2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习4.3 函数的应用 (学生版+教师版)

这是一份2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习4.3 函数的应用 (学生版+教师版)，文件包含43函数的应用-人教A版2019必修第一册教师版docx、43函数的应用-人教A版2019必修第一册学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

函数的应用1 函数模型 2 增长快慢比较V(ax)>V(xn)>V(logax)，Vkx>V(logax)常见函数图象3 函数的零点① 函数零点的概念对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.② 方程根与函数零点的关系方程fx=0 有实数根x0⇔函数y=fx有零点x0⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.如 方程2x-4=0的实数根是x=2，函数fx=2x-4与x轴的交点横坐标是2，函数fx=2x-4的零点是2，而不是(2 , 0). 拓展 方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为x0.解惑 若让你求解x2-2x=0?可能知道x=2，那是否只有一个实数根呢？而方程x2-2x=0的实数根⇔函数fx=x2与函数gx=2x的交点横坐标如图就较容易得到，方程x2-2x=0实数根有3个x1∈-1 , 0 , x2=2 , x3=4.③求函数零点方法(1) (代数法) 求方程f(x)=0的实数根.(2) (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.4函数零点定理如果函数y=f(x)在[a , b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a , b)至少有一个零点c，即存在c∈(a , b)，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的解.5二分法① 二分法的概念对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.② 用二分法求方程近似解的步骤(1) 确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2) 求区间(a , b)的中点c;(3) 计算f(c)，(i) 若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii) 若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))(iii) 若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))(4) 判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵~⑷【题型一】不同函数模型的认识【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)A．v=log2t B．v=log12t C．v=t2-12 D．v=2t-2【解析】方法1 由表可知：v是关于t的增函数；且增幅随t的增大而增大，故只有C满足要求．故选C．方法2 作出散点图，如图，由函数拟合可知只有C满足要求．故选C．方法3 由表可知：v是关于t的增函数；故B不适合；对于A：log21.99≈2，log23≈0.3，log24=2；故A不接近；对于C：1.992-12≈1.5，32-12=4，42-12=7.5，5.12-12≈12.5，6.122-12≈18.2．故C接近；对于D：2×1.99-2=1.98，2×3-2=4，2×4-2=6，2×5.1-2=8.2，2×6.12－2=10.24，故D不接近．故选C．【点拨】判断最佳函数模型，方法如下① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除. 【典题2】 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．(1)求函数P1=f(t)的解析式；(2)求函数P2=g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种【解析】(1)由题意可设P1=f(t)=mt+n,(m≠0)，∵当t=0时，P1=20；当t=10时，P1=40，∴n=2010m+n=40，解得m=2n=20，∴P1=f(t)=2t+20；(2)由题意可设P2=g(t)=k∙at，∵当t=0时，P2=20；当t=10时，P2=40， ∴k=20k∙a10=40，解得k=20a=2110，∴P2=g(t)=20×2t10；(3)表中数据如下：在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：有图象可知，P1=f(t)=2t+20呈直线增长，增长速度较慢；P2=g(t)=20×2t10呈指数型增长，增长速度较快．【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”.【题型二】不同函数模型的应用【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．(1)求森林面积的年增长率；(2)到今年为止，森林面积为原来的2倍，则该地已经植树造林多少年？(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)设森林面积的年增长率为x，则a1+x10=2a，解得x=2110-1，∴森林面积的年增长率为2110-1；(2)设已经植树造林n年，则由题意可知a(1+x)n=2a，∴a×2n10=2a，∴n=5，∴已经植树造林5年；(3)设为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林m年，则a1+xm≥6a，∴2m10≥6，∴m10≥log26=lg6lg2=lg2+lg3lg2，∴m≥10×lg2+lg3lg2≈26，故为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林26年． 【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6-12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0,5.1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+8x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．【解析】1y=80t-20+8x+50t=30t-20-8x=30k6-12x+4-20-8x =180k-360kx+4-8x-20，x∈[0,10]．(2)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k-360kx+4-8x-20≥0在x∈[0,10]恒成立，即k≥145⋅(x+4)(2x+5)x+2， (分离参数法)记t=x+2，则t∈[2,12]，此时(x+4)(2x+5)x+2=(t+2)(2t+1)t=2t+2t+5，由于函数f(t)=2t+2t+5在t∈[2,12]单调递增，(对勾函数)所以当t∈[2,12]时，fmax(t)=f(12)=29+16≈29.167，∴k≥145×29.167≈0.648，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【点拨】① 根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围；② 求函数y=ax2+bx+ca1x2+b1x+c1最值问题中，注意基本不等式和对勾函数的应用.巩固练习1(★) 有一组实验数据如表：则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)A．y=x12 B．y=log2x C．y=13⋅2x D．y=12x2 【答案】 C 【解析】把(x,y)的值分别代入y=x12中，不成立，故A不能最佳体现这些数据关系；把(x,y)的值分别代入y=log2x中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系；把(x,y)的值分别代入y=13⋅2x中，基本成立，故C能最佳体现这些数据关系；把(x,y)的值分别代入y=12x2中，不成立，故D不能最佳体现这些数据关系．故选：C．2(★) 设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k∙0.9x(x∈N*)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　　)(参考数据：1g3≈0.477)A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】 C 【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得k⋅0.9x0)，化得0.9x<13，两边同时取常用对数，可得xlg0.9lg13lg0.9=-lg32lg3-1≈-0.477-0.046≈10.37，则至少通过11块玻璃，故选：C．3(★★) 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．【答案】 (1) a=-1，b=9，c=34, p=-27，q=23，r=60 (2) 乙模型【解析】 (1)由甲模型：令y=f(x)=ax2+bx+c，可得：a+b+c=42，4a+2b+c=48，9a+3b+c=52，解得a=－1，b=9，c=34．由乙模型：设y=pqx+r，可得：g(1)=pq+r=42，g(2)=pq2+r=48，g(3)=pq3+r=52，解得p=－27，q=23，r=60．(2)由 (1)可得：f(x)=－x2+9x+34，∴f(4)=－42+9×4+34=54，f(5)=－52+9×5+34=54<57，f(6)=－62+9×6+34=52<58；由乙模型可得：g(x)=－27•(23)x+60，∵g(4)=54+23≈54，g(5)=56+49≈56，g(6)=57+1727≈57．可得：g(4)、g(5)、g(6)比f(4)、f(5)、f(6)更接近真实值．4(★★) 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p=f(t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】(1)f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14]log13(t-5)+83,t∈(14,40] (2)教师能够合理安排时间讲完题目 【解析】(1)当t∈(0,14]时，设p=ft=ct－122+82(c<0)，将点(14,81)代入得c=-14，∴当t∈(0,14]时，p=f(t)=-14t－122+82；当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y=loga(t－5)+83，得a=13，所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14]log13(t-5)+83,t∈(14,40]；(2)当t∈(0,14]时，-14t－122+82≥80，解得12－22≤t≤12+22，所以t∈[12－22,14]，当t∈(14,40]时,log13(t－5)+83≥80，解得522，所以教师能够合理安排时间讲完题目．5 (★★) 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8-16x+2,0≤x≤612-x,60x2+4x+1 , x≤0，若函数Fx=fx-b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4(x10-2-t<01-2t>0，解得-120 , 且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是 ．【答案】 m>1 【解析】方程mx－x－m=0有两个不同实数根，等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点．当m>1时，如图(1)有两个不同交点；当00，则y=h(x)与y=－k∙log3x的函数图象只有1个交点，不符合题意；若－k=0，即k=0，则y=h(x)与y=－k∙log3x的函数图象有无数多个交点，不符合题意；若－k>0，即k<0，若y=h(x)与y=－k∙log3x的函数图象有3个交点，则－klog33<2，且－k•log35>2，解得：－24，显然无解．综上，850}，函数是增函数，满足f(a)f(b)f(c)<0(a0 , 故x0∈(4 , 5)，所以[x0]=4，【点拨】① 若f(x)在[a , b]上是单调函数，则它在[a , b]上至多只有一个零点.② 求函数零点的近似值，可利用代入一些数值进行逼近，再用函数的零点判断定理确认零点的范围.【题型六】二分法【典题1】 用二分法求函数fx=lnx+1+x-1在区间[0 , 1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为　 ．【解析】根据题意，原来区间[0 , 1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为12n，若12n<0.01，即n≥7；故最少为7次.【点拨】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.巩固练习1(★) 设函数f(x)=ex+lnx，满足fafbfc<0 (a0}，函数是增函数，满足f(a)f(b)f(c)<0(a0，f(2)=12>0，f(3)=34>0，f(4)=76>0，所以f(0)<0，f(1)>0，所以函数的零点在(0,1)，故选：ABC．3(★★) 已知函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间[0 , 1]上，则b的取值范围为　 　． 【答案】 (-∞ , 1] 【解析】因为函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上是单调递增，函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上，x→0，log2x+x→﹣∞，f(x)<0，可得b∈R所以f(1)=log21+1﹣b≥0，解得b≤1．4(★★) 若函数f(x)=x2+tx+1在区间(1 , 2)上有一个零点，则实数t的取值范围是　　．【答案】(-52,-2) 【解析】函数f(x)=x2+tx+1在区间(1,2)上有一个零点，若方程f(x)=x2+tx+1=0的判别式为△=t2－4=0，可得t=2或－2，当t=2时，f(x)=x2+2x+1=0，有零点x=－1，不满足题意；当t=－2时，f(x)=x2－2x+1=0，有零点x=1，不满足题意；若△>0可得△=t2－4>0，可得t>2或t<－2，∴f(1)f(2)<0，可得(t+2)(5+2t)<0，解得－520且a≠1)指数型函数y=k∙ax (a>0且a≠1)对数函数y=logax (a>0且a≠1)对数型函数y=k∙logax (a>0且a≠1)幂函数y=xn (n∈ N*)幂函数型y=k⋅xn (n∈ N*)t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01t05101520P1/万元2040P2/万元2040t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 202 40 40280x23456y1.402.565.311121.30