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专题九 计数原理与概率统计——2024届高考数学二轮复习模块精练【新教材新高考】(含答案)
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这是一份专题九 计数原理与概率统计——2024届高考数学二轮复习模块精练【新教材新高考】(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、甲､乙､丙､丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑､3000米长跑､跳高、跳远､铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )
A.224种B.288种C.314种D.248种
2、为庆祝党的二十大胜利召开,某校举办“学习党的历史,争做新时代好少年”主题教育活动.为评估本次教育活动的效果,拟抽取150名同学进行党史测试.已知该校高一学生360人,高二学生300人,高三学生340人,采用分层抽样的方法,应抽取高一学生人数为( )
A.60B.54C.51D.45
3、已知某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其中的产品为“合格品”,若从这批零件中随机抽取一件,则抽到合格品的概率约为( )
(附:若,则,,)
4、为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
5、的展开式中的系数为40,则实数a的值为( )
A.4B.2C.1D.
6、某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点的残差为( )
A.-5B.-6C.3D.2
7、已知随机变量的分布列如下：
其中,2,若,则( )
A.,B.,
C.,D.,
8、某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人.现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为( )
二、多项选择题
9、将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A.事件A与B相互独立B.事件A与C不相互独立
C.D.
10、用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个,再将40个男生成绩样本数据分为6组:,,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图(同一组的数据用该组的中间值代表)则下列说法中正确的是 ( )
A.男生成绩样本数据的平均数为71
B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内
C.在和内的两组男生成绩中,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为
D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,则总样本的方差为146
三、填空题
11、从红、绿、黄、紫、白、蓝 6 种颜色中任选 2 种不同的颜色, 则没有选红色的概率为____________.
12、若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为________.
13、某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,8,10,12.已知这组数据的平均数为10,标准差为,则的值为______________.
14、盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取2个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为X,则________,________.
四、解答题
15、2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率,对该项产品进行了科技创新和市场开发,经过一段时间的运营后,统计得到x,y之间的五组数据如下表:
其中,x(单位:百万元)是科技创新和市场开发的总投入,y(单位:百万元)是科技创新和市场开发后的收益.
（1）求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度;
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研,在调研100名男女消费者中,得到的数据如下表:
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关?
（3）对（2）中调研的45名女消费者,按照其满意程度进行分层抽样,从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察,再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研,设这4人中选择“满意”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式:①;
②,其中.
临界值表:
参考数据:.
参考答案
1、答案：B
解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有种；
②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有种.
故他们报名的情况总共有种.
故选：B.
2、答案：B
解析：,
所以应抽取高一学生人数为54人,
故选：B.
3、答案：D
解析:因为某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,
所以
.
故选:D.
4、答案：C
解析：因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.
综上,给出结论中不正确的是C.
故选：C.
5、答案：C
解析：展开式的通项公式,,1,2···,5
则其展开式中的系数为,
的系数为,
又的展开式中的系数为40,
故,则,
故选：C.
6、答案：B
解析：令，则，
，
所以，，所以，
当时，，所以残差为.故选B.
7、答案：B
解析：由表中数据可知,
,,
又,
,,
,.
故选：B.
8、答案：C
解析：记事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”.由题意知，，，，，，，由全概率公式得，.即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62.
故选：C.
9、答案：BD
解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD.
10、答案：AC
解析:对于选项A,根据频率分布直方图有,男生成绩样本数据的平均数,故A正确;
对于选项B,根据频率分布直方图有,男生数学成绩在84分以内的人数的频率为,所以估计有80%的男生数学成绩在84分以内,故B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图有,在和内的男生人数分别为6人,2人,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为,故C正确;
对于选项D,设女生成绩样本数据的平均数为,则总样本的平均数,
所以总样本的方差为,故D错误.
故选:AC.
11、答案：
解析：从红、绿、黄、紫、白、蓝 6 种不同的颜色中任选 2 种, 共有 15 种不同的情况, 其中没有选红色的所有情况为 (绿, 黄), (绿, 紫), (绿,白), (绿, 蓝), (黄, 紫), (黄, 白), (黄, 蓝), (紫, 白), (紫, 蓝), (白, 蓝), 共 10 种, 故 所求概率为.
12、答案：45
解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以,
展开式的通项为,
令得,所以展开式中的常数项为.
故答案为:.
13、答案：
解析：平均数为,即①,
方差为,
即②,
由①②解得,或,,
所以当,时,；当,,
故答案为：.
14、答案：,
解析:在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为
表示取出两个球,其中一黑一白:
表示取出两个球为黑球:
表示取出两个球为白球,
故答案为:;.
15、答案：（1）0.84,科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）有
（3）分布列见解析,
解析:（1）由题意可得,,
,
,
.
“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意:
,
有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人,不满意的有4人
由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
;
;
;
;
,
X的分布列为:
.
第x天
1
2
3
4
5
使用人数y
15
173
457
842
1333
0
1
2
P
x
1
2
3
4
5
y
9
11
14
26
20
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
4
9
16
25
使用人数y
15
173
457
842
1333
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
X
0
1
2
3
4
P
一、选择题
1、甲､乙､丙､丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑､3000米长跑､跳高、跳远､铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )
A.224种B.288种C.314种D.248种
2、为庆祝党的二十大胜利召开,某校举办“学习党的历史,争做新时代好少年”主题教育活动.为评估本次教育活动的效果,拟抽取150名同学进行党史测试.已知该校高一学生360人,高二学生300人,高三学生340人,采用分层抽样的方法,应抽取高一学生人数为( )
A.60B.54C.51D.45
3、已知某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其中的产品为“合格品”,若从这批零件中随机抽取一件,则抽到合格品的概率约为( )
(附:若,则,,)
4、为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
5、的展开式中的系数为40,则实数a的值为( )
A.4B.2C.1D.
6、某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点的残差为( )
A.-5B.-6C.3D.2
7、已知随机变量的分布列如下：
其中,2,若,则( )
A.,B.,
C.,D.,
8、某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人.现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为( )
二、多项选择题
9、将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A.事件A与B相互独立B.事件A与C不相互独立
C.D.
10、用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个,再将40个男生成绩样本数据分为6组:,,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图(同一组的数据用该组的中间值代表)则下列说法中正确的是 ( )
A.男生成绩样本数据的平均数为71
B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内
C.在和内的两组男生成绩中,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为
D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,则总样本的方差为146
三、填空题
11、从红、绿、黄、紫、白、蓝 6 种颜色中任选 2 种不同的颜色, 则没有选红色的概率为____________.
12、若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为________.
13、某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,8,10,12.已知这组数据的平均数为10,标准差为,则的值为______________.
14、盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取2个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为X,则________,________.
四、解答题
15、2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率,对该项产品进行了科技创新和市场开发,经过一段时间的运营后,统计得到x,y之间的五组数据如下表:
其中,x(单位:百万元)是科技创新和市场开发的总投入,y(单位:百万元)是科技创新和市场开发后的收益.
（1）求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度;
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研,在调研100名男女消费者中,得到的数据如下表:
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关?
（3）对（2）中调研的45名女消费者,按照其满意程度进行分层抽样,从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察,再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研,设这4人中选择“满意”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式:①;
②,其中.
临界值表:
参考数据:.
参考答案
1、答案：B
解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有种；
②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有种.
故他们报名的情况总共有种.
故选：B.
2、答案：B
解析：,
所以应抽取高一学生人数为54人,
故选：B.
3、答案：D
解析:因为某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,
所以
.
故选:D.
4、答案：C
解析：因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.
综上,给出结论中不正确的是C.
故选：C.
5、答案：C
解析：展开式的通项公式,,1,2···,5
则其展开式中的系数为,
的系数为,
又的展开式中的系数为40,
故,则,
故选：C.
6、答案：B
解析：令，则，
，
所以，，所以，
当时，，所以残差为.故选B.
7、答案：B
解析：由表中数据可知,
,,
又,
,,
,.
故选：B.
8、答案：C
解析：记事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”.由题意知，，，，，，，由全概率公式得，.即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62.
故选：C.
9、答案：BD
解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD.
10、答案：AC
解析:对于选项A,根据频率分布直方图有,男生成绩样本数据的平均数,故A正确;
对于选项B,根据频率分布直方图有,男生数学成绩在84分以内的人数的频率为,所以估计有80%的男生数学成绩在84分以内,故B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图有,在和内的男生人数分别为6人,2人,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为,故C正确;
对于选项D,设女生成绩样本数据的平均数为,则总样本的平均数,
所以总样本的方差为,故D错误.
故选:AC.
11、答案：
解析：从红、绿、黄、紫、白、蓝 6 种不同的颜色中任选 2 种, 共有 15 种不同的情况, 其中没有选红色的所有情况为 (绿, 黄), (绿, 紫), (绿,白), (绿, 蓝), (黄, 紫), (黄, 白), (黄, 蓝), (紫, 白), (紫, 蓝), (白, 蓝), 共 10 种, 故 所求概率为.
12、答案：45
解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以,
展开式的通项为,
令得,所以展开式中的常数项为.
故答案为:.
13、答案：
解析：平均数为,即①,
方差为,
即②,
由①②解得,或,,
所以当,时,；当,,
故答案为：.
14、答案：,
解析:在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为
表示取出两个球,其中一黑一白:
表示取出两个球为黑球:
表示取出两个球为白球,
故答案为:;.
15、答案：（1）0.84,科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）有
（3）分布列见解析,
解析:（1）由题意可得,,
,
,
.
“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意:
,
有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人,不满意的有4人
由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
;
;
;
;
,
X的分布列为:
.
第x天
1
2
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使用人数y
15
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2
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满意
不满意
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男
45
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女
25
20
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总计
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6.635
10.828
1
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使用人数y
15
173
457
842
1333
满意
不满意
总计
男
45
10
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女
25
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总计
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