得 ，最后利用求解；（2）由题知，再令 得，故研究函数 性质得 在上有唯一的零点 ，且满足，进而得答案.(1)解：当时，，不满足对任意实数，都有恒成立；当时，，令，则所以函数单调递减，由于，，所以存在唯一零点，使得 ，所以当时，单调递增，当 时，单调递减，所以令， ，故在定义域内是的单调函数，由于，所以的解集为 ，所以，即实数a的取值范围是(2)解：当时，，由，所以，所以，令，则，即 ，令令所以时，， 单调递减，时， ， 单调递增，由于，所以在上有唯一的零点 ，且满足 ，所以，所以，当且仅当 时等号成立.【点睛】“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）10．（2023·广东东莞·统考模拟预测）设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则．【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)利用导函数恒成立,求解即可.(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.【详解】解：（1）因为在上单调递增,所以恒成立.                      令,当,                     在上单调递增,依题意有,得                             （2）由（1）可知,在上单调递增,当时,,,                             存在,使得,                        且当时,,即,在上单调递减当时,,即,在上单调递增所以在上的最小值为        ,,,                   ,即成立                                            或者                ,                                                 ,即成立【点睛】本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题.考点三 变形代换11．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知函数 (1)若求的极值；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)的极小值为，无极大值(2)【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；（2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案.【详解】（1）当，令，解得，则当单调递减，当单调递增，故的极小值为，无极大值；（2）由题意可得令则当时，则时，，不合题意；当时，设，，，所以存在时，，因为，所以在上单调递增，所以当，；当，，则当，；当，，则在单调递减，在单调递增，所以因为，所以，即故解得综上所述，实数a的取值范围【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12.（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：．【答案】(1)当时，在上为单调递增；当时，在上为单调递减，在上为单调递增.(2)证明见见解析.【解析】(1)由已知条件得函数的定义域为，，因为 ①当时，在上恒成立，故在上为单调递增. ②当时，当时，，当时，故在上为单调递减，在上为单调递增；综上所述：当时，在上为单调递增当时，在上为单调递减，在上为单调递增(2)当时，要证原式成立，需证成立，即需证成立，令，则，令，则，故在上单调递增，，，由零点存在性定理可知，存在使，则在上，在上，即在上，在上，则在上单调递减，在单调递增，在处取得最小值，由可得，即，两边同取对数，即，的最小值为，即成立，故当时，成立.【小结】关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式. 解答本题的关键是构造函数，分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在处取得最小值，而满足，两边同取对数得，从而得出最小值为0，从而得证. 属于难题.考点四 同构代换13．（2022秋·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；（2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，（可根据同构法也可根据换元法求最值），求出的范围即可；【详解】（1）．所以．又，所以曲线在点处的切线方程为．（2）．令，则．令，则，所以是增函数．又，，由零点存在定理及是增函数，知存在唯一的，使得．当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以．由，得，即．令，则，是增函数．又，，所以①①两边取自然对数，得，即，所以②由①②，得．于是，即．所以实数的取值范围是．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先求定义域，再求导，分与，讨论函数单调区间，在时，根据根的判别式进行分类讨论，最终求出函数的单调区间；（2）参变分离，得到，构造，，求导后，构造，，求导利用隐零点，同构等方法求出，得到实数k的取值范围.【详解】（1），定义域为，则，当时，恒成立，故，所以的单调递增区间为，无递减区间；当时，令，当，即时，恒成立，故，所以的单调递增区间为，无递减区间；当，即时，此时设的两根为，，两根均大于0，且，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由于的定义域为，可只需考虑时，不等式恒成立，即，化简得：，令，，则，令，，在上恒成立，故在上单调递减，因为，，故存在，使得，即，设，，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，即，，当时，，，当时，，，故时，单调递增，时，单调递减，故在时取得极大值，也是最大值，故，故，所以实数k的取值范围是【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.考点五 等价变形，化隐为显15．（2023春·陕西西安·高二西安一中校考期中）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）［方法一］：通性通法,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减． 所以，则，即．所以a的取值范围为．［方法三］：换元同构由题意知，令，所以，所以．于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．因为，所以时，有，即．下面证明当时，恒成立．令，只需证当时，恒成立．因为，所以在区间内单调递增，则．因此要证明时，恒成立，只需证明即可．由，得．上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．当时，因为，显然不满足恒成立．所以a的取值范围为．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．考点六 与三角函数有关的“隐零点”问题16．（2023秋·湖北黄冈·高二校联考阶段练习）已知函数.（1）求函数在上的零点之和；（2）证明：在上只有1个极值点.【答案】（1）（2）详见解析【分析】（1）得到或，据此计算答案.（2）求导设，则，判断函数在上单调递减，在上单调递增，又，，得到答案.【详解】（1）解：令，得或，即或，即或所以在上的零点之和为（2）证明设，，，，当时，，则为增函数.因为，，所以，所以当时，；当时，，从而的上单调递减，在上单调递增又，，所以必存在唯一的，使得，当时，；当时，故在上只有1个极值点【点睛】本题考查了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵活掌握隐零点的相关知识技巧是解题的关键.17．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.（1）证明：，；（2）判断的零点个数，并给出证明过程.【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析.【分析】（1）由函数是偶函数，只需利用导数证明函数在区间上的最大值即可；（2）由（1）得出函数在区间上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间上也只有一个零点，从而得出函数有三个零点.【详解】（1），，则该函数为偶函数，只需证，其中.，.当时，令，得.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.，，当时，，此时，函数单调递减，则，因此，对任意的，；（2）三个零点，证明如下：由（1）可知，当时，函数有一个零点.当时，，此时，函数无零点；当时，，.此时，函数单调递增，，.由零点存在定理可知，存在，使得.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.，，.由零点存在定理知，函数在区间上无零点，在区间上有且只有一个零点，即函数在区间上有且只有一个零点.由于函数为偶函数，所以，函数在上无零点，在上有且只有一个零点.综上所述，函数有三个零点.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.18.（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解题思路】（1）根据导数的几何意义，求得参数；再利用导数求解在区间上的最小值，即可求得参数的范围；（2）对参数分类讨论，当时，利用导数研究其单调性，即可判断零点个数；当时，根据，再证明，即可求得此时的零点个数，再结合题意进行取舍即可.【解题过程】（1），则令，则恒成立，在上单调递增，当时，，即恒成立，在上单调递增，恒成立，的取值范围是（2），①当时在上单调递增，，存在使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增又，故存在唯一的使得，满足题意；②当时，由可得，令，则，当时，，故在上单调递增，则，则在上恒成立，故在上无零点．综上所述，a的取值范围是．【小结】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数处理恒成立问题和零点问题；其中第二问处理的关键是在当时，进行适度的放缩，属综合困难题.