高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案，共14页。学案主要包含了知识梳理，考点分类剖析，变式探究等内容，欢迎下载使用。

一、函数的概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.
其中叫做自变量，是x函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。
二、函数的三要素
函数的三要素是定义域、值域、对应法则
三、两个函数能成为同一函数的条件
当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
四、区间的概念和记号
设，且，我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。
（4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为
五、函数的表示方法
函数的表示方法有三种。（1）解析法（2）列表法（3）图像法
六、分段函数
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。
七、求函数的定义域的主要依据
（1）分式的分母不能等于零； （2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；
（3）对数函数的真数； （4）指数函数和对数函数的底数且；
（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；
（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。
八、求函数的值域
（1）函数值域与函数定义域之间的关系
（2）求函数值域的基本方法
①一次函数（例如：，）②二次函数（例如：，）
③一次分式（例如：，）④二次分式（例如：）
⑤同次根号问题（例如：）⑥均值不等式（例如：，）
⑦数形结合（例如：）
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例】1、下列各组函数中表示同一函数的是 。
（1），； （2）；
（3）； （4）
（1）（3）【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
【变式探究】1、下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
B．C．D．
B【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
2、下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
C【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。
考点二 已知解析式求定义域
【典例】1、函数的定义域是 。
【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
2、函数的定义域是 。
【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以
综上，定义域为
【变式探究】1、函数的定义域是_____.
.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.
2、函数的定义域为________.
【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．
考点三 抽象函数求定义域
【典例】1、已知的定义域为，则函数的定义域为 。
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，
2、若函数=的定义域为,则函数的定义域是 。
【解析】因为=的定义域为,所以，即定义域是.
3、已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为 。
【解析】由函数y＝的定义域为[-2，3]，∴∴对y＝f（2x+1），有，解得，即y＝f（2x+1）的定义域为．
【变式探究】
1、若函数的定义域为,则函数的定义域是 。
【解析】设，则.由的定义域为知，，即的定义域为，要使函数有意义，必须满足，即，解得，
2、①已知的定义域为，求函数的定义域；
②已知的定义域为，求的定义域；
③已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，
∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.
考点四 根据定义域求参数
【典例】1、函数的定义域，则实数的值为 。
3【解析】由题意，函数有意义，满足，又由函数的定义域为，所以，解得．
2、若函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0所以ax2+2ax+1＝0无解当a＝0是方程无解，符合题意当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a综上所述0≤a
【变式探究】
1、若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是 。
【解析】∵函数f（x）的定义域为R；∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m≠0时，则m＞0△=m2−8m<0；解得0＜m<8；综上得，实数m的取值范围是
2、函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【解析】∵的定义域为，∴恒成立，即判别式，得，即实数的取值范围是
3、函数的定义域是，则的取值范围是 .
【解析】由题意,恒成立.若,则成立,符合题意;若,只需二次函数与轴无交点,即,解得.
考点五 待定系数法求解析式
【典例】1、已知是一次函数，且，求的解析式.
或【解析】设，则，得，解得或.因此，或.
【变式探究】
1、已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
【解析】设，则有，对任意实数恒成立，，解之得，.
2、已知是一次函数，且满足．求．
【解析】设，则，，，；．
考点六 换元法求解析式
【典例】1、已知，则的解析式为 。
，且【解析】令t=，得到x=，∵x≠1，∴t≠1且t≠0，∴且t≠0)∴且x≠0)，
2、已知函数，则函数的解析式为 。
【解析】∵f(x−1)=x−1令则，且
，，
【变式探究】
1、已知，则的解析式为 。
【解析】令，得，∴，∴．
2、已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)＝ .
f(x)＝ln x＋1【解析】根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1。
3、若函数,则的解析式为 。
【解析】令，则，所以，所以，即
4、已知，则 。
【解析】已知，设，则，所以，故．
考点七 配凑法求解析式
【典例】1、已知,则________．
【解析】，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴．
【变式探究】
1、已知，则的解析式为 。
【解析】，，
，，因此，.
2、如果，则当且时，则= ；
．【解析】∵，∴．
考点八 解方程组求解析式
【典例】1、已知函数满足，则 。
【解析】因为①，所以用替换，得 ②由得
2、已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)=2f(1x)x−1，则f(x)=______．
23x+13【解析】在f(x)=2f(1x)x−1，用1x代替x，得f(1x)=2f(x)1x−1，联立得 fx=2f1xx-1f1x=2fx1x-1 ，将f(1x)=2f(x)x−1代入f(x)=2f(1x)x−1中，可求得f(x)=23x+13．
【变式探究】
1、已知函数满足，则= 。
【解析】由,将换成有,即,故有 ,两式相减化简得
2、已知，则的解析式是________．
.【解析】将等式中的换为得到：故有解得：故答案为：
考点九 利用解析式求值
【典例】1、已知函数满足，则 。
【解析】在中,分别令和得: ①, ②,联立①②消去, 解得:.
2、设函数对的一切实数都有，则=___________
-2017【解析】时，，当时，
即 ，解得.故填：-2017.
【变式探究】
1、已知函数满足，则______．
【解析】由题意可得：，解得：，令可得：，则.
考点九 单调性法求值域
【典例】1、若函数的定义域是，，则函数的值域为 ．
【0,1】【解析】函数在，上单调递增且，（2）．其值域为，．
【变式探究】
1、函数的值域为 。
【答案】，【解析】，，函数的值域为．
2、函数的值域为 。
【解析】；；的值域为．
3、函数的最大值是 。
【解析】 故函数的最大值为：.
4、函数f(x)＝x－lg2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
3【解析】与y=－lg2(x＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝－lg2(x＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3故答案为3．
考点十 换元法求值域
【典例】1、函数在，上的值域为 。
【解析】，令，因为，，所以，，
原函数的值域等价于函数的值域，所以．
【变式探究】
1、函数的值域为 。
，【解析】由，得．函数为上的增函数，函数为，上的增函数，是，上的增函数，．
2、函数，，的值域为 。
，【解析】令，，，，时，，时，，，
3、函数的值域为 。
，【解析】设，则，，，
4、已知，则函数的值域为 。
，【解析】，，
在，上单调递增，故当时，函数有最小值4，即函数的值域为，．
考点十一 分离常数法求值域
【典例】1、已知函数，则它的值域为 。
【解析】，，，，，，的值域为．
【变式探究】
1、已知函数，则该函数在，上的值域是 。
，【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，（2）是在，上的最小值，且（1），（3），在，上的值域为，．
2、函数的值域是 。
或【解析】，当时，有，当且仅当，即，也就是时上式等号成立；
当时，有，当且仅当，即，也就是时上式等号成立．函数的值域是或．
3、函数的值域是 。
，【解析】，，，则，
．即函数的值域是，．
4、函数的值域为 。
【解析】，，，，，，即，即函数的值域为，
考点十二 图像法求值域
【典例】1、函数的值域是 。
【解析】，当时，单调递增，故；
当时，先减后增，当时，函数取得最小值，故，综上可得，函数的值域为．
【变式探究】
1、函数在区间上的最大值________.
3【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，
又 ，，又，即函数在区间上的最大值为3。
2、函数在区间上的最大值________.
3【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，又 ，，又，即函数在区间上的最大值为3，
3、函数 的最大值为_______.
1【解析】因为；易得：当且仅当时取最大值1.
考点十三 利用值域求参数
【典例】1、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
，【解析】函数的值域为，能够取到大于0的所有实数，则△，解得．实数的取值范围是，．
2、已知函数的值域为，，则的取值范围是 。
，【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意；要使函数的值域为，，则，解得．的取值范围是，．
【变式探究】
1、已知函数，的值域为，，则实数的取值应为 。
【解析】时，；时，，依题意可得．
2、若函数的值域为，，则的取值范围是 。
，【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，，则函数的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：解得：所以的取值范围是，．
3、若函数的值域是，则实数的取值范围是 ．
，【解析】当时，，此时值域为，依题意，当时，，，显然，即，①若，即时，单调递增，此时值域为，，不可能满足，，舍去；②若，即时，单调递减，此时值域为，，则需，，故此时．综上，实数的取值范围为，．