新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.3.2《简单的三角恒等变换》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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考点1 三角函数式的化简
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
(1)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan（\f(π,4)－x）sin2（\f(π,4)＋x）)＝________.
(2)已知cs(θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(10),10)，θ∈(0，eq \f(π,2))，则sin(2θ﹣eq \f(π,3))＝________.
(3)已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)﹣2，则sin(α＋eq \f(5π,6))＝________.
(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.
考点2 三角函数的求值
给角求值
[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝________.
给值求值
(1)已知cs(α﹣eq \f(π,6))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sin(α＋eq \f(7π,6))＝________.
(2)已知cs(eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(3,5)，eq \f(17π,12)＜α＜eq \f(7π,4)，则eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值为________.
(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.
(2)注意(eq \f(π,4)＋x)与(eq \f(π,4)﹣x)互余，sin 2(eq \f(π,4)＋x)＝cs 2x，cs 2(eq \f(π,4)﹣x)＝sin 2x的灵活应用.
给值求角
(1)设α，β为钝角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝﹣eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α﹣β)＝eq \f(1,2)，tan β＝﹣eq \f(1,7)，则2α﹣β的值为________.
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
(1)已知正切函数值，则选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是(0，eq \f(π,2))，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为(﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，则选正弦较好.
提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围.
1.若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈[eq \f(π,4)，π]，β∈[π，eq \f(3π,2)]，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4) C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
2.已知α∈(0，eq \f(π,2))，且2sin2α﹣sin α·cs α﹣3cs2α＝0，则eq \f(sin（α＋\f(π,4)）,sin 2α＋cs 2α＋1)＝_____.
3.计算eq \f(cs 10°（1＋\r(3)tan 10°）,cs 50°)的值是________.
考点3 三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)把形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝[f(x＋eq \f(π,12))]2＋[f(x＋eq \f(π,4))]2的值域.
(1)求三角函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号.
已知函数f(x)＝sin2x﹣cs2x﹣2eq \r(3)sin xcs x(x∈R).
(1)求f(eq \f(2π,3))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
简单的三角恒等变换
一、选择题
1.已知sin(eq \f(π,6)﹣α)＝cs(eq \f(π,6)＋α)，则tan α＝( )
A.1 B.﹣1 C.eq \f(1,2) D.0
2.求值：eq \f(cs 20°,cs 35°\r(1－sin 20°))＝( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
3.若sin(eq \f(π,3)﹣α)＝eq \f(1,4)，则cs(eq \f(π,3)＋2α)等于( )
A.﹣eq \f(7,8) B.﹣eq \f(1,4) C.eq \f(1,4) D.eq \f(7,8)
4.设α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，eq \f(π,2))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则( )
A.3α﹣β＝eq \f(π,2) B.2α﹣β＝eq \f(π,2) C.3α＋β＝eq \f(π,2) D.2α＋β＝eq \f(π,2)
5.若函数f(x)＝5cs x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cs θ等于( )
A.eq \f(5,13) B.﹣eq \f(5,13) C.eq \f(12,13) D.﹣eq \f(12,13)
二、填空题
6.化简：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝________.
7.已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈(﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，则α＋β＝________.
8.函数y＝sin xcs(x＋eq \f(π,3))的最小正周期是________.
三、解答题
9.已知函数f(x)＝2sin xsin(x＋eq \f(π,6)).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[0，eq \f(π,2)]时，求函数f(x)的值域.
10.已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间[﹣eq \f(π,3)，m]上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值.
1.已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,3)或﹣eq \f(2π,3) C.﹣eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.﹣eq \f(2π,3)
2.已知cs(eq \f(2π,3)﹣2θ)＝﹣eq \f(7,9)，则sin(eq \f(π,6)＋θ)的值为( )
A.eq \f(1,3) B.±eq \f(1,3) C.﹣eq \f(1,9) D.eq \f(1,9)
3.已知A，B均为锐角，cs(A＋B)＝﹣eq \f(24,25)，sin(B＋eq \f(π,3))＝eq \f(3,5)，则cs(A﹣eq \f(π,3))＝________.
4.已知函数f(x)＝cs2x＋sin xcs x，x∈R.
(1)求f(eq \f(π,6))的值；
(2)若sin α＝eq \f(3,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，求f(eq \f(α,2)＋eq \f(π,24)).
1.已知α∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))，β∈(0，eq \f(π,4))，且cs(eq \f(π,4)﹣α)＝eq \f(3,5)，sin(eq \f(5π,4)＋β)＝﹣eq \f(12,13)，则cs(α＋β)＝________.
2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(﹣3，eq \r(3)).
(1)求sin 2α﹣tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cs(x﹣α)cs α﹣sin(x﹣α)sin α，求函数g(x)＝eq \r(3)f(eq \f(π,2)﹣2x)﹣2f2(x)在区间[0，eq \f(2π,3)]上的值域.