高考数学一轮复习课时分层作业23两角和与差的正弦、余弦和正切公式含答案

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1．B [原式＝sin 45°cs 15°＋cs (180°＋45°)sin (180°－15°)＝sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°
＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝12.故选B.]
2．D [因为cs5π12＝sin π2-5π12＝sin π12，
所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12
＝cs2×π12＝cs π6＝32.故选D.]
3．A [∵cs θ＋cs θ+π3＝cs θ＋cs θcs π3－sin θsin π3＝32cs θ－32sin θ＝3cs θ+π6＝1，
∴cs θ+π6＝33，
∴cs 2θ+π3＝2cs2θ+π6－1＝23－1＝－13.故选A.]
4．D [法一：设β＝0则sin α＋cs α＝0，取α＝3π4，排除A，C；
再取α＝0则sin β＋cs β＝2sin β，取β＝π4，排除B；故选D.
法二：由sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2sin α+β+π4＝2sin α+π4+β＝2sin α+π4cs β＋2cs α+π4sin β，
故2sin α+π4cs β＝2cs α+π4sin β，
故sin α+π4cs β－cs α+π4sin β＝0，即sin α+π4-β＝0，故sin α-β+π4＝22sin (α－β)＋22cs (α－β)＝0，故sin (α－β)＝－cs (α－β)，故tan (α－β)＝－1，故选D.]
5．BCD [对于A，原式＝cs (30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22+12×22＝6+24，A错误；对于B，原式＝cs (15°－105°)＝cs (－90°)＝cs 90°＝0，B正确；对于C，原式＝cs [(α－35°)－(25°＋α)]＝cs (－60°)＝cs 60°＝12，C正确；对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°·sin 16°＝cs (76°－16°)＝cs 60°＝12，D正确．]
6．AC [因为α∈0，π2，cs α＝13，所以sin α＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝223，所以csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－19+89＝79，A正确．sin β＝429，B错误．cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝2327，C正确．sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝10227，D错误．]
7． 3 [由tan 60°＝tan 18°+42°＝tan18°+tan42°1-tan18°·tan42°＝3，
∴tan 18°＋tan 42°＝31-tan18°·tan42°，
∴原式＝3-3tan 18°·tan 42°＋3tan 18°·tan 42°＝3.]
8．5 [因为sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，所以sin αcs β＋cs αsin β＝12，sin αcs β－cs αsin β＝13，所以sin αcs β＝512，cs αsin β＝112，所以tanαtanβ＝sinαcsβcsαsinβ＝5．]
9． π3 [由题意有sin αcs β－cs αsin β＝sin (α－β)＝3314.又0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.故cs (α－β)＝1-sin2α-β＝1314.因为csα＝17，所以sin α＝437.所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcs (α－β)－cs α·sin (α－β)＝437×1314-17×3314＝32.又0＜β＜π2，故β＝π3.]
10．[解] (1)由题意得，tan α＝2，
∴cs 2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝1-41+4＝－35.
(2)由sin αcs α＝2，sin2α+cs2α=1，且α∈0，π2，
解得sin α＝255，cs α＝55.
又sin β+π4＝1010，β＋π4∈-π4，π4，
∴cs β+π4＝31010.
∴cs β＝cs β+π4-π4
＝cs β+π4cs π4＋sin β+π4sin π4
＝31010×22+1010×22＝255，
则cs 2β＝2cs2β－1＝2×45－1＝35，
sin2β＝－1-cs22β＝－45.
∴sin(α－2β)＝sin αcs 2β－cs αsin 2β
＝255×35-55×-45＝255.
11．[解] (1)∵α，β∈0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.
又∵tan (α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0．
利用同角三角函数的基本关系可得
sin2(α－β)＋cs2(α－β)＝1，且sinα-βcsα-β＝－13，
∴sin (α－β)＝－1010.
(2)由(1)可得，cs (α－β)＝31010.
∵α为锐角，且sin α＝35，∴cs α＝45.
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝45×31010+35×-1010＝91050.
12．B [∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x轴正半轴的交点是C，点B的坐标为45，-35，由452＋-352＝1知圆O的半径为1，
∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，cs ∠BOC＝cs (60°－α)＝45，sin∠BOC＝sin (60°－α)＝35.则sin α＝sin [60°－(60°－α)]＝sin 60°cs (60°－α)－cs 60°sin (60°－α)＝32×45-12×35＝43-310，故选B.]
13．C [由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝8x，tan β＝12x，所以tan ∠PMQ＝tan β-α＝12x-8x1+12x·8x＝4xx2+96＝4x+96x≤42x·96x＝612，当且仅当x＝96x，即x＝96时取等号，又因为96≈10，所以BM大约为10 m．故选C.]
14．[解] (1)∵tan α2＝12，
∴tan α＝2tanα21-tan2α2＝2×121-14＝43.
又α为锐角，且sin2α＋cs2α＝1，tanα＝sinαcsα，
∴sin α＝45，cs α＝35，
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝－725.
(2)由(1)得，sin2α＝2sin αcs α＝2425，
则tan 2α＝sin2αcs2α＝－247.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．
又cs (α＋β)＝－55，
∴sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝255，
则tan(α＋β)＝sinα+βcsα+β＝－2，
∴tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan2α-tanα+β1+tan2αtanα+β
＝－211.