第5章 三角函数、解三角形 第8节 解三角形 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.实际测量中的有关几个术语
所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程
2.解三角形实际应用题的步骤
微点拨要理清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角.
题组二 回源教材5.(人教B版必修第四册9.2节例1改编)如图所示,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D 4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100 m,则AB的长为__________ m. 
考点一 解三角形在实际测量问题中的应用(多考向探究预测)
考向1 测量距离问题例1(多选题)(2024·安徽池州模拟)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(　　)
解析 由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°, ∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,
规律方法解决距离问题的基本步骤 (1)确定解决问题所需要的三角形. (2)分析三角形中的已知量和未知量,将未知量放 在另一个三角形中求解. (3)在确定的三角形中运用正弦定理或余弦定理 求解.
[对点训练1](2024·四川南充模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)
考向2 测量高度问题例2(2024·重庆高三临门一卷)如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC=__________ m. 
规律方法解决高度问题的三个注意点 (1)理解好两类角:仰角、俯角是在铅垂面上所成的 角,方向角、方位角是在水平面上所成的角,注 意区分. (2)画好两个图形:高度问题一般涉及空间与平面 问题,因此要画好两个图形,即平面图形和空间 图形. (3)做好一个转化:将空间问题转化为平面问题.
[对点训练2] (2024·江苏南京六校联考)如图,为测量某塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°, ∠BDC=45°,CD=30米,在C点测得塔顶A的仰角为60°,则塔的总高度约为(　　)(参考数据: )
A.13米B.24米C.39米D.45米
(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里?(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?
规律方法解决角度问题的注意事项 (1)依据题意画出正确的示意图; (2)明确方向角、方位角的含义; (3)求角必先求角的正弦值或余弦值; (4)注意根据实际意义进行取舍.
考点二 正弦、余弦定理的综合应用
例4(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, b=a+1,c=a+2.(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(2)因为c=a+2=b+1,所以c>b>a,因此若存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
则a2+(a+1)2<(a+2)2,化简得a2-2a-3<0,解得-1(1)求sin∠ACD的值;(2)求BD的长.
考点三 解三角形与三角函数的综合问题