江苏省扬州市邗江区梅岭中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省扬州市邗江区梅岭中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（含答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120 分钟）
一、选择题（每题 3 分，共 24 分）
1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列实数是无理数的是（）
A．（π-1）°B．C．5D．3.14
3．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC≌△ADC的是（）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
4．已知等腰三角形中的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A50°B．80°C．50°或80°D．50°或100°
5．已知，点与点关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
7．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．如图，将沿翻折得到，BD交于点E，F为CD中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（）
A．26B．24C．21D．15
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
9．的相反数是_____．
10．近似数2.60万精确到______位．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，已知AB＝10，BC＝16，则AD的长为_____．
12．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．
13．在整数a和a+1之间，则a=_____．
14．如图，点A表示的实数是_________．
15．若等腰三角形三边的长分别为，，，则的值为________．
16．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E，过点C作，垂足为点D，与相交于点F，若，则度数为________．
17．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
18．在中，，，且满足，点Q是边上一动点，连接，过点A和C分别作，垂足分别为M，N，则当取得最大值时，的长_____．
三、解答题（共 96 分）
19．计算：
（1）（2）
20．求下列各式中x的值：
（1）；（2）．
21．已知算术平方根为3，的立方根为4，求的平方根．
22．如图，点在上，点在上，，，求证：．
23．已知点，点．
（1）若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标．
（2）若线段轴，求线段AB的长度．
24．如图，已知中，，E是的中点，垂直平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
25．如图，在中，．
（1）在线段上找一点D，使得点D到、的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，若，，求的长．
26．勾股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边止，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，（），．请你回答以下问题：
（1）请猜想与的位置关系，并加以证明．
（2）填空： =___________（用含有c的代数式表示）
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
27．【了解概念】
如图1，在和中，，连接，连接并延长与交于点F，那么将叫做和的底联角．
【探究归纳】
（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请证明．
【拓展提升】
运用（1）中的结论解决问题：
（2）如图2，在中，，D在内，，求度数；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，点O为四边形内一点．且，求的长．
28．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究：
【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【理解图形】
（1）在图①中，若，则 ．
【提升应用】
（2）如图③，，，若，求的长．（用含a、b的代数式表示）．
（3）如图④，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则 ．
参考答案
一、选择题（每题 3 分，共 24 分）
1．D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，即可得到答案.
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义.
2．B
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：A、（π-1）°=1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．C
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：已知，且，
当添加，根据能判断，选项A不符合题意；
当添加，根据能判断，选项B不符合题意；
当添加，根据能判断，选项D不符合题意；
如果添加，不能根据判断，选项C符合题意；
故选：C．
4．C
【解析】
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质.先分类讨论，有两种情况：顶角是50°和底角是50°，再利用三角形内角和定理求值.分类讨论是本题的关键.
5．B
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得，，代入计算即可得到答案．
【详解】解：点与点关于x轴对称，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了坐标对称点的特性，代数式求值，解题关键是熟记关于x轴的对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
6．A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．D
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∵，，
∴，
∵的面积为42，F为CD中点，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
则，解得，
∴，
则，
，
故选∶D．
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
9．
【解析】
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数．
【详解】解：的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
10．百
【解析】
【分析】根据四舍五入到哪一位就精确到哪一位去分析求解即可．
【详解】2.60万=26000,
所以0在百位，
故精确度为百位，
故答案为：百．
【点睛】本题考查了精确度即四舍五入到哪一位就精确到哪一位，熟练掌握定义是解题的关键．
11．6
【解析】
【分析】直接利用等腰三角形性质得出BD的长，再利用勾股定理得出AD的长．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AB＝10，BC＝16，
∴BD＝DC＝8，
∴在Rt△ABD中，
AD＝＝＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形三线合一及勾股定理是解答本题的关键.
12．2
【解析】
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴整数m的值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
13．2
【解析】
【分析】先估算出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵在整数a和a+1之间，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
14．
【解析】
【分析】根据勾股定理可得OB的长，再求出OA的长，然后求得点A所表示的数即可．
【详解】解：如图：由题意得：OB=，
∵OA=OB
∴点A表示的实数是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得OA的长度．
15．
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义，分情况讨论，进而根据三角形的三边关系取舍即可求解．
【详解】若，则，
∴三边长分别为，，，不能构成三角形；
若，则，
∴三边长分别为，，能构成三角形，周长为：；
若，则，
∴三边长分别为，，，不构成三角形，
故答案为：．
16．##106度
【解析】
【分析】由作图可知，是的垂直平分线，则为的中点，如图，连接，则，，，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
∴为的中点，
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作垂线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17．14.5
【解析】
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：
设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
18．
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，根据非负数的性质可得，，从而得到，再由勾股定理可得，再由三角形的面积可得，然后根据，可得的值最小时，的值最大，即可求解．
【详解】解：过点作于点，过点作于点．
，，，
∴，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
∴当的值最小时，的值最大，
根据垂线段最短可知的最小值为，
的最大时，的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质，三角形面积，垂线段最短，推出当的值最小时，的值最大是解题的关键．
三、解答题（共 96 分）
19．（1）-4（2）
【解析】
【分析】（1）根据运算规则计算即可．
（2）按照运算法则，性质计算即可．
【小问1详解】
=．
【小问2详解】
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂的运算，熟练掌握实数运算的基本法则，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
20．（1）或（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方根解题即可．
（2）利用立方根解题即可．
【小问1详解】
解：
或
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，能够熟练运用平方根及立方根公式是解题关键．
21．
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根定义得出，求出，求出的值，再根据平方根定义求出即可．
【详解】解：∵的算术平方根为3，
∴，
∴，
∵的立方根为4，
∴，
∴，
∴
∴的平方根是
【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解此题的关键是能关键题意求出a、b的值．
22．见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理证明（SAS），再利用全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵，，
∴，即，
在和中，
∵
∴（SAS），
∴.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
23．（1）（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查象限角平分线性质、与x轴平行的特征和两点之间的距离，
（1）根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出A点的坐标；
（2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标都相同求出点A和点B的坐标即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵点在第二、四象限角平分线上，
∴，解得，，
∴，
【小问2详解】
∵线段轴，
∴，解得，
∴，，
则；
24．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推出是解题的关键.
（1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，由此得到；
（2）根据等边对等角得到，，利用三角形外角的性质得到，则.
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
25．（1）见解析（2）5
【解析】
【分析】（1）用尺规作出的平分线，交于点D，即可得出答案；
（2）作于点H，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，设，
则，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：点D即为所求；
【小问2详解】
解：如图，作于点H，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，利用勾股定理列出方程．
26．（1），见解析
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义可得．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）根据三角形面积和梯形面积公式用两种方法求得四边形的面积，可得到结论．
【小问1详解】
解：
证明：
【小问2详解】
解：
=
故答案为：
【小问3详解】
解： =
即
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的计算，全等三角形的性质，正确识别图形是解题的关键．
27．（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，证明见解析；（2）；（3）；
【解析】
【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明E，推得，再由，得；
（2）延长交于点F，由（1）中结论直接推得，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数；
（3）连接、交于点F，则，由勾股定理可推得，则，可求出的长，进而求出的长．
【详解】解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，证明如下：
如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角；
（2）如图所示，延长交于点F，
∵，
∴由（1）的结论可知，
∵，
∴；
（3）如图3，连接、交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．
28．（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据材料中给出的关系代入数据求解即可；
（2）取线段中点O，连接，并延长到E，使得，连接，先证明四边形是正方形以及由勾股定理求得，从而有，，由题意结论得可求得，再证明，利用勾股定理即可求得的长；
（3）根据已知的条件，分情况作图解答，注意E在直线的位置．
【详解】解：（1）在中，，
由题意得，
，
故答案为：。
（2）如图，取线段中点O，连接，并延长到E，使得，连接，
∵O是线段的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴是正方形，，，
，根据题意结论得：，，
∴，
∵O是线段的中点，，
，
，
，
，
，
∵，
∴；
（3）当点E在直线的左侧时，如图，连接，
，点P是的中点，
，
，点Q是的中点，，
，，
∵，
∴由勾股定理可求得：，
由题目条件的证明过程可知：，
，
；
当点E在直线AC的右侧时，如图，连接，
同理可知：，
由勾股定理可求得：，
由（2）结论可知：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定及性质，旋转的性质求解，直角三角形的性质，以及求代数式的值，熟练掌握分类讨论思想及正方形的判定及性质是解题的关键．