新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题18圆的最值问题（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题18圆的最值问题（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．若直线y＝kx＋2－3k与圆x2＋y2＋4y－57＝0相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为( )
A．10B．12C．14D．16
2．[2023·安徽合肥模拟]已知点P在圆C：(x－a)2＋y2＝a2(a>0)上，点A(0，2)，若|PA|的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为( )
A．x＝0或7x＋24y－48＝0B．x＝0或7x－24y－48＝0
C．x＝1或24x－7y－48＝0D．x＝1或24x＋7y－48＝0
3．[2023·河北保定模拟]已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为( )
A．1B．eq \r(2)C．2D．2eq \r(2)
4．[2023·湖南岳阳模拟]若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，则eq \f(n,m＋4)的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(35,9)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(40,9)))C．[0，4] D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(35,9)))
5．[2023·广东佛山模拟]已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为( )
A．eq \f(\r(2),2)B．1C．eq \r(2)D．4
6．[2023·河南郑州模拟]已知圆x2－2x＋y2＝0与圆C关于直线x＋y＝0对称，且点A(－eq \r(3)，0)，B(0，eq \r(3))，P是圆C上一点，则∠BAP的最大值为( )
A．45°B．75°C．105°D．120°
7．[2023·北京大兴模拟]已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝1和两点A(0，－m)，B(0，m)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．12B．11C．10D．9
8．[2023·浙江杭州模拟]已知F是椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点，点M在C上，N在⊙P：x2＋(y－3)2＝2x上，则|MF|－|MN|的最大值是( )
A．2B．eq \r(10)－1C．eq \r(13)－1D．eq \r(13)＋1
二、多项选择题
9．[2023·山东济南模拟]已知点M(2，4)，若过点N(5，－2)的直线l交圆C：(x－7)2＋y2＝9于A、B两点，R是圆C上的动点，则( )
A．|AB|的最小值为2
B．|eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(41)＋eq \r(2)
C．eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MR,\s\up6(→))的最小值为39－9eq \r(5)
D．当S△MNR取最大值时，底边MN上的高所在的直线方程为x－2y－7＝0
10．[2023·河北衡水模拟]已知A，B分别为圆C1：x2＋y2－2x＋8y＋16＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0上的两个动点，P为直线l：x－y＋2＝0上的一点，则( )
A．|PA|＋|PB|的最小值为3eq \r(10)－3B．|PA|＋|PB|的最小值为eq \r(13)＋eq \r(37)－3
C．|PA|－|PB|的最大值为2eq \r(5)＋3D．|PA|－|PB|的最小值为－2eq \r(5)－3
[答题区]
三、填空题
11．[2023·广东佛山模拟]在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A(1，0)的距离是到点B(1，3)的距离的2倍，则△PAB的面积的最大值为________．
12．[2023·福建宁德模拟]已知圆O1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆O2：(x＋n)2＋(y＋2)2＝1内切，则m2＋n2的最小值为________．
13．[2023·安徽池州模拟]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为________．
14．[2023·河北沧州模拟]阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P为圆O：x2＋y2＝4上的动点，M(－4，0)，N(3，1)，则|PM|＋2|PN|的最小值为____________．
微专题18 圆的最值问题
1．解析：由直线y＝kx＋2－3k＝k(x－3)＋2，
令x＝3，解得y＝2，所以直线过定点M(3，2)，
又32＋22＋4×2－571，
所以直线l与圆相离，
依圆的知识可知，四点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，
所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq \f(1,2)×|PA||AM|＝2|PA|＝2eq \r(|PM|2－1)，
原题意等价于|PM|取到最小值，
当直线MP⊥l时，|MP|min＝d＝eq \r(5)，此时|PM|·|AB|最小．
所以MP的直线方程为：y＝2(x－1)＋1＝2x－1，
，即P(0，－1)，
则MP的中点为(eq \f(1,2)，0)，
所以以MP为直径的圆的方程为(x－eq \f(1,2))2＋y2＝(eq \f(\r(5),2))2，即x2＋y2－x－1＝0，
两圆的方程相减可得：x＋2y－2＝0，
即直线AB的方程为x＋2y－2＝0.
答案：x＋2y－2＝0
14．解析：
假设存在这样的点Q(t，0)，使得eq \f(|PM|,|PQ|)＝2，则|PM|2＝4|PQ|2，设点P(x，y)，则(x＋4)2＋y2＝4[(x－t)2＋y2]，
即x2＋y2＋8x＋16＝4(x2＋y2－2tx＋t2)⇒3x2＋3y2－(8t＋8)x＋4t2－16＝0，
该圆对照x2＋y2＝4，所以t＝－1，所以点Q(－1，0)，
所以|PM|＋2|PN|＝2|PQ|＋2|PN|＝2(|PQ|＋|PN|)≥2|QN|＝2eq \r(17).
答案：2eq \r(17)
题号
1
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10
答案