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2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第7节对数与对数函数
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第七节 对数与对数函数
[最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
1.对数
概念 | 如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. | |
性质 | a=N | |
logaab=b(a>0,且a≠1) | ||
换底 公式 | 换底公式:logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) | |
运算 法则 | loga(M·N)=logaM+logaN | a>0,且a≠1,M>0,N>0 |
loga=logaM-logaN | ||
logaMn=nlogaM(n∈R) |
2.对数函数的定义、图像与性质
定义 | 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数 | |
图像 | a>1 | 0<a<1 |
性质 | 定义域:(0,+∞) | |
值域:R | ||
当x=1时,y=0,即过定点(1,0) | ||
当0<x<1时,y<0; 当x>1时,y>0 | 当0<x<1时,y>0; 当x>1时,y<0 | |
在(0,+∞)上为增函数 | 在(0,+∞)上为减函数 |
3.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.
1.换底公式的两个重要结论
(1)loga b=;(2)logambn=loga b.
其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R且m≠0.
2.对数函数的图像与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=log2(x+1)是对数函数. ( )
(2)log2x2=2log2x. ( )
(3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同. ( )
(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图像不在第二、三象限. ( )
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1.(log29)·(log34)=( )
A. B.
C.2 D.4
D [(log29)·(log34)=×=×=4.故选D.]
2.函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图像恒过点________.
(3,1) [当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1.
所以函数的图像恒过点(3,1).]
⊙考点1 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
1.设2a=5b=m,且+=2,则m等于( )
A. B.10
C.20 D.100
A [由已知,得a=log2m,b=log5m,
则+=+=logm2+logm5=logm10=2.
解得m=.]
2.计算:=________.
1 [原式=
=
====1.]
对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.
⊙考点2 对数函数的图像及应用
对数函数图像的识别及应用方法
(1)在识别函数图像时,要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.
(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga (a>0,且a≠1)的图像可能是( )
A B
C D
(1)D (2)B
1.(2019·合肥模拟)函数y=ln(2-|x|)的大致图像为( )
A B
C D
A [令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2},且f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除选项C,D.
当x=时,f=ln <0,排除选项B,故选A.]
2.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
D [由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0<a<1,0<c<1.]
3.设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则( )
A.x1x2<0 B.x1x2=0
C.x1x2>1 D.0<x1x2<1
D [作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图像,如图.
显然x1<0,x2<0.
不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0,
所以10=lg(-x1),10=-lg(-x2),
此时10<10,即lg(-x1)<-lg(-x2),
由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.]
⊙考点3 对数函数的性质及应用
解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论.
(2)底数与1的大小关系.
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
比较大小
(2019·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
A [因为a=log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=>,0.50.2<1,所以a<c<b,故选A.]
对数值大小比较的主要方法
(1)化同底数后利用函数的单调性.
(2)化同真数后利用图像比较.
(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.
和对数函数有关的复合函数
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3),若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
[解] 因为f(1)=1,
所以log4(a+5)=1,
因此a+5=4,a=-1,
所以f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,
函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
1.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,+∞)
A [∵-1<x<0,∴0<x+1<1.又∵f(x)>0,∴0<2a<1,∴0<a<.]
2.已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是________.
[要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,
则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,
且y=ax2-x>0恒成立,
即解得a>.]