江苏省扬州市邗江区邗江区梅苑双语学校2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市邗江区邗江区梅苑双语学校2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分 测试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在实数，-3.14，0，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+5D．y＝﹣2x+7
4．满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．，
5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．SSAD．ASA
6．若a，b为等腰△ABC的两边，且满足，则△ABC的周长为（ ）
A．11B．13C．11或13D．9或15
7．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为16cm2，则△PBC的面积为（ ）
A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．不能确定
8．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．化简：= ．
10．点A（a，b）与点B（﹣3，5）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点P到x轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ．
12．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ．
13．已知点都在直线上，则 ．（填“”或“”或“”）
14．如图，在中，，是的角平分线，是中点，连接，若，则 ．
15．如图，在中，点D、E分别为边、上的点，连接，将沿翻折得到，使．若，，则的大小为 ．

16．已知，则在平面直角坐标系中，点不可能出现在第 象限．
17．如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为 ．
18．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是 ．
三、解答题（本大题共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：
（2）解方程：
20．已知与成正比，且时．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，

(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______．
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．
22．已知，一次函数
(1)若这个一次函数的图像经过原点，求a的值；
(2)若这个一次函数的图像与y轴交于点，且y的值随x的增大而减小，求a的值．
23．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
25．按要求作（画）图并证明：
（1）尺规作图：如图∠AOB，作∠AOB的平分线OP（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过平分线上一点C画CDOB交OA于点D，取线段OC的中点E，过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N（M不与C、D重合），请你探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
26．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．

(1)若点在上，且满足，求此时的值；
(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
27．【引例】
如图1，点A、B、D在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形△ABC和△BDE，BA＝BC，BE＝BD，连接AE、CD．则AE与CD的关系是 ．
【模型建立】
如图2，在△ABC和△BDE中，BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝α，连接AE、CD相交于点H．求证：①AE＝CD；②∠AHC＝α．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BDC＝90°，BD＝CD，∠BAD＝45°．若AB＝3，AD＝4，求AC2的值．
28．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则．
【理解定义】
（1）若点、，则______．
（2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）
【深入探索】
（3）已知点，，为坐标原点，求的值．
【拓展延伸】
（4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出点的个数及对应的的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握沿对称轴折叠后，两部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
2．B
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【详解】解：=4，
所给数据中无理数有：，π，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
3．C
【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”即可得到答案．
【详解】∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，
即y＝﹣2x+5．
故选：C．
【点睛】本题主要一次函数平移规律，掌握一次函数平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
4．C
【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A、 符合勾股定理的逆定理，故A选项是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B选项是直角三角形，不符合题意；
C、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形，符合题意；
D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，40°，50°，故D选项是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】.本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
6．C
【分析】根据非负数的意义求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，
（1）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、3，
能组成三角形，周长为5+5+3=13；
（2）若5是底边长，则三角形的三边长为：3、3、5，
能组成三角形，
周长为3+3+5=11．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
7．B
【分析】延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
是的平分线，，
（等腰三角形的三线合一），
，（等底同高），
，
又的面积为，
，即，
解得，
即的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
8．A
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
9．2
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
10．8
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．
【详解】解：点A（a，b）与点B（﹣3，5）关于y轴对称．
∴a=3，b=5
∴a+b=8
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
11．
【分析】根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解．
【详解】解：点在第四象限，且点到轴的距离为，则纵坐标，到y轴的距离是，则横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标，象限的分类，理解平面直角坐标系的概念是解题的关键．
12．－64
【分析】根据无理数的估算可知3＜＜4，求得a=3，b=4，即可求出结果．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
即：a=3，b=4，
∴．
故答案为：-64．
【点睛】本题主要考查的是无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数的性质，由 利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，再结合即可得出，牢记“ 随的增大而增大； 随的增大而减小”是解题的关键．
【详解】解：∵
∴随的增大而增大，
又

14．6
【分析】根据等腰三角形三线合一可得D为BC的中点，再结合E为AC的中点，可得DE为△ABC的中位线，从而可求得AB的长度．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，能正确识图，判断DE为△ABC的中位线是解题关键．
15．
【分析】由得出，由折叠性质可知，，再根据三角形外角性质求出．
【详解】解：如图，设交于G，

∵，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解答本题的关键是求出的度数．
16．第二象限
【分析】根据得到分计算即可．
【详解】∵,
∴，
当时，
得，
此时经过第一象限；
当时，
得，
此时经过第四象限；
当时，
得，
此时经过第三象限；
故不经过第二象限．
故答案为：第二象限．
【点睛】本题考查了坐标与象限，正确分类是计算判断的关键．
17．5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
18．6
【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
即，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴ab＝9，
∴，
∵，
∴，
解得c＝6（舍去负值），
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键．
19．（1）；（2）或
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，求平方根的方法解方程，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先把数字9移动方程右边，再根据得到，据此求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或．
20．(1)；
(2)．
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
（1）已知与成正比例， 即可以设， 把 代入即可求得的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令即可求得的值．
【详解】（1）解：与成正比，
∴设
把代入中，
得
∴
，
∴．
（2）解：当时，

即，
∴．
21．(1)图形见解析
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，轴对称的性质，
（1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形
（2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案
（3）由P为x轴上一点，的面积为1，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：如下图所示．

（2）∵点D与点C关于y轴对称，，
∴点的坐标与C点的坐标横坐标相反，纵坐标相同，即为.
（3）∵P为x轴上一点，且的面积为1，
即
∴
∴
∵，
∴点P的横坐标为：或，
∴点P的坐标为或．
22．(1)a=2
(2)a=-
【分析】(1)经过原点，则a2−4=0，求得其值即可；
(2)根据一次函数的图像与y轴交于点(0,2)，且y的值随x的增大而减小，2=a2−4,且a+2＜0从而可以求解；
【详解】（1）解：∵一次函数y=(a+2)x+a2−4的图像经过原点，
∴a2−4=0，a+2≠0，
∴a=2.
（2）解：一次函数的图像与y轴交于点(0,2)，
∴2=a2−4，
∴a=,
又∵y的值随x的增大而减小，
即a+2＜0,
∴a=.
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象的几何变换，掌握一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系是关键.
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可．
【详解】证明：（1），
，
在和中
，
（2），
，
又平分，
．
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．（1）15°；（2）5
【分析】（1）根据已知先求得，根据垂直平分线的性质，可得，进而可知，根据即可求得；
（2）根据垂直平分线的性质以及已知条件可知△CBD周长为，进而求得．
【详解】（1） AB＝AC，∠A＝50°，

DE是AB的垂直平分线
（2）DE是AB的垂直平分线
又 AB＝AC，
△CBD周长为
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）OD=ON+DM或OD=ON-DM．证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM＋ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CDOB，判断出∠DOC＝∠DCO，所以OD＝CD＝DM＋CM；然后根据E是线段OC的中点，CDOB，推得△CME≌△ONE，得到CM＝ON，即可判断出OD＝DM＋ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝ON−DM．同①，可得OD＝DC＝CM−DM，再根据CM＝ON，推得OD＝ON−DM即可．
【详解】（1）如图，OP为所求；
（2）①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝DM＋ON．
证明：如图1，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵CDOB，
∴∠DCO＝∠COB，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴OD＝CD＝DM＋CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE＝OE，
∵CDOB，
∴∠C=∠EON
∴∠CEM=∠OEN
∴△CME≌△ONE
∴CM＝ON，
又∵OD＝DM＋CM，
∴OD＝DM＋ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD＝ON−DM．
证明：如图2，
由①同理可得OD＝DC＝CM−DM，△CME≌△ONE
∴CM＝ON，
∴OD＝DC＝CM−DM＝ON−DM，
即OD＝ON−DM．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作图、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
26．(1)
(2)或
(3)或或或3
【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，在中，依据，列方程求解即可得到的值．
（2）如图所示，当点P在上时，过作于，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值．当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．
（3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值．
【详解】（1）解：如图，设，则，

，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，

平分，，
，，
在与中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
当点与点重合时，点也在的角平分线上，
此时，．
综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或．
（3）解：分四种情况：
①如图，当在上且时，

∴，
∵，，
，
，
是的中点，即，
．
②如图，当在上且时，

∴．
③如图，当在上且时，过作于，
∵，
∴，

在中，由勾股定理得，
，
．
④如图，当在上且时，则，

．
综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
27．（引例）AE＝CD，AE⊥CD（模型建立）证明见解析（拓展应用）41
【分析】（引例）根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，据此即可得解；
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．证明△ABE≌△CBD（SAS），推出∠EAB＝∠DCB，可得结论．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，证明△EDB≌△ADC（SAS），推出EB＝AC，求出BE2即可解决问题．
【详解】解：（引例）结论：AE＝CD，AE⊥CD．
理由：如图1中，延长AE交CD于F．
∵在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB，
∵∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠CDB+∠EAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AE⊥CD．
故答案为AE＝CD，AE⊥CD．
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵AB＝CB，EB＝DB，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠OAB+∠AOB+∠ABO＝180°，∠OCH+∠COH+∠OHC＝180°，∠AOB＝∠COH，
∴∠OHC＝∠OBA，即∠AHC＝α．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，
∵∠ADE＝∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠EDB，
∵DE＝DA，DB＝DC，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴EB＝AC，
∵∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠BAD＝90°，
在Rt△EAB中，AE2+AB2＝BE2，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
∵AD＝4，AB＝3，
∴AE2＝32，BE2＝41，
∴AC2＝BE2＝41．
【点睛】此题主要考查全等三角形综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用.
28．（1）；（2）；（3）或；（4）当或时，满足条件的点有1个，当时，满足条件的点有2个，当时，不存在满足条件的点，当时，满足条件的点有2个，当时，不存在满足条件的点.
【分析】（1）根据新定义分别计算 再比较即可得到答案；
（2）根据新定义分别计算点、、、中，到坐标原点的“极大距离”，从而可得答案；
（3）由，先求解 结合 再列绝对值方程即可；
（4）先求解直线的解析式为： 再判断在正方形的边上，且 再结合函数图象进行分类讨论即可.
【详解】解：（1） 点、，

而

（2） 点


同理可得：、、到原点的“极大距离”为：

故答案为：
（3），

而

解得：或
（4）如图，直线过
则
直线为：
，为坐标原点，
在正方形的边上，且
当直线过时，
则： 解得：
当直线过时，
则： 解得：
结合函数图象可得：当或时，满足条件的点有1个，
当时，满足条件的点有2个，
当时，不存在满足条件的点，
当时，满足条件的点有2个，
当时，不存在满足条件的点，
【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是解题的关键.