教科版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的回复力及能量导学案

这是一份教科版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的回复力及能量导学案，共18页。
知识点一 回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
提醒 公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
思考 回复力为零时，物体所受合外力一定为零吗？
提示：不一定。
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。( √ )
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。( × )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零。( √ )
知识点二 简谐运动的能量转化
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
体验 2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。( √ )
(2)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。( √ )
(3)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。( × )
3：填空
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中回复力方向为负，大小逐渐减小，动能逐渐增大，势能逐渐减小(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)。
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
提示：1．当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就能不断地振动下去。
2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。
考点1 简谐运动的回复力
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。
甲 乙 丙
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的相对平衡位置位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)根据牛顿第二定律得，a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
名师点睛：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是____________________________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
[解析] (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)
②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
[答案] (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－eq \f(k,m)x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
AD [回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
考点2 简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量。
2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点
3.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
名师点睛：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
【典例2】 如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________。
(2)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________。
A．振幅不变B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
[解析] (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，C正确，D错误。
[答案] (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)AC
分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能均增大，动能均减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
[跟进训练]
2. (多选)弹簧振子在水平方向做简谐运动，下列说法中正确的是( )
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
ABD [振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧形变量最大，势能最大，B正确；在任意时刻，只有弹簧的弹力做功，所以动能和势能之和保持不变，D正确；振子在平衡位置时速度达到最大值，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。]
1．(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是( )
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
ABD [平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确。]
2．(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
BD [该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析。当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移大小成正比，故回复力也减小；由牛顿第二定律a＝eq \f(F,m)可知加速度也减小；振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大。故正确答案为BD。]
3．(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的( )
A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B．速度正在减小，回复力沿负方向且正在增大
C．动能正在转化为势能
D．势能正在转化为动能
BC [当t＝3.2 s时振子正在向最大位移处运动，位移为正，速度正在减小，加速度和回复力沿负方向且正在增大，振子动能减小，弹簧弹性势能增大，动能正在转化为势能，BC正确，AD错误。]
4.(新情境题，以浮在水面上的木块为背景，考查简谐运动的回复力)一质量为m，一面面积为S的正方体木块，放在水面上静止(处于平衡状态)，如图所示。现用力向下将其压入水中一定深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
[解析] 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块被压入水中x后，其受力如图所示，则F回＝mg－F浮，①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)，②
由①式和②式得，
F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx，
mg＝ρgSΔx，
所以F回＝－ρgSx，即F回＝－kx(k＝ρgS)，
所以木块的振动是简谐运动。
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，作用是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
课时分层作业(七) 简谐运动的回复力及能量
题组一 简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
AB [回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误。]
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－eq \f(F,x)，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
B [对水平弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，故A错误；对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，故C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，故D错误。]
3．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是( )
A B C D
B [由F＝－kx可知，回复力F与位移大小x成正比，方向与位移方向相反，故B正确。]
题组二 简谐运动的能量
4.(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
AB [小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D错误。]
5.如图为一弹簧振子的小球的振动图像，由图可知( )
A．t1时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B．t2时刻，小球的动能最大，所受回复力最小
C．t3时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
D．t4时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B [由题图可知，t1时刻，小球位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，动能最小，A错误；t2时刻，小球位于平衡位置，回复力最小，速度最大，动能最大，B正确；由简谐运动的对称性可知C、D错误。]
6．(多选)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将A沿斜面拉到B点无初速释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A在运动过程中机械能守恒
B．物块A在C点时弹簧的弹性势能最小
C．物块A在C点时系统的势能最大，在O点时系统的势能最小
D．物块A在B点时机械能最小
CD [在运动过程中，物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块A的机械能不守恒，A错误；当物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点时，物块A受到弹簧沿斜面向上的弹力，弹簧处于伸长状态，结合简谐运动的对称性可知，物块A在B点时弹簧的伸长量一定最大，而物块A在C点时，弹簧可能处于原长状态，也可能处于压缩状态或伸长状态，可知在C点时，弹簧的弹性势能不一定最小，故B错误；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在C点时，动能为零，故物块A与弹簧构成的系统的势能(重力势能和弹性势能之和)最大，在O点时，动能最大，故势能最小，C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在B点时，弹簧的伸长量最大，弹簧的弹性势能最大，物块A的机械能最小，故D正确。]
题组三 简谐运动的综合应用
7.如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，运动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0B．kx
C．eq \f(m,M)kxD．eq \f(m,M＋m)kx
D [A、B整体做简谐运动，则对整体有，回复力F＝－kx，则整体的加速度a＝eq \f(－kx,m＋M)。对于物体A，由牛顿第二定律可知，受到的摩擦力f＝ma＝－eq \f(m,M＋m)kx。D正确。]
8．(多选)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
AB [当系统做简谐运动时，A、B均做简谐运动，B做简谐运动的回复力由B的重力和A对B的支持力的合力提供，要判断B对A的压力大小，根据牛顿第三定律可知，只要判断出A对B支持力的大小即可。设最大加速度为am，根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点加速度的大小都是am，最高点时am向下，最低点时am向上，在经平衡位置时a＝0。对于B物体，由牛顿第二定律可得：在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam。在经过平衡位置时有F平－mg＝0，即F平＝mg，可知F低＞F平＞F高。因此可知在最高点时B对A的压力最小，在最低点时B对A的压力最大。故A、B正确。]
9.如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球，开始时，两弹簧均处于原长，然后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球在水平面上做往复运动，试问：小球是否做简谐运动？
[解析] 以小球为研究对象进行受力分析，小球在竖直方向处于受力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置左方某处时，偏离平衡位置的位移为x。
左方弹簧受压，对小球的弹力大小为F1＝k1x，方向向右。
右方弹簧被拉，对小球的弹力大小为F2＝k2x，方向向右。
小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为F＝F1＋F2＝(k1＋k2)x，方向向右。
令k＝k1＋k2，上式可写成：F＝kx。
由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F＝－kx。
所以小球将在两根弹簧的作用下，在水平面内做简谐运动。
[答案] 是
1.如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点。现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)。在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是( )
A B
C D
A [小球受竖直向下的重力和竖直向上的弹力，下降位移x为弹簧的形变量，设弹簧劲度系数为k，根据牛顿第二定律mg－kx＝ma，可得a＝g－eq \f(k,m)x，为一次函数，小球做简谐运动，A正确，B、C、D错误。]
2．(多选)如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止。则下列说法正确的是( )
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功
AB [物体A、B保持相对静止，对AB整体，在轻质弹簧作用下做简谐运动，故A正确；对AB整体，由牛顿第二定律－kx＝(mA＋mB)a；对A，由牛顿第二定律f＝mAa，解得f＝－eq \f(mAk,mA＋mB)x，故B正确；在靠近平衡位置过程中，B对A的静摩擦力做正功，A对B的静摩擦力做负功，在远离平衡位置过程中，B对A的静摩擦力做负功，A对B的静摩擦力做正功，故C、D错误。]
3．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子， 该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________A0(选填“＞”“＜”或“＝”)，T________T0(选填“＞”“＜”或“＝”)。
[解析] 弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离。物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以物块a振动的振幅减小，A＜A0。由于振子质量减小，物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0。
[答案] ＜ ＜
4.质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到最高点时，m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少？
[解析] 当m1运动到最高点时，m2对地压力恰好为零，则此时弹簧处于伸长状态，弹力大小为m2g。m1的加速度am＝eq \f(（m1＋m2）g,m1)；根据简谐运动对称性可知，突然撤去压力时m1向上加速度也是am＝eq \f(（m1＋m2）g,m1)；则压力F＝m1am＝(m1＋m2)g。
[答案] (m1＋m2)g
学习任务
1．知道回复力的概念，理解简谐运动的能量。
2．利用守恒观点研究弹簧振子，分析能量转化过程。
3．应用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。
4．经历探究弹簧振子系统的能量转化过程。
5．培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
决定因素
简谐运动的能量由振幅决定。
能量的获得
最初的能量来自外部，通过外力做功获得。
能量的转化
系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
理想化模型
(1)力的角度：简谐运动不考虑阻力。
(2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗。