新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题19圆锥曲线中的最值问题（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题19圆锥曲线中的最值问题（附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为( )
A．64B．16C．8D．4
2．已知实数x，y满足：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1，则x－eq \f(1,2)y的最大值为( )
A．eq \r(3)B．2C．eq \r(5)D．5
3．[2023·安徽蚌埠模拟]已知点F是抛物线y＝eq \f(x2,4)的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为( )
A．4B．6C．8D．9
4．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A是C上一点，B(2，1)，则|AB|＋|AF1|的最大值为( )
A．7B．8C．9D．11
5．[2023·福建三明模拟]已知双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1，P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则eq \f(1,|PM|)＋eq \f(1,|PN|)的最小值为( )
A．eq \f(3\r(2),2)B．eq \f(4\r(2),3)C．eq \f(9,8)D．eq \f(8,9)
6．设F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P是直线x＝2eq \r(2)上一点，则∠F1PF2的最大值是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
二、多项选择题
7．[2023·山西吕梁模拟]已知点P(m，n)是椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1上的动点，点Q(a，0)(a>0且a≠eq \r(3))，则|PQ|最小时，m的值可能是( )
A．－1B．eq \r(3)C．aD．3a
8．已知A，B是抛物线C：y2＝2x上两动点，F为抛物线C的焦点，则( )
A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时，|AB|＝eq \f(8,3)
C．若AB中点M的横坐标为2，则|AB|最大值为5D．eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝2
[答题区]
三、填空题
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，A，B是双曲线C渐近线上的点，A位于第一象限，B位于第四象限，若O为坐标原点，eq \f(π,2)b>0)的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，且点(4，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．
解：
12．[2023·山东淄博模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ME)),|MN|)的最大值．
解：
微专题19 圆锥曲线中的最值问题
1．解析：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2，
因为椭圆上的点P满足|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
当点P为F1F2的延长线与C的交点时，|PF1|－|PF2|取得最大值，最大值为|F1F2|＝4.
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为16.故选B.
答案：B
2．解析：令m＝x－eq \f(1,2)y，则直线2x－y－2m＝0与eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则x2＋3(x－m)2＝3，即4x2－6mx＋3m2－3＝0，
所以Δ＝36m2－48(m2－1)＝0，可得m2＝4，即m＝±2，
要使2x－y－2m＝0在x轴上截距最大，即m＝2.故选B.
答案：B
3．解析：抛物线x2＝4y，焦点F(0，1)，
设直线的倾斜角为θ，得：|AF|＝eq \f(2,1－sinθ)，|BF|＝eq \f(2,1＋sinθ)，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1，
|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)(eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|))＝5＋eq \f(4|BF|,|AF|)＋eq \f(|AF|,|BF|)≥9.
当且仅当|AF|＝2|BF|＝3时等号成立．故选D.
答案：D
4．解析：
设椭圆的半焦距为c，则F2(2，0)，a＝3，
如图，连接AF2，则|AB|＋|AF1|＝|AB|＋2a－|AF2|＝6＋|AB|－|AF2|，
而|AB|－|AF2|≤|BF2|＝1，当且仅当A，F2，B共线且F2在A，B中间时等号成立，
故|AB|＋|AF1|的最大值为7.故选A.
答案：A
5．解析：因为双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1，所以双曲线C的渐近线方程为2eq \r(2)x±y＝0，
设P(m，n)是双曲线上任意一点，则|m|≥1，m2≥1，
所以m2－eq \f(n2,8)＝1，则8m2－n2＝8，
由点线距离公式得|PM|＝eq \f(|2\r(2)m＋n|,\r(8＋1))＝eq \f(|2\r(2)m＋n|,3)，|PN|＝eq \f(|2\r(2)m－n|,\r(8＋1))＝eq \f(|2\r(2)m－n|,3)，
|PM||PN|＝eq \f(|2\r(2)m＋n|,3)eq \f(|2\r(2)m－n|,3)＝eq \f(8m2－n2,9)＝eq \f(8,9)，
所以eq \f(1,|PM|)＋eq \f(1,|PN|)≥2eq \r(\f(1,|PM|)×\f(1,|PN|))＝2eq \r(\f(9,8))＝eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，即eq \f(1,|PM|)＋eq \f(1,|PN|)的最小值为eq \f(3\r(2),2).故选A.
答案：A
6．解析：由题意得：a2＝4，b2＝2，则c2＝a2－b2＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0).
因为点P是直线x＝2eq \r(2)上一点，不妨设P(2eq \r(2)，t)(t>0)，
设直线PF1的倾斜角为β，直线PF2的倾斜角为α，
则∠F1PF2＝α－β∈(0，eq \f(π,2))，tanα＝eq \f(t,\r(2))，tanβ＝eq \f(t,3\r(2))，
于是tan∠F1PF2＝tan (α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)
＝eq \f(\f(t,\r(2))－\f(t,3\r(2)),1＋\f(t,\r(2))×\f(t,3\r(2)))＝eq \f(2\r(2)t,6＋t2)≤eq \f(2\r(2)t,2\r(6)t)＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当t＝eq \r(6)时等号成立，
因为y＝tanx在x∈(0，eq \f(π,2))上单调递增，
所以∠F1PF2的最大值是eq \f(π,6).故选A.
答案：A
7．解析：因为点P(m，n)在椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1上，所以eq \f(m2,3)＋eq \f(n2,2)＝1(－eq \r(3)≤m≤eq \r(3))，n2＝2－eq \f(2,3)m2，
所以|PQ|＝eq \r(（m－a）2＋n2)＝eq \r(（m－a）2＋2－\f(2,3)m2)
＝eq \r(\f(1,3)m2－2am＋a2＋2)
＝eq \r(\f(1,3)（m－3a）2＋2－2a2)，若0eq \f(\r(3),3)，当m＝eq \r(3)时，|PQ|最小．故选BD.
答案：BD
8．解析：对于A项，过点A，B分别作准线x＝－eq \f(1,2)的垂线，垂足分别为A1，B1，
过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A2，B2，准线与x轴的交点为C，
设直线AB的倾斜角为θ，画图为：
根据抛物线的定义：|AA1|＝|AF|＝n，从图可知|AA1|＝|A2C|＝n，|CF|＝p＝1，
|CF|＋|FA2|＝|AA1|＝n，在Rt△AFA2中，|FA2|＝ncsθ，
所以ncsθ＋1＝n，∴n＝eq \f(1,1－csθ)，同理m＝eq \f(1,1＋csθ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(1,1－csθ)＋eq \f(1,1＋csθ)＝eq \f(2,sin2θ)，
∵θ∈[0，π)∴sinθ∈[0，1]，故当sinθ＝1时(eq \f(2,sin2θ))min＝2，
故|AB|最小值为2，此时AB垂直于x轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知，|AB|＝eq \f(2,（\f(\r(3),2)）2)＝eq \f(8,3)，故B正确；
对于C项，|AB|≤|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋1＝2×2＋1＝5，
当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以|AB|最大值为5，故C正确；
当直线AB过焦点F时，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1－csθ＋1＋csθ＝2，
当直线AB不过焦点F时，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)不是定值，
举例当xA＝xB＝2时，此时yA＝2，yB＝－2，
即A(2，2)，B(2，－2)，F(eq \f(1,2)，0)，AF＝BF＝eq \r(（\f(3,2)）2＋22)＝eq \f(5,2)，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,5)×2＝eq \f(4,5)≠2，故D错误．故选BC.
答案：BC
9．解析：设双曲线C的右焦点为F，因为eq \f(π,2)0，所以k>0，
所以M(eq \f(3k,\r(3k2－1))，eq \f(1,\r(3k2－1)))，Q(－eq \f(3k,\r(3k2－1))，－eq \f(1,\r(3k2－1))).
所以直线l的方程为y＝kx＋eq \r(3k2－1)，k>eq \f(\r(3),3)，
由点到直线的距离公式得：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ME))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3k2－1,\r(3k2－1))＋\r(3k2－1))),\r(k2＋1))＝eq \f(2\r(3k2－1),\r(k2＋1))，
又直线MN的斜率为－eq \f(1,k)，且过点M，所以直线MN的方程为：
x＝－ky＋eq \f(4k,\r(3k2－1))，
将其与eq \f(x2,3)－y2＝1(x>0)联立得(k2－3)y2－eq \f(8k2,\r(3k2－1))y＋eq \f(7k2＋3,3k2－1)＝0.
设N(x1，y1)，则y0＋y1＝eq \f(8k2,（k2－3）\r(3k2－1))，
y0y1＝eq \f(7k2＋3,（k2－3）（3k2－1）).
易知点N在第四象限，所以y0y1