高考数学一轮复习第8章第7课时双曲线学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第7课时双曲线学案，共35页。

2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2．
[常用结论]
1．双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x2m-y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(易错题)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6.]
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224-y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
10 75 y＝±5612x [双曲线y225-x224＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，
渐近线方程为y＝±5612x.]
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．
x215-y215＝1 [设双曲线的方程为x2a2-y2a2＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为x215-y215＝1.]
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－2，－1) [因为方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1.]
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝________．
(1)x2－y28＝1(x≤－1) (2)34 [(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，
所以cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝422+222-422×42×22＝34.]
[拓展变式]
1．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝23.
2．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.

【教师备选题】
(1)x2+y-32-x2+y+32＝4表示的曲线方程为( )
A．x24-y25＝1(x≤－2)
B．x24-y25＝1(x≥2)
C．y24-x25＝1(y≤－2)
D．y24-x25＝1(y≥2)
(2)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．直线 D．圆
(3)(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
(1)C (2)B (3)C [(1)x2+y-32的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，x2+y+32的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则x2+y-32-x2+y+32＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则x2+y-32-x2+y+32＝4表示的曲线方程为y24-x25＝1(y≤－2)．
(2)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(3)因为函数f(x)＝ax2＋b，所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，所以f2(s)＝f(s－t)f(s＋t)，即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，化简得-2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，得t＝0或2as2－at2＝2b，易知点(s，t)的轨迹为一条直线和一个双曲线．故选C.]
双曲线定义的应用
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3 B．16＋2
C．12＋2 D．24
(2)已知F是双曲线x24-y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
(1)B (2)9 [(1)由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝24.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①
|BF2|－|BF1|＝22，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，
则△ABF2的周长为16＋2，故选B.
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]
考点二 双曲线的标准方程
[典例2] (1)(多选)已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.x24-y22＝1 B．y24-x28＝1
C．x24-y28＝1 D．y24-x22＝1
(2)已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )
A．x24-y22＝1 B．x23-y22＝1
C．x24-y28＝1 D．x2－y22＝1
(3)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________．
(1)AB (2)D (3)y225-x275＝1 [(1)设双曲线方程为x22m-y2m＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为x24-y22＝1或y24-x28＝1.
(2)由题意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，由双曲线的定义可得43c3-23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y22＝1，故选D.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴9m-28n=1，72m-49n=1，解得m=-175，n=-125.
∴双曲线方程为y225-x275＝1.]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1)(2022·天津高考)已知抛物线y2＝45x，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝π4，则双曲线的标准方程为( )
A．x210－y2＝1 B．x2－y216＝1
C．x2－y24＝1 D．x24－y2＝1
(2)(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为x216-y29＝1的条件是( )
A．双曲线的离心率为54
B．双曲线过点5，94
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
(3)(2022·广东广州二模)写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为y＝2x；③焦距大于10.
(1)C (2)ABC (3)5y2144-5x236＝1(答案不唯一，写出一个即可) [(1)抛物线y2＝45x的准线方程为x＝－5，
则c＝5，则F1(－5，0)，F2(5，0)，
不妨设点A为第二象限内的点，联立y=-bax，x=-c，
可得x=-c，y=bca，即点A-c，bca，
因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A＝π4，则△F1F2A为等腰直角三角形，且|AF1|＝|F1F2|，即bca＝2c，可得ba＝2，
所以ba=2，c=5，c2=a2+b2，解得a=1，b=2，c=5，因此，双曲线的标准方程为x2－y24＝1.
(2)由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若双曲线的离心率为54，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点5，94，则25a2-8116b2=1，a2+b2=25， 得a2=16，b2=9， 此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为x216-y29＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为x24-y221＝1，故D错误．故选ABC.
(3)由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)．
由②一条渐近线方程为y＝2x知，ab＝2，即a＝2b.
由③知，2c＞10，即c＞5，
则可取c＝6.(此处也可取大于5的其他数)
又∵a2＋b2＝c2，∴(2b)2＋b2＝36，∴b2＝365.
∴a2＝4b2＝1445，则同时满足性质①②③的一个双曲线方程为5y2144-5x236＝1.]
考点三 双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
[典例3] (2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
y＝±3x [∵双曲线的方程是x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线为y＝±bax，
∵离心率为e＝ca＝2，可得c＝2a， ∴c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得双曲线的渐近线为y＝±3x.]
双曲线的离心率
[典例4] (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A．72 B．132
C．7 D．13
(2)若斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，3) D．(3，＋∞)
(1)A (2)D [(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2+9m2-2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝F1F2PF1-PF2＝7m2m＝72.
(2)因为斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2＝1恒有两个公共点，所以ba＞2，则e＝ca＝1+b2a2＞1+2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故选D.]
双曲线几何性质的综合应用
[典例5] (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
A．-33，33 B．-36，36
C．-223，223 D．-233，233
(2)已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
(1)A (2)B [(1)因为F1-3，0，F23，0，x022-y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x02+y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.
(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝23π，所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2
＝12×2a×4a×32＝23a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a2，
所以S△AF1F2S△ABF2＝23a243a2＝12.故选B.]
【教师备选题】
(2022·广西柳州二模)如图1所示，双曲线具有光学性质，从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs ∠BAC＝－35，AB⊥BD，则双曲线E的离心率为( )
图1 图2
A．52 B．173
C．102 D．5
B [依题意，直线CA，DB都过点F1，
如图，有AB⊥BF1，cs ∠BAF1＝35，
设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a＋m，显然有tan ∠BAF1＝43，|AB|＝34|BF1|＝34(2a＋m)，|AF2|＝32a－14m，
因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝72a－14m，
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即916(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝72a-14m2，
解得m＝23a，即|BF1|＝83a，|BF2|＝23a.
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即23 a2＋83 a2＝(2c)2，解得ca＝173，
所以双曲线E的离心率为173.故选B.]
1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2-y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2-x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2-a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(2023·湖南长沙一中模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，则C的离心率为( )
A．2 B．3
C．2 D．5
(2)(多选)已知双曲线C的方程为x216-y29＝1，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±34x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94
(3)已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)D (2)ABC (3)(1，2) [(1)因为双曲线C：x2a2-y2b2＝1的一条渐近线为y＝2x，所以ba＝2，所以双曲线C的离心率为ca＝c2a2＝a2+b2a2＝1+b2a2＝1+22＝5.故选D.
(2)由题意知，a＝4，b＝3，所以c＝a2+b2＝42+32＝5.对于A，双曲线C的实轴长为2a＝8，故A正确；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±34x，故B正确；对于C，双曲线C的焦点为(±5，0)，其到渐近线的距离为3×542+32＝3，故C正确；对于D，当双曲线的顶点与焦点位于y轴的同侧时，该顶点到焦点的距离即双曲线C上的点到焦点距离的最小值，为1，故D错误．
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2.]
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6] (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)2(满足10，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±bax，
结合渐近线的特点，只需0可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”．
所以e＝ca＝1+b2a2≤1+4＝5，
又因为e>1，所以1故答案为2(满足1＜e≤5皆可)．]
(2)[解] ①因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝217，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝17，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－y216＝1(x≥1)．
②设T12，t，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1x-12(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2x-12(k2≠0)，
由y-t=k1x-12，x2-y216=1， 得(16-k12)x2－2k1t-k12x－t-k122－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知16-k12≠0，
则xAxB＝-t-k122-1616-k12，xA＋xB＝2k1t-k1216-k12，
所以|TA|＝1+k12xA-12 ＝1+k12xA-12，
|TB|＝1+k12x-12＝1+k12x-12，
则|TA|·|TB|＝(1+k12)xA-12xB-12＝(1+k12)xAx-12xA+xB+14
＝1+k12·-t-k122-1616-k12-12·2k1t-k1216-k12+14＝1+k12t2+12k12-16.
同理得|TP|·|TQ|＝1+k22t2+12k22-16.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以1+k12t2+12k12-16＝1+k22t2+12k22-16，所以k22-16+k12k22-16k12＝k12-16+k12k22-16k22，
即k12＝k22，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
【教师备选题】
(1)(多选)已知双曲线C的方程为x29-y216＝1，A，B两点分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则( )
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则离心率变大
C．k1·k2为定值
D．存在实数t使得直线y＝53x＋t与双曲线左，右两支各有一个交点
(2)(多选)(2023·衡水中学模拟)已知F1，F2是双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为π6的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且|MP|＝|MF1|，下列判断正确的是( )
A．∠F1PF2＝π3
B．E的离心率等于3
C．△PF1F2的内切圆半径3－1
D．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2
(1)AC (2)ABD [(1)对于A，因为双曲线C的一个焦点F(5，0)，
渐近线方程化为4x±3y＝0，
∴焦点F到渐近线的距离为d＝4×516+9＝4，故A正确；
对于B，双曲线C的离心率e＝53，若C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则b+ma+m-ba＝4+m3+m-43＝12+3m-12-4m33+m＝-m33+m＜0，
所以新离心率e′＝1+b+ma+m2＜1+ba2＝e，
即离心率变小，故B错误；
对于选项C，A(－3，0)，B(3，0)，P(x，y)，
∵k1＝yx+3，k2＝yx-3，
∴k1·k2＝yx+3·yx-3＝y2x2-9，
又点P在双曲线上， ∴x29-y216＝1，
∴y2＝16x29-1＝16x2-99，
∴k1·k2＝16x2-99·1x2-9＝169(定值)，故C正确；
对于D，双曲线C的渐近线方程为y＝±43x，53＞43.
根据双曲线图象可知，直线y＝53x＋t若与双曲线C有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误．
故选AC.
(2)如图所示，因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以△PF1F2中，PF2∥MO，所以PF2⊥x轴．
A选项中，因为直线PF1的倾斜角为π6，所以∠F1PF2＝π3，故A正确；
B选项中，Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF2|＝233c，|PF1|＝433c，
所以|PF1|－|PF2|＝2a＝233c，得e＝ca＝3，故B正确；
C选项中，△PF1F2的周长为(2＋23)c，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有(2＋23)cr＝2c·233c，
得r＝1-33c，是与c有关的式子，所以C错误；
D选项中，A，B关于原点对称，可设A(m，n)，B(－m，－n)，Pc，233c，根据e＝ca＝3得P(3a，2a)，
所以当斜率存在时，kPA＝n-2am-3a，kPB＝-n-2a-m-3a，kPA·kPB＝4a2-n23a2-m2，
因为A，B在双曲线上，所以m2a2-n2b2＝1，
即m2a2-n22a2＝1，得n2＝2m2－2a2.
所以kPA·kPB＝4a2-n23a2-m2＝6a2-2m23a2-m2＝2，故D正确．故选ABD.]
解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线x216-y29＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．-43，43
B．-∞，-34∪34，+∞
C．-34，34
D．-∞，-43∪43，+∞
(2)过双曲线x2－y23＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(3)(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是( )
A．弦AB的最小值为2b2a
B．若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝b2a2
D．若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
(1)B (2)B (3)ABC [(1)双曲线的渐近线为y＝±34x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点．当直线l斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率k＞34；当直线l斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k＜－34.故选B.
(2)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝2b2a＝6，则当直线l与双曲线的右支交于A，B两点时，满足题意的直线l有1条；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6，则当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时，还可作出2条直线l，使得|AB|＝6.故满足题意的直线l有3条，故选B.
(3)对于A，AB的最小值为通径2b2a，故A正确；对于B，由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，
得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以三角形△F1AB的周长|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，故B正确；
对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，
两式相减得x1+x2x1-x2a2-y1+y2y1-y2b2＝0，
则1a2-y1+y2b2x1+x2·y1-y2x1-x2＝0，
则1a2-1b2·kOM·k＝0，则kOM·k＝b2a2，故C正确；
对于D，若直线AB的斜率为3，所以ba＜3，
所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，所以D错误．故选ABC.]
课时分层作业(五十一) 双曲线
一、选择题
1．(2021·北京高考)双曲线x2a2-y2b2＝1过点(2，3)，离心率为2，则双曲线的标准方程为( )
A．x2－y23＝1 B．x23－y2＝1
C．x2－3y23＝1 D．3x23－y2＝1
A [双曲线离心率e＝ca＝2，故c＝2a，b＝3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2-33a2＝1a2＝1，故a＝1，b＝3，故双曲线方程为x2－y23＝1.]
2．F1，F2是双曲线x24-y212＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．152
C．123 D．30
A [由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝53|PF2|.
又P是双曲线x24-y212＝1上的一点，则
|PF1|－|PF2|＝23|PF2|＝4，则|PF2|＝6，|PF1|＝10，
又|F1F2|＝8，则|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，则PF2⊥F1F2.
则△PF1F2的面积等于12|PF2|·|F1F2|＝12×6×8＝24.故选A.]
3．(2022·广东茂名二模)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1的一条渐近线过点P(1，2)，F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为( )
A．3 B．4
C．5 D．10
D [由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，
P(1，2)在一条渐近线上，所以ba＝2，进而可得c＝5a，
由|PF|＝b，可得1-c2+22＝b.
∴(1－c)2＋4＝b2，∴1＋c2－2c＋4＝b2＝45c2，
∴c2－10c＋25＝0，解得c＝5，∴2c＝10.
故选D.]
4．已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为( )
A．52 B．62
C．2 D．213
D [设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知
B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1＝y22-y12x22-x12.
因为点A，P在双曲线上，
所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，
得x22-x12a2＝y22-y12b2，所以b2a2＝y22-y12x22-x12.
所以kPA·kPB＝b2a2＝43，所以e2＝a2+b2a2＝73，所以e＝213.故选D.]
5．(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1，F2为双曲线C：y23－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．PF1-PF2＝23
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±33x
C.双曲线C的离心率为233
D．PF1+PF2≥23
CD [双曲线C：y23－x2＝1的焦点在y轴上，a＝3，b＝1，c＝a2+b2＝2.
对于A选项，PF1-PF2＝2a＝23，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±abx＝±3x，故B错误；
对于C选项，e＝ca＝23＝233，故C正确；
对于D选项，设Px，y，则PO＝x2+y2＝x2+3x2+3＝3+4x2≥3(x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以PF1+PF2＝2PO＝2PO≥23，故D正确．
故选CD.]
6．(多选)(2020·新高考Ⅱ卷) 已知曲线C：mx2＋ny2＝1．( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为n
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mnx
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
ACD [对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m+y21n＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± -mnx，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.]
二、填空题
7．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
33 [双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，
解得m＝33或m＝－33(舍去)．]
8．(2023·湖北武汉高三开学考试)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________．
①经过点(2，1)；
②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点．
y＝2x－1或y＝x＋1－2或y＝－x＋1＋2(只需答其中之一即可) [显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(1－k2)x2－2k(1－2k)x－2＋22k－2k2＝0，
当1－k2＝0，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x＋1－2，或y＝－x＋1＋2，
当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－2k)2－4(1－k2)(－2＋22k－2k2)＝0，所以k1＝k2＝2，
此时直线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－1.]
9．如图，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
2+2 [由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± a2b2b2-a2，所以2·a2b2b2-a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2+2.]
三、解答题
10．已知双曲线x216-y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程．
[解] (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即M点到x轴的距离为255.
(2)设双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线C过点(32，2)，
∴1816-λ-44+λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为x212-y28＝1.
11．已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±255x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意得ba＝255，①
S△AF1F2＝12×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是x25-y24＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
将y＝kx＋m与x25-y24＝1联立，消去y，
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，
得4-5k2≠0， 80m2-5k2+4>0，④
∴x1＋x2＝10km4-5k2，x1x2＝－5m2+204-5k2，
∴x0＝x1+x22＝5km4-5k2，y0＝kx0＋m＝4m4-5k2.
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，
∴kAD＝y0-2x0＝4m4-5k2-25km4-5k2＝－1k，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m<－92或m>0.
由10k2＝8－9m>0，得m<89.
综上，实数m的取值范围是m<－92或012. (多选)关于双曲线C：x24-y25＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线y25-x24＝1有相同的渐近线
B．过点F(3，0)作直线l与双曲线C交于A、B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈-52，52
D．过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
ACD [双曲线C：x24-y25＝1的渐近线方程可表示为x24-y25＝0，双曲线y25-x24＝1的渐近线方程可表示为y25-x24＝0，整理后都是y＝±52x，故A正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，∴过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：
故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±52，焦点在x轴上，∴若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈-52，52，如图所示：
故C正确；由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切．故选ACD.]
13．(多选)已知双曲线C：x2a2－y2＝1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，若kPA·kPB＝14，PF1⊥PF2，则下列说法正确的是( )
A．a＝4
B．a＝2
C．△PF1F2的面积为32
D．△PF1F2的面积为1
BD [设P(x0，y0)，Ax1，y1，因为A，B关于坐标原点对称，则B-x1，-y1，由已知得x12a2-y12＝1，x02a2-y02＝1，两式相减得x12-x02a2＝y12-y02，所以y02-y12x02-x12＝1a2，因为kPA·kPB＝y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1＝14，所以1a2＝14，得a＝2，所以选项B正确，A错误；
因为P在右支上，记PF2＝t，则PF1＝4＋t，因为PF1⊥PF2，所以t+42＋t2＝20，解得t＝6－2或t＝－6－2(舍去)，所以△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12 6-2×6+2＝1.所以选项D正确，C错误．
故选BD.]
14．(2023·四川蓉城名校联盟模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)，F为右焦点，过点F 作FA⊥x轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当∠ABF取得最大值时，双曲线的离心率为________．
6+22 [如图，根据题意得F(c，0)，Ac，b2a，B-c，-b2a，所以k1＝kBF＝b22ac，k2＝kBA＝b2ac＝2k1.
设直线BA，BF的倾斜角分别为α，β，
则tan ∠ABF＝tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ＝2k1-k11+2k12＝11k1+2k1≤24，
当且仅当k1＝b22ac＝22时等号成立，即b2＝2ac.
所以c2－a2＝2ac，即e2－2e－1＝0，
又e＞1，解得e＝6+22.]
15．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：x2a2-y2a2-1＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 2，求△PAQ的面积．
[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2-y2a2-1＝1(a＞1)上，所以4a2-1a2-1＝1，解得a2＝2，即双曲线C：x22－y2＝1.
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立y=kx+m，x22-y2=1 可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－4mk2k2-1，x1x2＝2m2+22k2-1，
所以由kAP＋kAQ＝0可得，y2-1x2-2+y1-1x1-2＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×2m2+22k2-1＋(m－1－2k)×-4mk2k2-1－4(m－1)＝0，
化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，
因为tan ∠PAQ＝2 2，所以tan (β－α)＝2 2，即tan 2α＝－2 2，
即2tan2α－tanα－2＝0，解得tan α＝2，
于是，直线AP：y＝2(x－2)＋1，
直线AQ：y＝－2(x－2)＋1，
联立y=2x-2+1，x22-y2=1 可得，32x2＋2 2(1－2 2)x＋10－4 2＝0，
因为方程有一个根为2，所以xP＝10-4 23，yP＝4 2-53，
同理可得，xQ＝10+4 23，yQ＝-4 2-53.
所以PQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝163，
点A到直线PQ的距离d＝2+1-532＝2 23，
故△PAQ 的面积为12×163×2 23＝16 29.
标准方程
x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)