2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.4《椭圆》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq \r(3)，则△PF1F2的周长是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3) C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
[针对训练]
1．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是________．
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(﹣5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
[针对训练]
1．若直线x﹣2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)已知椭圆方程为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] (1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x﹣3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
[方法技巧] 求椭圆离心率范围的2种方法
考法(三) 与椭圆性质有关的最值或范围问题
[例3] 如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为( )
A．1 B．2eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，﹣3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq \f(32,5)
2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(6),3)
3．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
椭圆中的垂径定理：kAB·kOM＝﹣eq \f(n,m).
[应用体验]
1．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，﹣1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
2．如果AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e2
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,32)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,36)＝1
2．“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则( )
A．e1>e2 B．e1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
5．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1﹣eq \f(\r(3),2) B．2﹣eq \r(3) C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)﹣1
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
5．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(00)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
11．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
12．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
13．已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程．
三、自选练——练高考区分度
1．已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))) B．(eq \r(3)﹣1,1) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(\r(6),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3)))
3.如图所示，A1，A2是椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝( )
A．2 B．3 C．4 D．eq \f(5,2)
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2﹣b2
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系