2023-2024学年河南省信阳市高一上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省信阳市高一上学期期中联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=R，集合A=xx≤-2，B=xx≥-1，则∁UA∪B=( )
A. -2,-1B. -2,-1
C. -∞,-2∪-1,+∞D. -2,1
2.全称量词命题“∀x>0,x2-x+14≥0”的否定是
( )
A. ∀x≤0,x2-x+14<0B. ∃x>0,x2-x+14<0
C. ∃x≤0,x2-x+14≥0D. ∀x>0,x2-x+14<0
3.下列对应是集合A到集合B上的映射的个数是( )
(1)A=R，B=N*，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值，与B中的元素相对应；
(2)A={1,-1,2,-2}，B={1,4}，对应关系f：f：x→y=x2，x∈A，y∈B；
(3)A={三角形}，B={x|x>0}，对应关系f：对集合A中的三角形求面积，与集合B中的元素对应
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.已知函数y=fx的定义域是-2,3，则函数y=f(2x+1)x+1的定义域是
．( )
A. -32,-1∪-1,1B. -3,-1∪-1,7
C. -1,7D. -32,-1
5.汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定;乙：每次所加的油量固定。若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则
( )
A. 甲方案实惠B. 乙方案实惠
C. 哪种方案实惠需由两次油价决定D. 两种方案一样实惠
6.函数y=|x|x+x的图象是
( )
A. B.
C. D.
7.已知函数fx=-x2+2x+3,x<2mx,x≥2，若函数fx的值域是-∞,4，则实数m的取值范围是
( )
A. -∞,6B. 0,8C. 0,6D. -∞,8
8.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且对任意的00的解集为
( )
A. -6,0B. -∞,-6∪2,+∞
C. -∞,-6∪0,2D. -∞,-6∪-2,0∪2,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.对于实数a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则acbc2，则a>b
C. 若abD. 若c>a>b>0，则ac-a>bc-b
10.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1( )
A. x1f(x1)C. f(x2)-f(x1)x2-x1>0D. f(x1+x22)>f(x2)+f(x1)2
11.已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1( )
A. x1+x2=2B. x1x2<-3
C. -14
12.若正实数a，b满足a+2b=2，则下列结论中正确的有
( )
A. ab的最大值为12.B. 1a+4b+12a+2b的最小值为23
C. a+ 2b的最小值为2.D. a2+2b2的最小值为23．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象关于y轴对称，则m的值为_________．
14.命题“∃x∈R，x2-ax+5<0”为真命题，则实数a的取值范围__________________．
15.若fx是偶函数且在0,+∞上单调递增，又f-2=1，则不等式fx-1<1的解集为______．
16.已知函数f(x)=3x2,x≤0-4|x-1|+4,x>0.若存在唯一的整数x，使得x(f(x)-a)>0成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数f(x)= 4-x+1 x+3的定义域为A，集合B={x|1-a(1)当a=2时，求A⋂(∁RB)；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
设函数fx=ax2+1-ax+a-2.若关于x的不等式fx≥-2有实数解，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知x，y都是正数，且2x+1y=1．
(1)求2x+y的最小值及此时x，y的取值；
(2)不等式2x+y2≥mx+2y恒成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a个单位(0(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m的最小值．
21.(本小题12分)
已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy+2，且当x>0时，fx>-2．
(1)求f0的值，并证明f(x)+2为奇函数；
(2)求证fx在R上是增函数；
(3)若f1=2，解关于x的不等式fx2+x+f1-2x>8．
22.(本小题12分)
已知函数fx= x+ 2-x，gx= x2-x．
(1)求函数fx的定义域和值域；
(2)已知a为非零实数，记函数hx=fx-agx的最大值为ma，求ma．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用并集和补集的定义可求得集合 ∁UA∪B ．
解：因为集合 A=xx≤-2 ， B=xx≥-1 ，则 A∪B=xx≤-2 或 x≥-1 ，
又因为全集 U=R ，则 ∁UA∪B=-2,-1 ．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解．
解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ∀x>0,x2-x+14≥0 ”的否定是 ∃x>0,x2-x+14<0 ．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了映射的基本概念，其中解答中熟记映射的概念，根据映射的概念合理判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.由题意，根据集合A到集合B的映射的概念，逐一判定，即可得到答案．
解：由题意，对于(1)：A中元素0取绝对值后还是0，B中元素全部是正整数，没有对应元素，故不是A到B上的映射；对于(2)：A中四个元素分别平方后所得值，都有B中元素与之对应，故是A到B上的映射；对于(3)：A中每个三角形的面积，都有B中的一个正数与之对应，故是A到B上的映射，故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】由复合函数定义域的求法可解．
解：因为函数 y=fx 的定义域是 -2,3 ，
所以 -2≤2x+1≤3 ，且 x+1≠0 ，
解得 x∈-32,-1∪-1,1 ．
故选：A
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
设两次加油的价格分别为a、b元/升，分别求出甲、乙两次加油的平均单价，再利用基本不等式判断即可．
【解答】
解：设两次加油的油价分别为a，b>0且a≠b，
甲方案，设每次加油总金额为W，
则平均油价x=2WWa+Wb=21a+1b;
乙方案，设每次加油量为N，
则平均油价y=aN+bN2N=a+b2，
由均值不等式a+b2>21a+1b，a，b>0且a≠b知x所以甲方案实惠．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
去掉绝对值符号，函数可化为 y=x+1,x>0x-1,x<0，进而答案可得．
【解答】
解：函数y=|x|x+x，x≠0，可化为y=x+1,x>0,x-1,x<0,为分段函数，
即D项正确．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】先求出当 x<2 时， fx 的取值范围为 (-∞,4] ，所以若函数 fx 的值域是 -∞,4 ，则当 x≥2 时， mx≤4 ，即 m≤4x 恒成立。即可求出 m 的取值范围．
解： ∵ y=-x2+2x+3 对称轴为 x=1 ，
∴ y=-x2+2x+3 在 -∞,1 单调递增，在 (1,+∞) ，单调递减．
∴当 x<2 时， fx 的取值范围为 (-∞,4] ，
若函数 fx 的值域是 -∞,4 ，
则当 x≥2 时， mx≤4 ，即 m≤4x 恒成立，
∴ m≤4xmin 即 m≤8 ．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据题意得到 fx 在 0,+∞ 单调递减，结合奇函数性质得到 fx 在 -∞,0 单调递减， f-4=-f4=0 ，结合奇函数性质将不等式转化为 xfx+2<0 ，再结合已知条件列出不等式组求解即可．
解：因为对任意的 0fn ，
所以 fx 在 0,+∞ 单调递减，
因为函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，所以 fx 在 -∞,0 单调递减， f-4=-f4=0 ，
所以当 x<-4 和 00 ；当 -44 时， fx<0 ．
由 f-x-2-fx+2x=-2fx+2x>0 ，即 xfx+2<0 ，
所以 x<0x+2<-4 或 x<000x+2>4 或 x>0-4所以 x<-6 或 -22 或 x 无解，
所以原不等式解集为 -∞,-6∪-2,0∪2,+∞
故选：D
9.【答案】BCD
【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断ABC选项，根据作差法判断D选项．
解：对于A，当 c=0 时， ac对于B，由 ac2>bc2 ，且 c2>0 ，所以 a>b ，故B正确；
对于C，由 ab ，故C正确；
对于D，由 ac-a-bc-b=ac-b-bc-ac-ac-b=a-bcc-ac-b ，
又 c>a>b>0 ，所以 c-a>0 ， c-b>0 ， a-b>0 ，
所以 ac-a-bc-b=a-bcc-ac-b>0 ，即 ac-a>bc-b ，故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D．
解：幂函数 f(x)=x12 的定义域为 0,+∞ ，
x1f(x1)=x1⋅(x1)12=(x1)32 ， x2f(x2)=x2⋅(x2)12=(x2)32 ，
∵函数 y=x32 在 0,+∞ 单调递增， 0≤x1∴ (x1)32<(x2)32 ，即 x1f(x1)f(x1)x1=(x1)12x1=(x1)-12 ， f(x2)x2=(x2)12x2=(x2)-12 ，
∵函数 y=x-12 在 0,+∞ 单调递减， x1,x2≠0,x1∴ (x1)-12>(x2)-12 ，即 f(x1)x1>f(x2)x2 ，故B错误；
∵幂函数 f(x)=x12 在 0,+∞ 上单调递增， 0≤x1∴ x2-x1>0 ， f(x1)0 ，∴ f(x2)-f(x1)x2-x1>0 ，故C正确；
f(x1+x22)= x1+x22>0,f(x2)+f(x1)2= x2+ x12>0 ，
∵ x1+x222- x2+ x122=x1+x22-x14-x24- x1x22 =x14+x24- x1x22=14 x2- x12>0 ，
∴ x1+x22> x2+ x12 ，即 f(x1+x22)>f(x2)+f(x1)2 ，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．
解：关于 x 的不等式 a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0) 的解集是 x1,x2x1所以 a<0 ，且 x1,x2 是一元二次方程 a(x+1)(x-3)+1=0 即 ax2-2ax+1-3a=0 的两根，
所以 x1+x2=2 ，选项A正确；
x1x2=1-3aa=1a-3<-3 ，选项B正确；
x2-x1= x1+x22-4x1x2= 4-4×1-3aa=2 4-1a>4 ，选项D正确；
由 x2-x1>4 ，可得： -1故选：ABD．
12.【答案】AB
【解析】【分析】本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解.利用基本不等式求解最值判断ABC，利用消元法结合二次函数求得最值判断D．
解：对于A项，因为 2=a+2b≥2 2ab ，所以 ab≤12 ，
当且仅当 a=2b=1 时取等号，则 ab 的最大值为 12 ，故A项正确；
对于B项，因为 1a+4b+12a+2b=16(a+4b)+(2a+2b)(1a+4b+12a+2b)=16(2+2a+2ba+4b+a+4b2a+2b)
≥16(2+2)=23 ，当且仅当 2a+2ba+4b=a+4b2a+2b 即 a=2b=1 时取等号，故B项正确；
对于C项， ( a+ 2b)2=a+2b+2 2ab≤(a+2b)+2×a+2b2=2+2=4 ，
当且仅当 a=2b=1 时取等号，所以 a+ 2b≤2 ，所以 a+ 2b 的最大值为2，故C项错误；
对于D项，因为 a2+2b2=(2-2b)2+2b2=6b2-8b+4=6b-232+43≥43 ，
当且仅当 a=b=23 时取等号，所以 a2+2b2 的最小值为 43 ，故D项错误．
故选：AB．
13.【答案】2
【解析】【分析】根据幂函数的知识求得 m 的可能取值，根据 fx 图象关于 y 轴对称求得 m 的值．
解：由于 fx 是幂函数，所以 m2-m-1=1 ，解得 m=2 或 m=-1 ．
当 m=2 时， fx=x2 ，图象关于 y 轴对称，符合题意．
当 m=-1 时， fx=x-1=1x ，图象关于原点对称，不符合题意．
所以 m 的值为 2 ．
故答案为： 2
14.【答案】a<-2 5 或 a>2 5
【解析】【分析】题意说明不等式有解，由判别式大于0可得参数范围．
解：由题意 Δ=a2-20>0 ，解得 a<-2 5 或 a>2 5 ，
故答案为： a<-2 5 或 a>2 5 ．
15.【答案】-1,3
【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
解：因为 fx 是偶函数，所以 f2=f-2=1,
所以 fx-1又因为在 0,+∞ 上单调递增，
所以 x-1<2 ，
解得： -1故答案为： -1,3 ．
16.【答案】[0,3]∪[4,12]
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数及其应用，由不等式求解参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
作出f(x)的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．
【解答】
解：作出函数f(x)的图象如图所示：

①当x>0时，f(x)≤f(1)=4，
存在唯一的整数x，使得x(f(x)-a)>0成立，
则a又f(2)=0，故0≤a<4；
②当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，
存在唯一的整数x，使得x(f(x)-a)>0成立，
则a>f(x)只有1个整数解，又f(-1)=3，f(-2)=12，∴3当0≤a≤3或4≤a≤12时，x(f(x)-a)>0只有1个整数解．
故答案为：[0,3]∪[4,12]．
17.【答案】解：(1)要使函数f(x)= 4-x+1 x+3有意义，则4-x≥0x+3>0，解得：-3所以集合A={x|-3∵a=2，
∴B={x|1-a∴∁RB=xx≤-1或x≥3，
∴A∩(∁RB)={x|-3(2)B⊆A，
①当B=⌀时，1-a≥1+a，即a≤0，满足题意；
②当B≠⌀时，由B⊆A，得．
1-a<1+a1-a≥-31+a≤4，
解得：0综上所述：a的取值范围为aa≤3．
【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交、补集的混合运算，函数的定义域问题，是基础题．
(1)先求函数f(x)的定义域可得集合A，再求得∁RB，故可求得A⋂(∁RB)；
(2)分B=⌀、B≠⌀讨论即可得答案
18.【答案】解：依题意， fx≥-2 有实数解，即不等式 ax2+1-ax+a≥0 有实数解，
当 a=0 时， x≥0 有实数解，则 a=0 ，
当 a>0 时，取 x=0 ，则 ax2+1-ax+a=a>0 成立，
即 ax2+1-ax+a≥0 有实数解，
于是得 a>0 ，
当 a<0 时，二次函数 y=ax2+1-ax+a 的图象开口向下，要 y≥0 有解，
当且仅当 Δ=1-a2-4a2≥0⇔-1≤a≤13 ，从而得 -1≤a<0 ，
综上， a≥-1 ，
所以实数 a 的取值范围是 a≥-1 ．

【解析】【分析】将给定的不等式等价转化成 ax2+1-ax+a≥0 ，按 a=0 与 a≠0 并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可．
19.【答案】解：(1)因为 x ， y 都是正数，且 2x+1y=1 ，
所以 2x+y=2x+y2x+1y=4+2xy+2yx+1≥5+2 2xy⋅2yx=9 ，
当且仅当 2xy=2yx ，即 x=y=3 时取等号，此时 2x+y 的最小值为 9 ．
(2)由 2x+1y=1 ，得 x+2y=xy>0 ，
故 2x+y2≥mx+2y⇔m≤2x+y2x+2y⇔m≤2x+y2xy ，
又 2x+y2xy=4x2+y2+4xyxy=4xy+yx+4≥2 4xy⋅yx+4=8 ，
当且仅当 4xy=yx ，即 x=52 ， y=5 时等号成立， 2x+y2xy 取得最小值 8 ，
故 m 的取值范围为 mm≤8 ．

【解析】【分析】(1)利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(2)依题意可得 x+2y=xy>0 ，参变分离可得 m≤2x+y2xy 恒成立，利用基本不等式求出 2x+y2xy 的最小值，即可得解．
20.【答案】解：(1)因为一次投放4个单位的治污试剂，
所以水中释放的治污试剂浓度为 y=4fx=4+4x7-x,0≤x≤522-2x,5当 0≤x≤5 时， 41+x7-x≥4 ，解得 3≤x≤5 ；
当 5≤x≤11 时， 22-2x≥4 ，解得 5≤x≤9 ；
综上， 3≤x≤9 ，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．
(2)设从第一次投放起，经过 x6≤x≤11 天后浓度为 gx=11-x+m[1+x-67-x-6]=11-x+m⋅x-513-x ．
因为 6≤x≤11 ，则 13-x>0 ， x-5>0 ，
所以 11-x+m⋅x-513-x≥4 ，即 m≥13-xx-7x-5 ，令 x-5=t ， t∈1,6 ，
所以 m≥-t-2t-8t=10-t+16t ，
因为 t+16t≥2 16=8 ，所以 m≥2 ，当且仅当 t=16t ， t=4 即 x=9 时等号成立，
故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2．

【解析】【分析】(1)根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；
(2)由题设 gx=11-x+m⋅x-513-x≥4 ，将问题化为 m≥13-xx-7x-5 在 x∈[6,11] 上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值．
21.【答案】解：(1)令 x=y=0 ，得 f(0)=-2 ．
f(x)+2+f(-x)+2=f(0)+2=0 ，所以函数 f(x)+2 为奇函数；
(2)证明：在R上任取 x1>x2 ，则 x1-x2>0 ，所以 f(x1-x2)>-2 ．
又 f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2)+2>f(x2) ，
所以函数 f(x) 在R上是增函数．
(3)由 f(1)=2 ，得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6 ， f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=10 ．
由 f(x2+x)+f(1-2x)>8 得 f(x2-x+1)>f(3) ．
因为函数 f(x) 在R上是增函数，
所以 x2-x+1>3 ，解得 x<-1 或 x>2 ．
故原不等式的解集为 xx<-1 或 x>2 ．

【解析】【分析】(1)赋值法；(2)结合增函数的定义，构造 f(x1)=f(x1-x2)+x2 即可；(3)运用题干的等式，求出 f(3)=10 ，结合(2)的单调性即可．
22.【答案】解：(1)定义域： x≥02-x≥0⇒x∈0,2 ，
f2x= x+ 2-x2=x+2-x+2 x2-x
=2+2 -x-12+1
当 x∈0,2 时， -x-12+1∈0,1 ，
∴ f2x∈2,4,fx≥0 ，
∴ fx∈ 2,2 ；
(2)hx= x+ 2-x-a x2-x ，令 t= x+ 2-x∈ 2,2 ，
则 t2=2+2 x2-x⇒ x2-x=t2-22 ，
设 Ft=t-at2-22=-a2t2+t+a ， t∈ 2,2 ，
1°若 a<0 ，
此时二次函数对称轴 t=1a<0< 2 ，开口向上，则 Ftmax=F2 =2-a ．
2°若 a>0 ，此时对称轴： t=1a>0 ，
①当 1a>2 即 0②当 2≤1a≤2 即 12≤a≤ 22 ，对称轴 t=1a ，开口向下，则 Ftmax=F1a =a+12a ，
③ 1a< 2 即 a> 22 时，开口向下， Ftmax=F 2 = 2 ；
综上： m(a)=2-a,a<12且a≠0a+12a,12≤a≤ 22 2,a> 22 ．

【解析】【分析】(1)根据根式的概念可得 fx 定义域，再计算 f2x=2+2 -x-12+1 ，结合二次函数值域求解可得 fx 值域；
(2)令 t= x+ 2-x∈ 2,2 ，设函数 Ft=-a2t2+t+a ， t∈ 2,2 ，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可．