高考数学一轮复习第2章第7课时对数与对数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第7课时对数与对数函数学案，共21页。

2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N．
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaMN＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数恒等式
algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)换底公式：lgab＝lgcblgcaa>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)lgab＝1lgba；
(2)lgambn＝nmlgab；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad．
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
3．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
(2)函数f(x)＝ax-a-xax+a-x＝a2x-1a2x+1为奇函数；
(3)函数f(x)＝lga1-x1+x为奇函数；
(4)函数f(x)＝lgax+x2+1为奇函数．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x.( )
(2)函数y＝lg2(x＋1)是对数函数．( )
(3)函数y＝ln 1+x1-x与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)函数y＝lg2x与y＝lg121x的图象重合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝lg232x-1的定义域是________．
12，1 [由lg23(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
∴12＜x≤1.
∴函数y＝lg232x-1的定义域是12，1.]
2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：
(1)；
(2)lg213________lg123.
[答案] (1)< (2)＝
3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(lg43＋lg83)·lg32＝________．
56 [(lg43＋lg83)·lg32＝lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3＝56.]
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若lga〖2/3〗) <1，则实数a的取值范围是________．
0，23∪(1，＋∞) [当a>1时，满足条件；
当0综上，a∈0，23∪(1，＋∞)．]
考点一 对数的运算
[典例1] (1)若2a＝5b＝10，则1a+1b＝ ( )
A．－1 B．lg 7
C．1 D．lg710
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________．
(1)C (2)4 [(1)∵2a＝5b＝10，
∴lg210＝a，lg510＝b，
∴1a+1b＝1lg210+1lg510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用lg 2＋lg 5＝1.
[跟进训练]
1．(1)(2022·浙江高考)已知2a＝5，lg83＝b，则4a-3b＝( )
A．25 B．5
C．259 D．53
(2)(链接常用结论1)lg23·lg38＋(3)lg34＝________．
(1)C (2)5 [(1)2a＝5，8b＝3，2a-3b＝2a23＝2a8＝53，4a-3b＝(2a-3b)2＝259，故选C.
(2)原式＝lg3lg2·3lg2lg3＋(312)lg34＝3＋3lg32＝3＋2＝5.]
考点二 对数函数的图象及应用
[典例2] (1)(多选)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝lga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A B
C D
(2)(链接常用结论2)当0＜x≤12时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．0，22 B．22，1
C．(1，2) D．(2，2)
(1)AD (2)B [(1)易知g(x)＝lga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax-2单调递减，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax-2单调递增，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f12＜g12，即2＜lga12，则a＞22，所以a的取值范围为22，1.]
[拓展变式] 将本例(2)中“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则a的取值范围是________．
0，22 [若方程4x＝lgax在0，12上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝lgax的图象在0，12上有交点．
由图象可知0＜a＜1， lga12≤2，解得0＜a≤22.]
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[跟进训练]
2．(1)已知函数f(x)＝ln x，则函数y＝f11-x的图象大致为( )
A B
C D
(2)(多选)函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞1 B．0＜c＜1
C．0＜a＜1 D．c＞1
(1)D (2)BC [(1)f11-x＝ln 11-x＝－ln (1－x)，其定义域为(－∞，1)，为增函数，故选D.
(2)由图象可知函数为减函数，所以0＜a＜1，令y＝0得lga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c.由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.]
考点三 对数函数的性质及应用
比较大小
[典例3] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝lg52，b＝lg83，c＝12，则下列判断正确的是( )
A．cC．a(2)若实数a，b，c满足lga2A．aC．c(1)C (2)C [(1)∵a＝lg52＜lg42＝12＝c，b＝lg83＞lg93＝12＝c，故a＜c＜b，故选C.
(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得
1lg2a<1lg2b<1lg2c<0，即lg2c 解与对数有关的不等式
[典例4] (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)内单调递增．若正实数a满足f(lg2a)＋f(lg12a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1，2] B．0，12
C．12，2 D．(0，2]
(2)设函数f(x)＝lg2x，x＞0，lg12(-x)，x＜0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
(1)C (2)C [(1)因为lg12a＝－lg2a，所以f(lg2a)＋f(lg12a)＝f(lg2a)＋f(－lg2a)＝2f(lg2a)，原不等式变为2f(lg2a)≤2f(1)，即f(lg2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)内单调递增，所以|lg2a|≤1，即－1≤lg2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.
(2)由题意可得
a＞0， lg2a＞-lg2a，或a＜0， lg12(-a)＞-lg2(-a)，
解得a>1或－1 对数函数性质的综合应用
[典例5] (1)(易错题)若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)(多选)已知函数f(x)＝ln 2x+12x-1，下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在12，+∞上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
(3)(2022·枣庄一模)已知函数fx＝lneax + 1－x是偶函数，则实数a的值为________．
(1)A (2)ACD (3)2 [(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有g1＞0，a≥1，即2-a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
(2)令2x+12x-1>0，解得x>12或x<－12，
∴f(x)的定义域为-∞，-12∪12，+∞，
又f(－x)＝ln -2x+1-2x-1＝ln 2x-12x+1＝ln 2x+12x-1-1
＝－ln 2x+12x-1＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故A正确；B错误．
又f(x)＝ln 2x+12x-1＝ln 1+22x-1，
令t＝1＋22x-1，t>0且t≠1，则y＝ln t，
又t＝1＋22x-1在12，+∞上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在12，+∞上单调递减，故C正确；
由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数fx＝ln eax + 1－x是偶函数，则f-x＝ln e-ax+1＋x＝fx＝ln eax + 1－x，
即ln eax+1e-ax+1＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2.]
【教师备选题】
(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在12，+∞上单调递增
B．是奇函数，且在-12，12上单调递减
C．是偶函数，且在-∞，-12上单调递增
D．是奇函数，且在-∞，-12上单调递减
D [由2x+1≠0，2x-1≠0，得函数f(x)的定义域为-∞，-12∪-12，12∪12，+∞，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln |2(－x)＋1|－ln |2(－x)－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x∈-12，12时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x∈-∞，-12时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln 2x+12x-1＝ln 1+22x-1，易知函数f(x)单调递减，故选D.]
求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
[跟进训练]
3．(1) (2023·深圳中学模拟)已知a＝lg62，b＝lg124，c＝lg186，则( )
A．c>b>a B．a>b>c
C．c>a>b D．a>c>b
(2)(多选)已知函数f(x)＝ln (x－2)＋ln (6－x)，则( )
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
(3)(链接常用结论3)已知函数f(x)＝ln (1+x2－x)＋2，则f(lg 3)＋flg13＝________．
(4)已知f(x)＝1＋lg3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________．
(1)A (2)BD (3)4 (4)5 [(1)由对数运算公式得1a＝lg26＝1＋lg23，1b＝lg412＝1＋lg43，1c＝lg618＝1＋lg63，易知lg23>lg43>lg63>0，即1a>1b>1c＞1，故c>b>a.
(2)f(x)＝ln (x－2)＋ln (6－x)＝ln [(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.
(3)设g(x)＝ln (1+x2－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg 3)＋flg13＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4.
(4)由题意得1≤x≤9， 1≤x2≤9，
∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，
g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝(1＋lg3x)2＋1＋lg3x2
＝(lg3x)2＋4lg3x＋2，
设t＝lg3x，则0≤t≤1，
则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，
∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，
当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，
∴g(x)max－g(x)min＝5.]
课时分层作业(十一) 对数与对数函数
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．lg2x B．12x
C．lg12x D．2x-2
A [函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝f(x)＝lgax，
又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝lg2x.]
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x的图象与函数g(x)＝lgbx的图象可能是( )
A B
C D
C [由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝1b-x＝bx，
∴函数f(x)＝bx与函数g(x)＝lgbx的单调性相同．
A，B，D项中的函数单调性相反，只有C项中的函数单调性相同．]
3．已知a＝2lg32，b＝2lg52，c＝12-1.1，则( )
A．aC．cB [根据换底公式lg32＝1lg23，lg52＝1lg25.
因为lg25>lg23>1，
所以0故1<2lg52<2lg32<2.
又c＝12-1.1＝21.1>21＝2，
所以b4．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的H+OH-可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．12 B．13
C．16 D．110
C [由题设有H+OH-＝H+210-14＝1014[H＋]2．又10-7.45≤[H＋]≤10-7.35 ，所以10-0.9≤1014[H＋]2≤10-0.7．所以－0.9≤lg 1014[H＋]2≤－0.7.
又lg 12≈－0.3，lg 13≈－0.48，lg 16≈－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C.]
5．(多选)(2022·汕头二模)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是( )
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C．4b·9b＝4a·9c D．1c＝2b-1a
ACD [设4a＝6b＝9c＝t>1，则a＝lg4t，b＝lg6t，c＝lg9t，
所以bc+ba＝lg6tlg9t+lg6tlg4t＝lgtlg6lgtlg9+lgtlg6lgtlg4
＝lg9lg6+lg4lg6＝lg9+lg4lg6＝lg9×4lg6＝lg62lg6＝2，
即bc+ba＝2，所以1c+1a＝2b，所以1c＝2b-1a，故D正确；由bc+ba＝2，所以ab＋bc＝2ac，故A正确，B错误；因为4a·9c＝4a·4a＝4a2，4b·9b＝4×9b＝62b＝6b2，
又4a＝6b＝9c，所以4a2＝6b2，即4b·9b＝4a·9c，故C正确．故选ACD.]
6．(多选)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)＝lg12(2－x)－lg2(x＋4)，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域是[－4，2]
B．函数y＝f(x－1)是偶函数
C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称
BD [函数fx＝lg122-x－lg2x+4＝-lg22-xx+4，
由2－x>0，x＋4>0，可得－4y＝fx-1＝－lg23-xx+3的定义域为(－3，3)，设gx＝－lg23-xx+3，所以
g-x＝－lg23+x-x+3＝gx，即y＝fx-1是偶函数，B选项正确；
fx＝－lg22-xx+4＝－lg2(－x2－2x＋8)＝－lg2[－(x＋1)2＋9] ＝lg12[－(x＋1)2＋9]，令t＝－(x＋1)2＋9，
当x∈-1，2时，t＝－x+12＋9是减函数，y＝lg12t也是减函数，所以函数fx在区间-1，2上是增函数，故C选项错误；
由f-2-x＝－lg2x+42-x＝fx，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D选项正确．故选BD.]
二、填空题
7．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1) [令x－3＝1，则x＝4，
∴y＝lga1－1＝－1，故点P的坐标为(4，－1)．]
8．已知a＞0，若函数f(x)＝lg3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
13，+∞ [要使函数f(x)＝lg3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且在[3，4]上y＝ax2－x＞0恒成立，
即12a≤3， 9a-3＞0，解得a＞13.]
9．函数f(x)＝lg2x·lg22x的最小值为________．
－14 [依题意得f(x)＝12lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝lg2x+122－14≥－14，当且仅当lg2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.]
三、解答题
10．设f(x)＝lg2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝lg212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．
[解] (1)因为f(x)＝lg2(ax－bx)，
且f(1)＝1，f(2)＝lg212，
所以lg2a-b=1， lg2a2-b2=lg212，即a-b=2， a2-b2=12，
解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝lg2(4x－2x)，令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝2x-122－14，
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以94≤2x-122≤494，即2≤t≤12，
因为y＝lg2t在[2，12]上单调递增，
所以ymax＝lg212＝2＋lg23，
即函数f(x)的最大值为2＋lg23.
11．已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，a>0，且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．
[解] (1)因为f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，
所以x+1＞0，1-x＞0，解得－1故所求函数的定义域为{x|－1(2)f(x)为奇函数．证明如下：
由(1)知f(x)的定义域为{x|－1故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1由f(x)>0，得x+11-x>1，解得012．(多选)(2023·威海模拟)若a>b>1，0A．amC．lgmaBC [对于A，∵幂函数y＝xm(0b>1可知am>bm，故A错误；
对于B，∵指数函数y＝mx(0b>1可知ma对于C，∵对数函数y＝lgmx(0b>1可知lgma对于D，由C可知lgma1lgmb，即lgam>lgbm，故D错误．故选BC.]
13．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________．(写出满足条件的一个f(x)即可)
lg2x(答案不唯一) [nf(x)＝f(xn)的运算符合对数函数的运算法则，如f(x)＝lg2x，nf(x)＝nlg2x＝lg2xn＝f(xn)，可以填写lg2x.]
14．已知a>b>1，若lgab＋lgba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
4 2 [设lgba＝t，则t>1，
因为t＋1t＝52，解得t＝2或12(舍)，
即lgba＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝bb2，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.]
15．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为a2，b2，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求实数t的取值范围．
[解] 函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝lgaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0∴f(x)在定义域R上为增函数，由题意，令f(x)＝lga(ax＋t2)＝12x，
∴ax＋t2＝ax2，则ax－ax2＋t2＝0.
令u＝ax2，u>0，
则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根．
则Δ＝1－4t2>0，且t2>0，
∴0∴实数t的取值范围是-12，0∪0，12.
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数