七年级数学期中模拟卷（三）-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．一个两位数x，还有一个两位数y，若把两位数x放在y前面，组成一个四位数，则这个四位数为（ ）
A．10x+y B．xy C．100x+y D．1000x+y
【答案】C
【分析】
把两位数x放在y前面，组成一个四位数，相当于把x扩大了100倍．
【详解】
根据题意，得这个四位数是100x＋y．
故选C．
【点睛】
此题考查了用字母表示数的方法，理解数位的意义．
2．长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（ ）
A．2a2﹣π2b2B．2a2﹣πb2C．2ab﹣πb2D．2ab﹣π2b2
【答案】C
【分析】
根据“能射进阳光部分的面积=长方形的面积-直径为2b的半圆的面积．”求解即可.
【详解】
能射进阳光部分的面积是2ab﹣πb2，
故选C．
【点睛】
此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应整理为一个规则图形的面积．
3．如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于( )
A．2B．1C．﹣1D．0
【答案】A
【分析】
根据同类项的定义得出m的方程解答即可.
【详解】
根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2，
故选A.
【点睛】
本题考查了同类项，解一元一次方程，正确把握同类项的概念是解题的关键.
4．计算(－a3)2的结果是 （ ）
A．－a5B．a5C．a6D．－a6
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.
5．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、，故本选项正确；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．
6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【解析】
根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
解：∵4×4=16，（﹣4）×（﹣4）=16，2×8=16，（﹣2）×（﹣8）=16，1×16=16，（﹣1）×（﹣16）=16，
∴4+4=2m，﹣4+﹣4=2m，2+8=2m，﹣2﹣8=2m，1+16=2m，﹣1﹣16=2m，
分别解得：m=4，﹣4，5，﹣5，8.5，﹣8.5；
∴整数m的值有4个，
故选A．
7．使分式有意义的x的取值范围是( )
A．x≠1B．x≠-1C．x1
【答案】A
【详解】
解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故选A．
8．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．8个
【答案】B
【分析】
首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
【详解】
,
当或或或时，是整数，即原式是整数．
当或时，x的值不是整数，当等于或是满足条件．
故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键．
9．为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了，结果提前天完成，设施工队原计划每天铺米，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设原计划每天修路x米，则实际每天修路（1+30%）x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比计划提前7天完成修路任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设施工队原计划每天铺米，则
故选
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（ ）
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
【答案】C
【分析】
算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．
【详解】
甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：
乙杯中红墨水的比例为，蓝墨水的比例为，
再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•=毫升①
乙杯中减少的蓝墨水的数量是a•=毫升，②
∵①=②
∴故选C．
【点睛】
考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量×相应的浓度．
二、填空题(共24分)
11．计算：_____
【答案】1
【分析】
先把前面的分式的分子和分母因式分解以及把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】
解：原式=
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分得到最简分式或整式；有除法运算先要转化为乘法运算．
12．下列各式中，最简分式有_____个．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】1．
【分析】
根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．
【详解】
①符合最简分式的定义，符合题意．
② 的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；
③⑤不是分式，不符合题意；
④ 的分子、分母中含有公因式（5+2a），不是最简分式，不符合题意；
⑥的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
13．已知，那么=_______________
【答案】
【分析】
利用同底数幂的除法的逆用、幂的乘方的逆运算进行计算即可得．
【详解】
原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法的逆用、幂的乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
14．分解因式：a2﹣a﹣6=________________．
【答案】（a+2）（a﹣3）
【分析】
利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：原式=（a+2）（a-3）．
故答案是：（a+2）（a-3）．
【点睛】
此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．已知，则=_____________
【答案】14
【分析】
首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．
16．计算：＝_________________．
【答案】
【分析】
利用分数指数幂化与根式的互化公式求解．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质与根式的求解，准确计算是解题的关键．
17．计算：3n﹣2n＝_____．
【答案】n
【分析】
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．
【详解】
解：3n﹣2n＝n．
故答案为：n．
【点睛】
本题考查了同类项的定义，合并同类项，熟练掌握同类项的定义，并准确进行合并同类项的计算是解题的关键．
18．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为_____．
【答案】-2
【详解】
因为多项式x|m|＋（m－2）x－10是二次三项式，
可得：m−2≠0，|m|=2，
解得：m=−2，
故答案为−2
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)先化简，再求的值，其中．
【答案】，
【分析】
原式先根据分式的乘除运算法则化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=．
当时，原式=．
【点睛】
本题考查了分式的乘除与代数式求值，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
20．(本题12分)（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】
（1）根据分式的除法运算法则计算即可；
（2）将分式的分子、分母约去相同的因式即可；
（3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可；
（4）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可；
（5）将分式的分子、分母分别应用分组分解法因式分解后约去相同的因式即可；
（6）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可．
【详解】
（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
（5）
；
（6）
．
【点睛】
本题主要考查了分式加减乘除混合运算，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．
21．(本题9分)对于正数x，规定：．
例如：，，．
（1）填空：________；_______；_________；
（2）猜想：_________，并证明你的结论；
（3）求值：．
【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据给出的规定计算即可；
（2）根据给出的规定证明；
（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．
【详解】
解：（1） =， =，,+=1，
（2），
理由为：
，
则．
（3）原式
．
【点睛】
本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．
22．(本题9分)因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】（1）；（2）m，n的值分别为和0；（3）．
【分析】
（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得
（2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【详解】
解：（1）∵是多项式的一个因式
∴时，
∴
∴
∴
∴的值为；
（2）和是多项式的两个因式，
∴当和时，，
∴，
解得：
∴m，n的值分别为和0；
（3）∵，，
∴可化为：
∴
．
【点睛】
本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
23．(本题10分)阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．
解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，
则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，
那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题：
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；
（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．
【答案】（1）60；（2）1056
【分析】
（1）根据阅读理解中的方法，将代数式换元后配方即可求解；
（2）根据题意先证明阴影长方形为正方形，仿照阅读理解中的方法列式换元求解即可．
【详解】
解：（1）设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝20，
∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，
∴（40﹣x）2+（x﹣30）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝100﹣40
＝60；
（2）S矩形EFGD＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，
设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200，且a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
∴ME=ED=FG= x -14，DG=GN=EF= x -30
∴MF=ME +EF= x -14+ x -30= 2x -44，FN=FG+GN= x -14+ x -30= 2x -44，
∴MF=FN，
∴长方形MFNP是正方形，
则S阴影＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝256+800＝1056．
【点睛】
本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．