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初中4.3 实数学案及答案
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这是一份初中4.3 实数学案及答案，文件包含第19讲实数教师版-数学八上同步精品讲义苏科版docx、第19讲实数学生版-数学八上同步精品讲义苏科版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
知识点01 实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60等
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【即学即练1】在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【即学即练2】的倒数是
A．B．C．D．
知识点03 平方根、算术平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【即学即练3】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点04 实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【微点拨】
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即学即练4】在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
知识点05 实数的运算
1、加法交换律：
2、加法结合律 ：
3、乘法交换律：
4、乘法结合律 ：
5、乘法对加法的分配律：
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【微点拨】1、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
【即学即练5】化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1B．1C．5－2D．2－5
考法01 实数的大小比较
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【典例1】下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考法02 实数的分类
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【典例2】设边长为4的正方形的对角线长为，下列是关于的四种说法：
①是无理数；
②不可以用数轴上的一个点来表示；
③；
④是32的算术平方根.
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
题组A 基础过关练
1．无理数的值介于( )
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
2．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．实数，3，0，中，最大的数是（ ）
A．B．3C．0D．
4．实数3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
5．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”）
6．若n为整数，且，则n的值为________________．
7．计算：+++．
题组B 能力提升练
1．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．无理数在两个相邻的整数之间的是 （ ）
A．5和6B．4和5C．3和4D．2和3
3．下列各实数比较大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．3和4之间D．5和6之间
5．在，，，，这五个数中，有理数有__个．
6．已知a，b为两个连续的整数，且，则______．
7．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
8．（1）计算：﹣＋；
（2）．
9．将下列各数填入相应的集合中：
，0，，，3.01，，，，
有理数集合：_______________； 无理数集合：_____________；
整数集合：________________； 分数集合：_________________．
10．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①∵3－2＝1＞0，∴3＞2；②∵（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；③∵（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－2
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若，则_________；若，则_________；若，则_________；
(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒
①______________；
②当时，____________；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间B．，之间C．，之间D．，之间
2．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ） ．
A．B．C．D．2S2-2
3．定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（ ）个．
①3*2＝7．
②2⊕（﹣1）＝﹣5．
③（*）⊕（⊕）＝﹣．
④若a*b＝b*a，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．比较大小：______（填>、<或=）．
5．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________．
6．观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
7．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为________．
8．计算
(1)；
(2)．
9．阅读材料：如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为“新年数”．比如372，百位数字与个位数字之和为3＋2＝5，十位数字是7，7－5＝2，所以372是“新年数”．
(1)请判断493，681是否是“新年数”，并写出判断过程；
(2)若一个“新年数”m是13的倍数，将m各位数字之和记为，求的值．
10．对于任意的一个四位数，若它的千位数字与十位数字的和等于11，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“关联数”，的千位数字的2倍与百位数字的和记为，的十位数字与个位数字之和记为．例如：，，，是“关联数”．此时，．又如：，，不是“关联数”．
(1)判断6161，4575是否为“关联数”，并说明理由；如果是“关联数”，请求出、的值；
(2)已知一个四位数为“关联数”，其中（，，、是整数），若，求出所有满足条件的的值．
课程标准
课标解读
了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类
了解实数与数轴上点的一一对应关系
会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类
了解有理数、无理数以及实数的有关概念，理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值几何概念
画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴表示大小
知识点01 实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60等
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【即学即练1】在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【即学即练2】的倒数是
A．B．C．D．
知识点03 平方根、算术平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【即学即练3】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点04 实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【微点拨】
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即学即练4】在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
知识点05 实数的运算
1、加法交换律：
2、加法结合律 ：
3、乘法交换律：
4、乘法结合律 ：
5、乘法对加法的分配律：
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【微点拨】1、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
【即学即练5】化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1B．1C．5－2D．2－5
考法01 实数的大小比较
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【典例1】下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考法02 实数的分类
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【典例2】设边长为4的正方形的对角线长为，下列是关于的四种说法：
①是无理数；
②不可以用数轴上的一个点来表示；
③；
④是32的算术平方根.
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
题组A 基础过关练
1．无理数的值介于( )
A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间
2．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．实数，3，0，中，最大的数是（ ）
A．B．3C．0D．
4．实数3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
5．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”）
6．若n为整数，且，则n的值为________________．
7．计算：+++．
题组B 能力提升练
1．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．无理数在两个相邻的整数之间的是 （ ）
A．5和6B．4和5C．3和4D．2和3
3．下列各实数比较大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．3和4之间D．5和6之间
5．在，，，，这五个数中，有理数有__个．
6．已知a，b为两个连续的整数，且，则______．
7．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
8．（1）计算：﹣＋；
（2）．
9．将下列各数填入相应的集合中：
，0，，，3.01，，，，
有理数集合：_______________； 无理数集合：_____________；
整数集合：________________； 分数集合：_________________．
10．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①∵3－2＝1＞0，∴3＞2；②∵（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；③∵（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－2
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若，则_________；若，则_________；若，则_________；
(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒
①______________；
②当时，____________；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间B．，之间C．，之间D．，之间
2．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ） ．
A．B．C．D．2S2-2
3．定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（ ）个．
①3*2＝7．
②2⊕（﹣1）＝﹣5．
③（*）⊕（⊕）＝﹣．
④若a*b＝b*a，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．比较大小：______（填>、<或=）．
5．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________．
6．观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
7．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为________．
8．计算
(1)；
(2)．
9．阅读材料：如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为“新年数”．比如372，百位数字与个位数字之和为3＋2＝5，十位数字是7，7－5＝2，所以372是“新年数”．
(1)请判断493，681是否是“新年数”，并写出判断过程；
(2)若一个“新年数”m是13的倍数，将m各位数字之和记为，求的值．
10．对于任意的一个四位数，若它的千位数字与十位数字的和等于11，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“关联数”，的千位数字的2倍与百位数字的和记为，的十位数字与个位数字之和记为．例如：，，，是“关联数”．此时，．又如：，，不是“关联数”．
(1)判断6161，4575是否为“关联数”，并说明理由；如果是“关联数”，请求出、的值；
(2)已知一个四位数为“关联数”，其中（，，、是整数），若，求出所有满足条件的的值．
课程标准
课标解读
了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类
了解实数与数轴上点的一一对应关系
会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类
了解有理数、无理数以及实数的有关概念，理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值几何概念
画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴表示大小
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