初中数学苏科版八年级上册4.3 实数导学案

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知识点01 实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60等
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【即学即练1】在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据无理数的定义即可求解．
【详解】解：在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数有和两个．
故选：B
知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【即学即练2】的倒数是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倒数的定义写出即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
知识点03 平方根、算术平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【即学即练3】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的化简法则及实数的加减法计算并判断．
【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
知识点04 实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【微点拨】
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即学即练4】在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵正数都大于负数，
∴最小的数为-22，
故选A．
知识点05 实数的运算
1、加法交换律：
2、加法结合律 ：
3、乘法交换律：
4、乘法结合律 ：
5、乘法对加法的分配律：
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【微点拨】1、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
【即学即练5】化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1B．1C．5－2D．2－5
【答案】B
【分析】先化简绝对值，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式＝
故选B
考法01 实数的大小比较
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【典例1】下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】，，，，
故选：A
考法02 实数的分类
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【典例2】设边长为4的正方形的对角线长为，下列是关于的四种说法：
①是无理数；
②不可以用数轴上的一个点来表示；
③；
④是32的算术平方根.
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据无理数的意义，可判断①，根据实数与数轴的关系，可判断②，根据实数的大小比较，可判断④根据算术平方根，可判断④．
【详解】解：①，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，故②错误；
③，故③错误；
④，故④正确；
故选：A．
题组A 基础过关练
1．无理数的值介于( )
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
【答案】B
【分析】估算出的值即可判断．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴无理数的值介于3～4之间，
故选：B．
2．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
3．实数，3，0，中，最大的数是（ ）
A．B．3C．0D．
【答案】B
【分析】根据正数＞0＞负数，即可排序找到最大的数．
【详解】解：∵-2