2024届高考数学-第10讲 几何法秒解离心率问题（解析版）

这是一份2024届高考数学-第10讲 几何法秒解离心率问题（解析版），共22页。试卷主要包含了设，分别是双曲线的左、右焦点等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共19小题）
1．过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，记右焦点为，则为的中点，
为的中点，为△的中位线，，
为切点，，，
点在双曲线上，，，
在中，有：，，即，
离心率，
故选：．
2．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：可设为第一象限的点，且，，
由题意可得，①
由双曲线的定义可得，②
由勾股定理可得，③
联立①②③消去，，可得：
，即，
则，
故选：．
3．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，，则椭圆离心率的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．
因此，
，，，
，
，
又，，
，，，，
，，
，，
故选：．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，，
而由椭圆的定义可知，
所以，所以，则，
在中，，
所以在△中，，
即，
整理可得：，所以，
故选：．
5．设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，
，故．
过作，在直角三角形中，，，
由，可得．
即可得，
．
故选：．
6．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为
A．B．4C．D．
【解答】解：、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，
若，且，可得：，，，，
代入椭圆方程可得：，可得，
可得，解得．
代入双曲线方程可得：，
可得：，
可得：，解得，
则与的离心率之和为：．
故选：．
7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为
A．3B．2C．D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形．
，．
设，则，
，即，．
，，
又，
在△中，由余弦定理可得：，
即，，
双曲线的离心率．
故选：．
8．设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，
为椭圆上一点，且，，
可知：，，设，可得，
，
，解得，
可得．
故选：．
9．已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示：
由点到直线距离公式可知：，
又，，，，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，即，
由双曲线离心率公式可知：．
故选：．
10．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为．已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：令代入双曲线的方程可得，
由，可得，
即为，
即有①，
因为恒成立，
由双曲线的定义，可得恒成立，
由，，共线时，取得最小值，
可得，
即有②，
由，结合①②可得，
的范围是．
故选：．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：在△中，由正弦定理知，
，
，即，①
又在椭圆上，，②
联立①②得，
即，
同除以得，，得．
椭圆的离心率的取值范围为．
故选：．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线支上，满足，，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：以，为边，作平行四边形，
如图所示：
则，，
又，所以，
因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以，
根据双曲线的性质，可知，
因为，所以，
即，，
在△中，有，
又，所以，
所以，
因为，，即，
所以，解得，
又因为双曲线的离心率，所以，
由题意知，双曲线的渐近线方程为，
又直线与双曲线的左右两支各交于一点，
所以直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，
所以，即，
所以，解得（或舍去），
综上所述，．
故选：．
14．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，由，，，
所以，得．
所以．
故选：．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，
则，，，
由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得
，解得，
又，即有，
离心率．
故选：．
16．已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若△为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【解答】解：把代入双曲线，解得，
，
△为等腰直角三角形，，，
，即，
，即，
解得或（舍．
故选：．
17．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，即，
由题意可得，所以到渐近线的距离，
圆的半径为，因为，
所以可得，
所以，
所以可得离心率，
故选：．
18．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
【解答】解：双曲线的右顶点为，
以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．
若，可得到渐近线的距离为：，
可得：，即，可得离心率为：．
故选：．
19．过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，，若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：左顶点，因为，由椭圆的对称性可得，
所以，即，
所以离心率，
故选：．
二．填空题（共11小题）
20．已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为 ．
【解答】解：如图：，，，是的中点，也是的中点，
设，，，，
可得：，，
消去可得：，
即，即，，，解得，所以．
故答案为：．
21．设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：设椭圆的标准方程为：，
由，设，，，过做，
则，由椭圆的定义可得：，，
，即，①，，
由，即，
整理得：
解得，即，则
故答案为：．
22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是 ．
【解答】解：设，，
点为椭圆，
，，；
，即；①
又四边形为矩形，
，②
由①②解得，，
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
的离心率是．
故答案为：．
23．已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是 2 ．
【解答】解：令，代入双曲线的方程可得，
由题意可设，，，，
由，可得
，即为，
由，，可得，
解得（负的舍去）．
故答案为：2．
24．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：设，则，
取双曲线的右焦点，连接，，
可得四边形为平行四边形，
可得，设在第一象限，可得，即，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得，
化为，则．
故答案为：．
25．双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，，且，则双曲线的离心率是 ．
【解答】解：设，因为，则，，所以，，，
在三角形中，由余弦定理可得：，
整理可得：，
所以离心率，
故答案为：．
26．已知双曲线的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 2 ．
【解答】解：如图，由题知，
则，点是线段的中点，则，
故，
则，所以．
故答案为：2．
27．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
【解答】解：不妨设双曲线的方程是，
由及双曲线的对称性知，，，关于轴对称，如图，
又满足条件的直线只有一对，
当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，
双曲线与直线才能有交点，，，，
若双曲线的渐近线与轴夹角等于，则无交点，
且不可能存在，
当直线与轴夹角为时，双曲线渐近线与轴夹角小于，
双曲线与直线有一对交点，，，，
若双曲线的渐近线与轴夹角等于，也满足题中有一对直线，
但是如果大于，则有两对直线．不符合题意，
，则，
，，
解得．
故答案为．
28．已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：如图，，
作轴于点，则由，
得：，
所以，，
即，
由椭圆的第二定义得，
又由，得，
，解得，
故答案为：．
29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是 ．
【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，
则，，，
由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得
，解得，
又，即有，
离心率．
故答案为：．
30．已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心率的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意可得，渐近线的方程为：，由双曲线及渐近线的对称性圆交于，，
过作于，由题意可得，
因为则，，所以，
则，
而由点到直线的距离公式可得，
所以，即，即，，
故答案为：，．