新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第10讲 几何法秒解离心率问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交双曲线左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则双曲线离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：如图，记右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为切点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点．圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：可设 SKIPIF 1 < 0 为第一象限的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，①
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立①②③消去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过原点的直线与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而由椭圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：如图，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．如图， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在第二、四象限的公共点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之和为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在第二、四象限的公共点，
若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
代入双曲线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率之和为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
7．设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的对称性可知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
在△ SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于渐近线的直线 SKIPIF 1 < 0 交两渐近线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点分别在一、四象限，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
如下图所示：
由点到直线距离公式可知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正切二倍角公式可知： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线离心率公式可知： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别与 SKIPIF 1 < 0 联立，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则双曲线离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：令 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ①，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由双曲线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ②，
由 SKIPIF 1 < 0 ，结合①②可得，
SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：在△ SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
同除以 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 支上，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支各交于一点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边，作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的性质，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两支各交于一点，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于双曲线的渐近线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 舍去），
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 轴．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 （靠近 SKIPIF 1 < 0 点），则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：如图，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 右支上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆在边 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆在边 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限，若△ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：把 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【解答】解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径做圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得离心率为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
19．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：左顶点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二．填空题（共11小题）
20．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的点，线段 SKIPIF 1 < 0 交以 SKIPIF 1 < 0 的实轴为直径的圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：如图： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，也是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
21．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
22．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在第二、四象限的公共点．若四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；①
又四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
23．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，若矩形 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 2 ．
【解答】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （负的舍去）．
故答案为：2．
24．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
25．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
26．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点， SKIPIF 1 < 0 且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 落在另一条渐近线上，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 2 ．
【解答】解：如图，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．
27．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心为点 SKIPIF 1 < 0 ，若有且只有一对相交于点 SKIPIF 1 < 0 、所成的角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是这对直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：不妨设双曲线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 及双曲线的对称性知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，如图，
又 SKIPIF 1 < 0 满足条件的直线只有一对，
当直线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线的渐近线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角大于 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线与直线才能有交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若双曲线的渐近线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角等于 SKIPIF 1 < 0 ，则无交点，
且不可能存在 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线渐近线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角小于 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线与直线有一对交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若双曲线的渐近线与 SKIPIF 1 < 0 轴夹角等于 SKIPIF 1 < 0 ，也满足题中有一对直线，
但是如果大于 SKIPIF 1 < 0 ，则有两对直线．不符合题意，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
28．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是短轴的一个端点，线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：如图， SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的第二定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
29．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 右支上的一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆在边 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆在边 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
30．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线及渐近线的对称性圆交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
而由点到直线的距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．