新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第9讲 破解离心率问题之顶底角公式（2份打包，原卷版+解析版）

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1．如图，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，它关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右焦点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
取左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，若存在点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：如图，当动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， SKIPIF 1 < 0 对两个焦点的张角 SKIPIF 1 < 0 渐渐增大，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 点位于短轴端点 SKIPIF 1 < 0 处时，
张角 SKIPIF 1 < 0 达到最大值．由此可得：
SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则该椭圆离心率的最小值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径，原点为圆心的圆上，
圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点且 SKIPIF 1 < 0 不大于 SKIPIF 1 < 0 ，则它的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：因为椭圆中 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 最大，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是长轴的两个端点，
若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值大于等于 SKIPIF 1 < 0 即可，
即当 SKIPIF 1 < 0 为短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 即可，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该椭圆的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二．多选题（共3小题）
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．△ SKIPIF 1 < 0 的周长为6B．△ SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为5
【解答】解：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ：△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确，
对于 SKIPIF 1 < 0 ：△ SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确，
对于 SKIPIF 1 < 0 ：若要存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为5，故 SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是钝角，则满足条件的一个 SKIPIF 1 < 0 的值 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解答】解：如图，当动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， SKIPIF 1 < 0 对两个焦点的张角 SKIPIF 1 < 0 渐渐增大，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 点位于短轴端点 SKIPIF 1 < 0 处时，张角 SKIPIF 1 < 0 达到最大值．
SKIPIF 1 < 0 椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是钝角，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
结合选项可得，满足条件的一个 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为左焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 组成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 的面积最大时， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为8
C． SKIPIF 1 < 0 的值可以为 SKIPIF 1 < 0
D．椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
【解答】解：由已知椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的性质可得：当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 最大，且此时三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积也最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 错误，
椭圆上的动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为8， SKIPIF 1 < 0 正确，
设已知的等差数列为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
三．填空题（共7小题）
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
11．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，它关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点，
SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：如图，当动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
SKIPIF 1 < 0 对两个焦点的张角 SKIPIF 1 < 0 渐渐增大，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 点位于短轴端点 SKIPIF 1 < 0 处时，
张角 SKIPIF 1 < 0 达到最大值．
由此可得： SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
15．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 两焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 椭圆离心率在 SKIPIF 1 < 0 之间取值，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是钝角，则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的范围 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：如图，
当动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， SKIPIF 1 < 0 对两个焦点的张角 SKIPIF 1 < 0 渐渐增大，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 点位于短轴端点 SKIPIF 1 < 0 处时，张角 SKIPIF 1 < 0 达到最大值，
因为椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是钝角，
所以△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．