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苏科版八年级数学上册专题4.1从问题到方程【十大题型】同步练习(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题4.1从问题到方程【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共31页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17147" 【题型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【题型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【题型4 根据方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【题型6 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【题型7 利用等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知识点1 方程的定义】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【题型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2−5x−1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x−1+2=3，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【题型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A．1−52%x=150B．x=150−52%x
C．(1+52%)x=150D．(1−52%)x=150
【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）
A．一个数的13是6B．x与1的差的14
C．甲数的2倍与乙数的13D．a与b的和的60%
【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 ．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x−5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【知识点2 一元一次方程的定义】
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x−3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是 ．
【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n= ．
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．−7
【知识点3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型4 根据方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b= ．
【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m= ．
【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1−1=b的解x= ．
【知识点4 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质判断变形正误】
【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2
C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8
【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3a+1=2b+1
【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①a−2=b−2，②13a=12b，③−34a=−34b，④5a−1=5b−1．
【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（ ）
A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10
C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10
【题型6 利用等式的性质解方程】
【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)4x−2=2；
解：方程两边同时加上 ，得： ；
方程两边同时 ，得： ．
(2)12x+2=6．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程
（1）2x-5=x-5
（2）−13x−5=8
【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得3−13x−3=4_________，
于是−13x=_________．
根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．
【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程
(1)4x−4=3(x+1)
(2)2y+13=7−y
【题型7 利用等式的性质比较大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【题型8 等式的性质在天平中的运用】
【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．
【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
专题4.1 从问题到方程【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17147" 【题型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【题型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【题型4 根据方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【题型6 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【题型7 利用等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知识点1 方程的定义】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【题型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2−5x−1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
①2x−1=5是方程；
②4+8=12，不含有未知数，故不是方程；
③5y+8不是等式，故不是方程；
④2x+3y=0是方程；
⑤2a+1=1是方程；
⑥2x2−5x−1不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【答案】A
【分析】根据数学发展常识作答．
【详解】解：中国古代列方程的方法被称为天元术，
D．
【点睛】本题主要考查了方程，代数式，数学常识，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的数学模型．
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程），即可解答．
【详解】3π+4≠5中不含未知数，所以错误．
故选B．
【点睛】考查了方程的定义，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x−1+2=3，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】A
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
【题型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A．1−52%x=150B．x=150−52%x
C．(1+52%)x=150D．(1−52%)x=150
【答案】A
【分析】根据总人数×女生所占百分比=女生人数列方程即可求解．
【详解】解：由题意列方程得(1−52%)x=150．
D
【点睛】本题考查了根据题意列方程，理解题意是解题关键．
【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）
A．一个数的13是6B．x与1的差的14
C．甲数的2倍与乙数的13D．a与b的和的60%
【答案】A
【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解．
【详解】A. 一个数的13是6，设这个数为x，则有13x=6 ，是方程，故符合题意；
B. x与1的差的14，根据题意列式为：14x−1 ，不是方程，故不符合题意；
C. 甲数的2倍与乙数的13，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，13y，不是方程，故不符合题意；
D. a与b的和的60％，根据题意列式为：a+b×60% ，不是方程，故不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程．
【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 ．
【答案】3a+5=4a
【分析】根据已知对数量关系的描述列式即可 ．
【详解】解：∵a的3倍即3a，a的4倍即4a，比a的3倍大5的数即3a+5，
∴所列等式为3a+5=4a，
故答案为：3a+5=4a．
【点睛】本题考查根据对数量关系的描述列式，熟练掌握基本运算的各种表述方法是解题关键．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x−5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【答案】A
【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【详解】解：大量筒中的水的体积为：π×822x，
小量筒中的水的体积为：π×622×(x+5)，
则可列方程为：π×822x=π×622×(x+5).
故选A.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.
【知识点2 一元一次方程的定义】
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x−3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】2x−y=6中有两个未知数，不是一元一次方程；
x+1x−3=0中分母中有字母，不是一元一次方程；
12x=12是一元一次方程；
x2−2x−3=0中未知数的最高次数为2，不是一元一次方程；
故一元一次方程的个数为1个，
故选A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是 ．
【答案】−32x
【分析】一元一次方程中，含x的项叫做一次项，进而直接得出答案．
【详解】4−3x2=1整理得，2−32x=1
∴一次项是−32x，
故答案是：−32x．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的项，理解一元一次方程的一次项概念是解题关键．
【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n= ．
【答案】3
【分析】分别找出方程的个数和一元一次方程的个数即可求出m和n的值，从而可求出m−n的值.
【详解】∵2x−1=0，3x=−2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数）是方程，
∴m=5；
∵2x−1=0，ax+1=0（a≠0且a为常数）是一元一次方程，
∴n=2，
∴m−n=5−2=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了方程和一元一次方程的定义.含有未知数的等式叫做方程；方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可.
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．−7
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此分别判断．
【详解】解：A、0−x=1是一元一次方程，故不合题意；
B、14x−x=1是一元一次方程，故不合题意；
C、y−x=1不是元一次方程，故符合题意；
D、−7−x=1是一元一次方程，故不合题意；
C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【知识点3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型4 根据方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b= ．
【答案】32
【分析】将x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，从而得到6a+3b=32a+b=32．
【详解】解：关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，
将x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，
∴6a+3b=32a+b=3×12=32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m= ．
【答案】2
【分析】将x=4代入方程mx−3=5即可得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x=4是方程mx−3=5的解，
∴4m−3=5，
解得：m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，将x=4代入方程mx−3=5是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】B
【分析】将x=7代入3x−3−■=x+1求解即可．
【详解】解：将x=7代入3x−3−■=x+1得：3×7−3−■=7+1，
12−■=8，
解得：■=4，
C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1−1=b的解x= ．
【答案】2
【分析】根据方程12023x−1=b的解为x=3，得到12023x+1−1=b的解为：x+1=3，求出x的值即可．
【详解】解：∵方程12023x−1=b的解为x=3，
∴12023x+1−1=b的解为：x+1=3，
∴x=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查方程的解．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【知识点4 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质判断变形正误】
【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2
C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8
【答案】B
【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】A．x−5=12，则x=12+5，选项正确，不符合题意．
B． −4x=8，则x=−2，选项正确，不符合题意．
C． 13x=9，则x=27，选项错误，符合题意．
D． 4x+1=9，则4x=8，选项正确，不符合题意．
C．
【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟悉等式的基本性质．
【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3a+1=2b+1
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、由3a=2b得9a=6b,原变形错误，故本选项不符合题意；
B、由3a=2b得a2=b3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、由3a=2b得3a−2=2b−2，原变形正确，故本选项符合题意；
D、由3a=2b得不到3a+1=2b+1，原变形错误，故本选项不符合题意；
C．
【点睛】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．等式的性质：（1）等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①a−2=b−2，②13a=12b，③−34a=−34b，④5a−1=5b−1．
【答案】①③④
【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：根据等式性质1，a=b两边都减2，即可得到a−2=b−2，故①正确；
根据等式性质2，a=b两边都乘以13，即可得到13a=13b，故②错误；
根据等式性质2，a=b两边都乘以−34，即可得到−34a=−34b，故③正确；
根据等式性质2，a=b两边都乘，5，即可得到5a=5b，再根据等式性质1，5a=5b两边都减1，可得5a−1=5b−1，故④正确；
故正确的是①③④．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键．
【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（ ）
A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10
C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10
【答案】A
【分析】利用分数的基本性质把方程左边的分子，分母中的小数化为整数，从而可得答案．
【详解】解：∵x0.7−1.7−2x0.3=1，
∴10x7−17−20x3=1,
所以A正确，B,C,D错误；
故选A．
【点睛】本题考查的是分数的基本性质与等式的基本性质，掌握以上性质是解题的关键．
【题型6 利用等式的性质解方程】
【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)4x−2=2；
解：方程两边同时加上 ，得： ；
方程两边同时 ，得： ．
(2)12x+2=6．
【答案】(1)2；4x=4；除以4；x=1
(2)x=8
【分析】（1）根据等式的性质方程两边同时加上2，然后方程两边同时除以4，即可求解；
（2）根据等式的性质方程两边同时减去2，然后方程两边同时乘以2，即可求解．
【详解】（1）解： 4x−2=2；
方程两边同时加上2，得：4x=4；
方程两边同时除以4，得：x=1；
故答案为：2；4x=4；除以4；x=1；
（2）解：12x+2=6，
12x=6−2，
12x=4，
x=8．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程
（1）2x-5=x-5
（2）−13x−5=8
【答案】（1）x=0；（2）x=−39
【分析】（1）根据等式性质1，方程两边同时加上－x+5即可求得x；
（2）根据等式性质1，方程两边分别加上5，再利用等式性质2即可求得x．
【详解】（1）方程两边都加上－x+5，得：2x-5－x+5=x-5－x+5
合并同类项得：x=0
（2）方程两边都加上5，得：−13x−5+5=8+5
合并同类项得：−13x=13
方程两边都乘-3，得：x=－39
【点睛】本题考查了等式的两个性质，等式的两个性质是解方程的基础，因此掌握等式的两个性质是解答此题的关键．
【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得3−13x−3=4_________，
于是−13x=_________．
根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．
【答案】减去3；-3；1；等式的性质2；-3
【分析】根据等式的性质解方程
【详解】解：3−13x=4，
根据等式性质1，两边同时减去3，
可得3−13x−3=4-3，
于是−13x=1．
根据等式的性质2，两边同时乘以-3，可得x=-3，
故答案为：减去3；-3；1；等式的性质2；-3．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程
(1)4x−4=3(x+1)
(2)2y+13=7−y
【答案】(1)x=7
(2)y=4
【分析】（1）去括号，然后用等式的性质求解即可；
（2）利用等式的性质去分母，然后进一步求解即可；
【详解】（1）解：4x−4=3(x+1)
去括号得：
4x−4=3x+3
等式两边同时加上(−3x+4)，得：
4x−3x−4+4=3x−3x+3+4
合并同类项得：
x=7；
（2）解：2y+13=7−y
等式两边同时乘3得：
2y+1=21−3y
等式两边同时加上(3y−1)，得：
5y=20
等式两边同时除以5 ，得：
y=4．
【点睛】本题考查了用等式的性质解方程；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
【题型7 利用等式的性质比较大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【答案】A
【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上12，即可得到答案．
【详解】等式两边同时除以2得：
m﹣12＝n，
等式两边同时减去n得：
m﹣n﹣12＝0，
等式两边同时加上12得：
m﹣n＝12，
即m﹣n＞0，
即m＞n，
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.
【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【答案】a>b
【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．
【详解】解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b-3a+1．
等式两边同时加3a，得8a=8b+1．
等式两边同时除以8，得a=b+18，
所以a＞b．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】利用等式的性质两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，m-n=53，据此进行判断.
【详解】解：等式的两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，
m-n=53＞0，故m＞n.
故答案为＞.
【点睛】本题考查了等式的性质.
【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【答案】m＞n．
【详解】试题分析：根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断.
试题解析：等式两边同时乘以4得：3m-4=3n，
整理得：3（m-n）=4，
∴m-n＞0，
则m＞n．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
【题型8 等式的性质在天平中的运用】
【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【答案】B
【分析】根据图一可知〇与□质量大小关系，根据图二可知□与△的质量大小关系，即可求解．
【详解】由图1可知〇〇＞□〇
∴1个〇的质量大于1个□的质量，
由图2可知△△△=□△
∴1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量．
∴按质量大小的顺序排列〇□△
故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．
【答案】3
【分析】把15盒饼干进行分组，天平两端摆放相同的盒数，利用天平的原理进行求解．
【详解】解：把15盒分成5、5、5三份，第一次在天平两端各放5盒，若平衡，少了几块的一盒在没称的5盒中，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的5盒中；
把5盒分成2、2、1三份，第二次在天平两端各放2盒，若平衡，少了几块的一盒是没称的那一盒，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的2盒中；
第三次在天平两端各放1盒，即可找到少了几块的一盒．
综上可知，至少称3次可以保证找出这盒饼干．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力，解题的关键是具备一定的逻辑思维能力，方法不唯一．
【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【答案】A
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到2a=b+c，a+b=c进而推出a=2b，c=3b，由此即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知a+c=2b①，由中间一幅图可知b+c=a②，
∴①−②得a−b=2b−a，
∴2a=3b，
∴a=32b，
由②得，c=a−b=32b−b=12b，即b=2c
∴a=3c
∴a+b=5c，故A不正确，B正确，
a+b=3c+b=2c+b+c=b+b+c=2b+c，故C，D正确，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到a=3c，b=2c是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【答案】（1）5x+10；3x−10；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析；
【分析】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案；
（2）根据题意列出方程，求解可得答案；
及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：5x+10；
记录二中的一次性纸杯的总质量为：3x−10，
故答案为：5x+10；3x−10，
（2）由题意得：5x+10=15(3x−10)，
解得：x=4，∴3x−10=2
答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克．
及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡．
故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，
理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．
【点睛】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【答案】A
【分析】根据等式的性质把−mx+n=9变形为mx−n=−9；再根据表格中的数据求解即可．
【详解】解：关于x的方程−mx+n=9变形为mx−n=−9，
由表格中的数据可知，当−mx+n=9时，x=1；
D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【答案】A
【分析】把x=−2分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可；
【详解】解：A.当x=-2时，3x−4=−6−4=−0≠2，故不符合题意；
B. 当x=-2时，3x+1−3=3×−2+1−3=−6≠0，故不符合题意；
C. 当x=-2时， 2x=2×−2=−4≠−1，故不符合题意；
D. 当x=-2时，x+75−1=−2+75−1=1−1=0，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【答案】(1)是
(2)不是
【分析】（1）将x=1分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1是该方程的解，否则不是；
（2）将x=1000分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1000是该方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：当x=1时，
左边=2x+5=7，
右边=10x−3=7，
左边=右边，
∴x=1是该方程的解．
（2）解：当x=1000时，
左边=0.52x−1−0.52x=520−480=40，
右边=80，
左边≠右边，
∴x=1000不是方程的解．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析.
【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．
【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：
∵x=2是方程ax﹣4=0的解，
∴把x=2代入得：2a﹣4=0，
解得：a=2，
将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，
将x=3代入该方程左边，则左边=7，
代入右边，则右边=1，
左边≠右边，
则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【答案】x40+x−192=1
【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可．
【详解】解：∵一列方程如下排列：
x4+x−12=1的解是x=2；
x6+x−22=1的解是x=3；
x8+x−32=1的解是x=4；
∴一列方程如下排列：
x2×2+x−(2−1)2=1的解是x=2；
x2×3+x−(3−1)2=1的解是x=3；
x2×4+x−(4−1)2=1的解是x=4；
…，
由此可得：解为x=20的方程为：
x2×20+x−(20−1)2=1，
即x40+x−192=1．
故答案为：x40+x−192=1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【答案】x=110
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+xn+1=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案．
【详解】解：第1个方程是x+x2=3，解为x=2×1=2；
第2个方程是x2+x3=5，解为x=2×3=6；
第3个方程是x3+x4=7，解为x=3×4=12；
…
可以发现,第n个方程为xn+xn+1=2n+1，
解为n(n+1) ．
∴第10个方程x10+x11=21的解为：x=10×11=110．
故答案为x=110．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题．
【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【答案】见解析
【详解】试题分析：
我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“x−1x=n+nn+1，其中n为正整数”，而其解为：x1=n+1，x2=−1n+1.
试题解析：
（1）猜想得：x−1x=101011的解为x1=11，x2=−111，验证如下：
当x=11时，原方程左边=11−111=101011=方程是右边，∴x=11是原方程的解；
当x=−111时，原方程左边=−111−[1÷(−111)]=−111+11=101011=方程右边，
∴x=−111是原方程的解；即猜想是正确的；
（2）一般情形：方程x−1x=n+nn+1的解为x1=n+1，x2=−1n+1.
【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
【答案】(1)11，211
(2)x1=12，x2=1311
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成x−1+2x−1=11+211即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c，
∴方程x+2x=11+211的两个解是x1=11，x2=211，
故答案为：11，211；
（2）∵x+2x−1=12+211，
∴x−1+2x−1=12+211−1，
∴x−1+2x−1=11+211，
∴x1−1=11，x2−1=211，
∴x1=12，x2=1311．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．记录
天平左边
天平右边
天平状态
乒乓球总质量
一次性纸杯的总质量
记录一
5个乒乓球，1个10克的砝码
15个一次性纸杯
平衡
5x
______
记录二
3个乒乓球
1个一次性纸杯
1个10克的砝码
平衡
3x
______
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9
记录
天平左边
天平右边
天平状态
乒乓球总质量
一次性纸杯的总质量
记录一
5个乒乓球，1个10克的砝码
15个一次性纸杯
平衡
5x
______
记录二
3个乒乓球
1个一次性纸杯
1个10克的砝码
平衡
3x
______
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17147" 【题型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【题型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【题型4 根据方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【题型6 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【题型7 利用等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知识点1 方程的定义】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【题型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2−5x−1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x−1+2=3，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【题型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A．1−52%x=150B．x=150−52%x
C．(1+52%)x=150D．(1−52%)x=150
【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）
A．一个数的13是6B．x与1的差的14
C．甲数的2倍与乙数的13D．a与b的和的60%
【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 ．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x−5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【知识点2 一元一次方程的定义】
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x−3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是 ．
【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n= ．
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．−7
【知识点3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型4 根据方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b= ．
【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m= ．
【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1−1=b的解x= ．
【知识点4 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质判断变形正误】
【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2
C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8
【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3a+1=2b+1
【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①a−2=b−2，②13a=12b，③−34a=−34b，④5a−1=5b−1．
【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（ ）
A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10
C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10
【题型6 利用等式的性质解方程】
【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)4x−2=2；
解：方程两边同时加上 ，得： ；
方程两边同时 ，得： ．
(2)12x+2=6．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程
（1）2x-5=x-5
（2）−13x−5=8
【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得3−13x−3=4_________，
于是−13x=_________．
根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．
【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程
(1)4x−4=3(x+1)
(2)2y+13=7−y
【题型7 利用等式的性质比较大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【题型8 等式的性质在天平中的运用】
【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．
【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
专题4.1 从问题到方程【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17147" 【题型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【题型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【题型4 根据方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【题型6 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【题型7 利用等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知识点1 方程的定义】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【题型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2−5x−1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
①2x−1=5是方程；
②4+8=12，不含有未知数，故不是方程；
③5y+8不是等式，故不是方程；
④2x+3y=0是方程；
⑤2a+1=1是方程；
⑥2x2−5x−1不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【答案】A
【分析】根据数学发展常识作答．
【详解】解：中国古代列方程的方法被称为天元术，
D．
【点睛】本题主要考查了方程，代数式，数学常识，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的数学模型．
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程），即可解答．
【详解】3π+4≠5中不含未知数，所以错误．
故选B．
【点睛】考查了方程的定义，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x−1+2=3，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】A
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
【题型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A．1−52%x=150B．x=150−52%x
C．(1+52%)x=150D．(1−52%)x=150
【答案】A
【分析】根据总人数×女生所占百分比=女生人数列方程即可求解．
【详解】解：由题意列方程得(1−52%)x=150．
D
【点睛】本题考查了根据题意列方程，理解题意是解题关键．
【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）
A．一个数的13是6B．x与1的差的14
C．甲数的2倍与乙数的13D．a与b的和的60%
【答案】A
【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解．
【详解】A. 一个数的13是6，设这个数为x，则有13x=6 ，是方程，故符合题意；
B. x与1的差的14，根据题意列式为：14x−1 ，不是方程，故不符合题意；
C. 甲数的2倍与乙数的13，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，13y，不是方程，故不符合题意；
D. a与b的和的60％，根据题意列式为：a+b×60% ，不是方程，故不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程．
【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 ．
【答案】3a+5=4a
【分析】根据已知对数量关系的描述列式即可 ．
【详解】解：∵a的3倍即3a，a的4倍即4a，比a的3倍大5的数即3a+5，
∴所列等式为3a+5=4a，
故答案为：3a+5=4a．
【点睛】本题考查根据对数量关系的描述列式，熟练掌握基本运算的各种表述方法是解题关键．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x−5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【答案】A
【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【详解】解：大量筒中的水的体积为：π×822x，
小量筒中的水的体积为：π×622×(x+5)，
则可列方程为：π×822x=π×622×(x+5).
故选A.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.
【知识点2 一元一次方程的定义】
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x−3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】2x−y=6中有两个未知数，不是一元一次方程；
x+1x−3=0中分母中有字母，不是一元一次方程；
12x=12是一元一次方程；
x2−2x−3=0中未知数的最高次数为2，不是一元一次方程；
故一元一次方程的个数为1个，
故选A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是 ．
【答案】−32x
【分析】一元一次方程中，含x的项叫做一次项，进而直接得出答案．
【详解】4−3x2=1整理得，2−32x=1
∴一次项是−32x，
故答案是：−32x．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的项，理解一元一次方程的一次项概念是解题关键．
【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n= ．
【答案】3
【分析】分别找出方程的个数和一元一次方程的个数即可求出m和n的值，从而可求出m−n的值.
【详解】∵2x−1=0，3x=−2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数）是方程，
∴m=5；
∵2x−1=0，ax+1=0（a≠0且a为常数）是一元一次方程，
∴n=2，
∴m−n=5−2=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了方程和一元一次方程的定义.含有未知数的等式叫做方程；方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可.
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．−7
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此分别判断．
【详解】解：A、0−x=1是一元一次方程，故不合题意；
B、14x−x=1是一元一次方程，故不合题意；
C、y−x=1不是元一次方程，故符合题意；
D、−7−x=1是一元一次方程，故不合题意；
C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【知识点3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型4 根据方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b= ．
【答案】32
【分析】将x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，从而得到6a+3b=32a+b=32．
【详解】解：关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，
将x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，
∴6a+3b=32a+b=3×12=32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m= ．
【答案】2
【分析】将x=4代入方程mx−3=5即可得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x=4是方程mx−3=5的解，
∴4m−3=5，
解得：m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，将x=4代入方程mx−3=5是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】B
【分析】将x=7代入3x−3−■=x+1求解即可．
【详解】解：将x=7代入3x−3−■=x+1得：3×7−3−■=7+1，
12−■=8，
解得：■=4，
C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1−1=b的解x= ．
【答案】2
【分析】根据方程12023x−1=b的解为x=3，得到12023x+1−1=b的解为：x+1=3，求出x的值即可．
【详解】解：∵方程12023x−1=b的解为x=3，
∴12023x+1−1=b的解为：x+1=3，
∴x=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查方程的解．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【知识点4 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质判断变形正误】
【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2
C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8
【答案】B
【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】A．x−5=12，则x=12+5，选项正确，不符合题意．
B． −4x=8，则x=−2，选项正确，不符合题意．
C． 13x=9，则x=27，选项错误，符合题意．
D． 4x+1=9，则4x=8，选项正确，不符合题意．
C．
【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟悉等式的基本性质．
【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3a+1=2b+1
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、由3a=2b得9a=6b,原变形错误，故本选项不符合题意；
B、由3a=2b得a2=b3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、由3a=2b得3a−2=2b−2，原变形正确，故本选项符合题意；
D、由3a=2b得不到3a+1=2b+1，原变形错误，故本选项不符合题意；
C．
【点睛】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．等式的性质：（1）等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①a−2=b−2，②13a=12b，③−34a=−34b，④5a−1=5b−1．
【答案】①③④
【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：根据等式性质1，a=b两边都减2，即可得到a−2=b−2，故①正确；
根据等式性质2，a=b两边都乘以13，即可得到13a=13b，故②错误；
根据等式性质2，a=b两边都乘以−34，即可得到−34a=−34b，故③正确；
根据等式性质2，a=b两边都乘，5，即可得到5a=5b，再根据等式性质1，5a=5b两边都减1，可得5a−1=5b−1，故④正确；
故正确的是①③④．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键．
【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（ ）
A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10
C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10
【答案】A
【分析】利用分数的基本性质把方程左边的分子，分母中的小数化为整数，从而可得答案．
【详解】解：∵x0.7−1.7−2x0.3=1，
∴10x7−17−20x3=1,
所以A正确，B,C,D错误；
故选A．
【点睛】本题考查的是分数的基本性质与等式的基本性质，掌握以上性质是解题的关键．
【题型6 利用等式的性质解方程】
【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)4x−2=2；
解：方程两边同时加上 ，得： ；
方程两边同时 ，得： ．
(2)12x+2=6．
【答案】(1)2；4x=4；除以4；x=1
(2)x=8
【分析】（1）根据等式的性质方程两边同时加上2，然后方程两边同时除以4，即可求解；
（2）根据等式的性质方程两边同时减去2，然后方程两边同时乘以2，即可求解．
【详解】（1）解： 4x−2=2；
方程两边同时加上2，得：4x=4；
方程两边同时除以4，得：x=1；
故答案为：2；4x=4；除以4；x=1；
（2）解：12x+2=6，
12x=6−2，
12x=4，
x=8．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程
（1）2x-5=x-5
（2）−13x−5=8
【答案】（1）x=0；（2）x=−39
【分析】（1）根据等式性质1，方程两边同时加上－x+5即可求得x；
（2）根据等式性质1，方程两边分别加上5，再利用等式性质2即可求得x．
【详解】（1）方程两边都加上－x+5，得：2x-5－x+5=x-5－x+5
合并同类项得：x=0
（2）方程两边都加上5，得：−13x−5+5=8+5
合并同类项得：−13x=13
方程两边都乘-3，得：x=－39
【点睛】本题考查了等式的两个性质，等式的两个性质是解方程的基础，因此掌握等式的两个性质是解答此题的关键．
【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得3−13x−3=4_________，
于是−13x=_________．
根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．
【答案】减去3；-3；1；等式的性质2；-3
【分析】根据等式的性质解方程
【详解】解：3−13x=4，
根据等式性质1，两边同时减去3，
可得3−13x−3=4-3，
于是−13x=1．
根据等式的性质2，两边同时乘以-3，可得x=-3，
故答案为：减去3；-3；1；等式的性质2；-3．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程
(1)4x−4=3(x+1)
(2)2y+13=7−y
【答案】(1)x=7
(2)y=4
【分析】（1）去括号，然后用等式的性质求解即可；
（2）利用等式的性质去分母，然后进一步求解即可；
【详解】（1）解：4x−4=3(x+1)
去括号得：
4x−4=3x+3
等式两边同时加上(−3x+4)，得：
4x−3x−4+4=3x−3x+3+4
合并同类项得：
x=7；
（2）解：2y+13=7−y
等式两边同时乘3得：
2y+1=21−3y
等式两边同时加上(3y−1)，得：
5y=20
等式两边同时除以5 ，得：
y=4．
【点睛】本题考查了用等式的性质解方程；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
【题型7 利用等式的性质比较大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【答案】A
【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上12，即可得到答案．
【详解】等式两边同时除以2得：
m﹣12＝n，
等式两边同时减去n得：
m﹣n﹣12＝0，
等式两边同时加上12得：
m﹣n＝12，
即m﹣n＞0，
即m＞n，
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.
【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【答案】a>b
【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．
【详解】解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b-3a+1．
等式两边同时加3a，得8a=8b+1．
等式两边同时除以8，得a=b+18，
所以a＞b．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】利用等式的性质两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，m-n=53，据此进行判断.
【详解】解：等式的两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，
m-n=53＞0，故m＞n.
故答案为＞.
【点睛】本题考查了等式的性质.
【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【答案】m＞n．
【详解】试题分析：根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断.
试题解析：等式两边同时乘以4得：3m-4=3n，
整理得：3（m-n）=4，
∴m-n＞0，
则m＞n．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
【题型8 等式的性质在天平中的运用】
【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【答案】B
【分析】根据图一可知〇与□质量大小关系，根据图二可知□与△的质量大小关系，即可求解．
【详解】由图1可知〇〇＞□〇
∴1个〇的质量大于1个□的质量，
由图2可知△△△=□△
∴1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量．
∴按质量大小的顺序排列〇□△
故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．
【答案】3
【分析】把15盒饼干进行分组，天平两端摆放相同的盒数，利用天平的原理进行求解．
【详解】解：把15盒分成5、5、5三份，第一次在天平两端各放5盒，若平衡，少了几块的一盒在没称的5盒中，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的5盒中；
把5盒分成2、2、1三份，第二次在天平两端各放2盒，若平衡，少了几块的一盒是没称的那一盒，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的2盒中；
第三次在天平两端各放1盒，即可找到少了几块的一盒．
综上可知，至少称3次可以保证找出这盒饼干．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力，解题的关键是具备一定的逻辑思维能力，方法不唯一．
【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【答案】A
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到2a=b+c，a+b=c进而推出a=2b，c=3b，由此即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知a+c=2b①，由中间一幅图可知b+c=a②，
∴①−②得a−b=2b−a，
∴2a=3b，
∴a=32b，
由②得，c=a−b=32b−b=12b，即b=2c
∴a=3c
∴a+b=5c，故A不正确，B正确，
a+b=3c+b=2c+b+c=b+b+c=2b+c，故C，D正确，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到a=3c，b=2c是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【答案】（1）5x+10；3x−10；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析；
【分析】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案；
（2）根据题意列出方程，求解可得答案；
及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：5x+10；
记录二中的一次性纸杯的总质量为：3x−10，
故答案为：5x+10；3x−10，
（2）由题意得：5x+10=15(3x−10)，
解得：x=4，∴3x−10=2
答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克．
及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡．
故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，
理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．
【点睛】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【答案】A
【分析】根据等式的性质把−mx+n=9变形为mx−n=−9；再根据表格中的数据求解即可．
【详解】解：关于x的方程−mx+n=9变形为mx−n=−9，
由表格中的数据可知，当−mx+n=9时，x=1；
D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【答案】A
【分析】把x=−2分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可；
【详解】解：A.当x=-2时，3x−4=−6−4=−0≠2，故不符合题意；
B. 当x=-2时，3x+1−3=3×−2+1−3=−6≠0，故不符合题意；
C. 当x=-2时， 2x=2×−2=−4≠−1，故不符合题意；
D. 当x=-2时，x+75−1=−2+75−1=1−1=0，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【答案】(1)是
(2)不是
【分析】（1）将x=1分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1是该方程的解，否则不是；
（2）将x=1000分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1000是该方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：当x=1时，
左边=2x+5=7，
右边=10x−3=7，
左边=右边，
∴x=1是该方程的解．
（2）解：当x=1000时，
左边=0.52x−1−0.52x=520−480=40，
右边=80，
左边≠右边，
∴x=1000不是方程的解．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析.
【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．
【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：
∵x=2是方程ax﹣4=0的解，
∴把x=2代入得：2a﹣4=0，
解得：a=2，
将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，
将x=3代入该方程左边，则左边=7，
代入右边，则右边=1，
左边≠右边，
则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【答案】x40+x−192=1
【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可．
【详解】解：∵一列方程如下排列：
x4+x−12=1的解是x=2；
x6+x−22=1的解是x=3；
x8+x−32=1的解是x=4；
∴一列方程如下排列：
x2×2+x−(2−1)2=1的解是x=2；
x2×3+x−(3−1)2=1的解是x=3；
x2×4+x−(4−1)2=1的解是x=4；
…，
由此可得：解为x=20的方程为：
x2×20+x−(20−1)2=1，
即x40+x−192=1．
故答案为：x40+x−192=1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【答案】x=110
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+xn+1=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案．
【详解】解：第1个方程是x+x2=3，解为x=2×1=2；
第2个方程是x2+x3=5，解为x=2×3=6；
第3个方程是x3+x4=7，解为x=3×4=12；
…
可以发现,第n个方程为xn+xn+1=2n+1，
解为n(n+1) ．
∴第10个方程x10+x11=21的解为：x=10×11=110．
故答案为x=110．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题．
【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【答案】见解析
【详解】试题分析：
我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“x−1x=n+nn+1，其中n为正整数”，而其解为：x1=n+1，x2=−1n+1.
试题解析：
（1）猜想得：x−1x=101011的解为x1=11，x2=−111，验证如下：
当x=11时，原方程左边=11−111=101011=方程是右边，∴x=11是原方程的解；
当x=−111时，原方程左边=−111−[1÷(−111)]=−111+11=101011=方程右边，
∴x=−111是原方程的解；即猜想是正确的；
（2）一般情形：方程x−1x=n+nn+1的解为x1=n+1，x2=−1n+1.
【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
【答案】(1)11，211
(2)x1=12，x2=1311
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成x−1+2x−1=11+211即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c，
∴方程x+2x=11+211的两个解是x1=11，x2=211，
故答案为：11，211；
（2）∵x+2x−1=12+211，
∴x−1+2x−1=12+211−1，
∴x−1+2x−1=11+211，
∴x1−1=11，x2−1=211，
∴x1=12，x2=1311．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．记录
天平左边
天平右边
天平状态
乒乓球总质量
一次性纸杯的总质量
记录一
5个乒乓球，1个10克的砝码
15个一次性纸杯
平衡
5x
______
记录二
3个乒乓球
1个一次性纸杯
1个10克的砝码
平衡
3x
______
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9
记录
天平左边
天平右边
天平状态
乒乓球总质量
一次性纸杯的总质量
记录一
5个乒乓球，1个10克的砝码
15个一次性纸杯
平衡
5x
______
记录二
3个乒乓球
1个一次性纸杯
1个10克的砝码
平衡
3x
______
x
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1
mx−n
9
6
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0
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