2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.5《三角恒等变换》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[提醒] 在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2．二倍角公式
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A.eq \f(8,9) B．eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
2.已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________.
3．化简cs 18°cs 42°－cs 72°sin 42°的值为________．
4．eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝________.
二、易错点练清
1．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(10),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5)，则α＋β＝( )
A.eq \f(3π,4) B．eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D．eq \f(3π,4)或eq \f(π,4)
2化简：eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(1－sin 40°))＝________.
考点一 三角函数式的化简求值
[典例] 化简：eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝________.
[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[提醒] 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
[针对训练]
已知α∈(0，π)，化简：eq \f(1＋sin α＋cs α·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)－sin \f(α,2))),\r(2＋2cs α)).
考点二 三角函数的求值
考法(一) 给值(角)求值
[例1] (1)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)若α，β均为锐角且cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋2β))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
[方法技巧]
给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考法(二) 给值求角
[例2] 已知A，B均为钝角，sin2eq \f(A,2)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝eq \f(5－\r(15),10)，且sin B＝eq \f(\r(10),10)，则A＋B＝( )
A.eq \f(3π,4) B．eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D．eq \f(7π,6)
[方法技巧]
给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．
[针对训练]
1．已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B．eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
2．已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
4.eq \f(cs 10°1＋\r(3)tan 10°,cs 50°)的值是________．
考点三 三角恒等变换的综合问题
[典例]已知函数f(x)＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
[方法技巧]
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝eq \f(2π,ω)(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
[针对训练]
设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))cs x－sin2(π－x)－eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝eq \f(3\r(2),10)－1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,8)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,8)))的值．
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
三角中的“拆角”“配角”技巧
三角函数的计算是高考一个重要的考点，对于一些角的计算问题除了掌握两角和与差的三角函数公式及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”“配角”的技巧，抓住题设与结论中角的差异，利用公式，变不同的角为同角，实现角的转换，这样可以简化运算．“拆角”“配角”是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法．下面就三角函数求值中的“拆角”“配角”技巧作一些总结．
技巧(一) 利用特殊角进行“拆角”
[例1] 化简求值：eq \f(2cs 80°－sin 70°,cs 70°).
[名师微点]
利用特殊角，达到角的转换，从而巧妙化简求值．将80°拆成60°＋20°，看起来好像将问题复杂化了，但由于60°是特殊角，事实上问题变得简单了．
技巧(二) 直接利用所求角与已知角的关系进行“拆角”“配角”
[例2] 已知α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(5,13)，求cs α的值．
[名师微点]
此类问题不宜对已知角的三角函数用和(差)角公式展开，一般是根据已知角和所求角的关系进行“拆角”，将所求角用已知角表示，灵活处理已知、未知的关系．同时要注意角的范围，适时地将角的范围尽可能地缩小．
技巧(三) 利用所求角与已知角的关系，借助于诱导公式变形“拆、配”
[例3] 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α