统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练10立体几何文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练10立体几何文（附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是( )
A．m⊂αB．m∥αC．m⊥lD．m⊂α且m⊥l
2．[2023·洛阳统考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若a平行于α内的无数条直线，则a∥α
B．若a∥α，a∥b，则b平行于α内的无数条直线
C．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b
D．若a∥β，α⊥β，则α∥β
3．[2023·全国乙卷(文)]如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为( )

A．24B．26C．28D．30
4．[2023·云南师大附中高三月考]已知三棱锥A­BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2eq \r(3)，AC＝AD＝4，CD＝2eq \r(2)，则球O的表面积为( )
A．20πB．18πC．36πD．24π
5．[2023·河南省名校联考]已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．α∥β，m∥α，则m∥βB．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βD．m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β
6．[2023·浙江省路桥中学高三模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A．2B．4C．6D．12
7．[2023·“超级全能生”高三联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．eq \f(2π,3)B．4πC．eq \f(8π,3)D．8π
8.
[2023·陕西省名校高三下学期检测]如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为( )
A．eq \r(2)B．2
C．eq \r(5)D．eq \r(6)
9.
[2023·全国高三月考]如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AC＝eq \f(\r(3),3)BD，E为CD的中点，则下列说法不正确的是( )
A．BD⊥平面PAC
B．平面PAB⊥平面PAE
C．若F为PB的中点，则CF∥平面PAE
D．若PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为eq \f(π,3)
10．[2023·全国高三月考]底面为正三角形的直棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为( )
A．eq \f(11,13)B．eq \f(12,13)C．eq \f(7,13)D．eq \f(4,5)
11.
[2023·宁夏银川二中高三二模]如图，正四棱锥P­ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为( )
A．eq \f(\r(3),18)B．eq \f(\r(3),16)
C．eq \f(\r(3),13)D．eq \f(\r(3),14)
12．[2023·河北省六校联考]已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．124πB．144πC．156πD．196π
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2023·重庆市八中高三检测]若圆锥轴截面面积为2eq \r(3)，母线与底面所成角为60°，则体积为________．
14．[2023·安徽省名校大联考]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BM⊥A1N，则△ABN面积的最小值为________．
15．[2023·湖北高三二模]在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC.若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥C1­ABC体积的最大值为________．
16．[2023·全国甲卷(文)]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
立体几何（10）
1．D 选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.
2．B 选项A，若a平行于α内的无数条直线，则a⊂α或a∥α，A错误；选项B，若a∥α，a∥b，则b⊂α或b∥α，两种情况都能得到b平行于α内的无数条直线，B正确；
选项C，由α⊥β，a⊂α，b⊂β无法确定直线a，b的关系，C错误；
选项D，由a∥α，α⊥β无法确定直线a与平面β的关系，D错误．
3．D
作出该零件的直观图如图所示，该零件可看作是长、宽、高分别为2，2，3的长方体去掉一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体所得，其表面积为2×（2×2＋2×3＋2×3）－2×1×1＝30，故选D.
4．A 因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，
∴BC＝BD＝eq \r(42－（2\r(3)）2)＝2，
在△BCD中，CD＝2eq \r(2)，∴CD2＝BC2＋BD2，∴BC⊥BD.
如图所示：
三棱锥A­BCD的外接球即为长方体AGFH­BCED的外接球，
设球O的半径为R，
则2R＝eq \r(BA2＋BC2＋BD2)＝eq \r(（2\r(3)）2＋22＋22)＝2eq \r(5)，
解得R＝eq \r(5)，所以球O的表面积为20π，故选A.
5．D 对于A选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，所以A选项错误．对于B选项，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论α∥β，所以B选项错误．对于C选项，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以C项错误．对于D选项，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又α∥β，则n⊥β，所以D选项正确．故选D.
6．A 由三视图可知该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示，
所以该几何体的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)（1＋2）×2×2＝2，故选A.
7．C
由三视图还原原几何体如图，
该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，
圆锥的高为半球的半径．则该几何体的体积V＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×23－eq \f(1,3)π×22×2＝eq \f(8π,3).故选C.
8．D 根据题意可得如图所示直观图，为一组合体，底面为直角梯形，侧棱垂直底面，所以BE＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，由高AE＝1，所以两个顶点的距离为eq \r(BE2＋AE2)＝eq \r(5＋1)＝eq \r(6)，故选D.
9．D 设底面平行四边形ABCD的对角线相交于点O.
则O为BD，AC的中点，由AB＝AC＝eq \f(\r(3),3)BD，
在△BCO中，OB2＋OA2＝eq \f(1,4)BD2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)BD))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,3)BD2，AB2＝eq \f(1,3)BD2，
所以OB2＋OA2＝AB2，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AP，
又AP∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故选项A正确．
由上有BD⊥AC，可知底面平行四边形ABCD为菱形．
由AB＝AC，则AD＝AC，又E为CD的中点，
所以AE⊥CD，即AE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥AP，
又AP∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，
又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE，故选项B正确．
如图取AP的中点H，连结FH，EH，
由H为AP的中点，F为PB的中点，则HF∥AB且HF＝eq \f(1,2)AB，
又AB∥CD，且AB＝CD，E为CD的中点，所以HF∥CE且HF＝CE，
所以四边形CFHE为平行四边形，则FC∥EH，
又EH⊂平面PAE，CF⊄平面PAE，所以CF∥平面PAE，故选项C正确．
连结PO，由选项A的证明过程可知BD⊥平面PAC，
所以直线PB在平面PAC上的射影为PO，
所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
由PA＝AB＝2，则PB＝2eq \r(2)，由AB＝AC，则AO＝1，所以OB＝eq \r(3).
在直角△BPO中，sin∠BPO＝eq \f(BO,BP)＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，所以∠BPO≠eq \f(π,3)，故选项D不正确．
故选D.
10．C 如图，
|eq \(A1M,\s\up6(→))|＝|eq \(B1N,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋62)＝2eq \r(13)，eq \(A1M,\s\up6(→))·eq \(B1N,\s\up6(→))＝(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(B1B,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \(A1A,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝36＋eq \f(1,4)×8×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝28，∴cs〈eq \(A1M,\s\up6(→))，eq \(B1N,\s\up6(→))〉＝eq \f(28,52)＝eq \f(7,13)，故选C.
11．A 设球M、球O的半径分别为R，r，AB＝a，连接PO，BO，如图，
因为正四棱锥P­ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，
在Rt△POB中，OB＝eq \f(\r(2)a,2)，PB＝a，所以PO＝eq \f(\r(2)a,2)，
所以OB＝OA＝OC＝OD＝OP＝R＝eq \f(\r(2)a,2)，
因为半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，
所以4×eq \f(1,3)S△PAB·r＝eq \f(4,3)×eq \f(\r(3),4)a2·r＝eq \f(1,3)×a2×eq \f(\r(2),2)a，解得r＝eq \f(\r(6),6)a，
则半球O的体积与球M的体积的比为eq \f(\f(1,2)×\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)a))\s\up12(3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(3))＝eq \f(\r(3),18)，故选A.
12．B 如图所示，当点C位于垂直平面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC＝VC­AOB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×R2×R＝eq \f(1,6)R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π.
13．答案：eq \f(2\r(6),3)π
解析：如图△ABP的面积为2eq \r(3)，∠PAO＝60°，所以PO＝eq \r(3)AO，
S△ABP＝eq \f(1,2)×2AO×PO＝eq \r(3)AO×AO＝2eq \r(3)，所以AO＝eq \r(2)，PO＝eq \r(6)，
所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)×π×AO2×PO＝eq \f(π,3)×2×eq \r(6)＝eq \f(2\r(6)π,3).
14．答案：eq \f(2\r(5),5)
解析：如图，分别取AD，BC的中点E，F，连接A1E，EF，B1F，因为M为CC1的中点，所以BM⊥B1F，且A1E∥B1F，所以BM⊥A1E，所以点N在线段A1E上，因为AA1＝2，AE＝1，所以A1E＝eq \r(5)，点A到直线A1E的距离d＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以△ABN的面积的最小值为eq \f(1,2)×2×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),5).
15．答案：eq \f(32\r(3),27)
解析：如图，由题意可知三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的直径为AC1，则AC1＝4，
即AB2＋BC2＋C1C2＝AC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝16，从而2AB2＋C1C2＝16.
三棱锥C1­ABC的体积为V＝eq \f(1,3)S△ABC·CC1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AB2·CC1＝－eq \f(1,12)CC eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ＋eq \f(4,3)CC1.
设f（x）＝－eq \f(1,12)x3＋eq \f(4,3)x（0