专题1.4 探索三角形全等的条件（SSS，SAS）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点1】全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

【知识点2】全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
【知识点3】 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【考点一】三角形全等➼➻用“边边边”直接证明三角形全等
【例1】如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．

【分析】先证明得到，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论．
证明：∵
，
，
，
．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
【举一反三】
【变式】已知，如图，，求证：

【分析】连接，证明即可求得答案．
证明：连接，如图所示，

∵，，，
∴，
∴；
【点拨】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．
【考点二】三角形全等➼➻用“边边边”间接证明三角形全等
【例2】如图所示，AB=AC，BD=CE，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD．

分析：根据BD=CE得出BE=CD，然后结合AE=AD，AB=AC利用SSS来判定三角形全等.
解：∵BD=CE， ∴BD+DE=CE+DE， ∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SSS）
考点：三角形全等的判定
【举一反三】
【变式】如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE．

【分析】由AE=FC证得AC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△FDE即可.
证明：∵A，E，C，F在同一条直线上，AE=FC，
∴AE+EC=EC+FC，
∴AC=EF，
在△ABC和△FDE中，

∴△ABC≌△FDE（SSS）．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL，根据已知条件选择合适的判定方法是解决问题的关键．
【考点三】三角形全等➼➻全等的性质和“边边边”综合
【例3】如图，与交于点，①；②；③，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个正确命题．

(1)正确的命题是：____________________（格式：由××，得×；上述×用前面数字代号①②③表示）．
(2)从你写出的正确命题中选一个加以证明．
【答案】(1)由①③，得②；或由②③，得①；(2)见分析．
【分析】分两种情形，利用全等三角形的判定和性质分别证明即可．
（1）解：正确的命题是：由①③，得②；或由②③，得①；
（2）证明：由①③，得②，
若，，
连接，

在和中，
，
，
；
或由②③，得①，
若，，
在和中，
，
，
，，
．
【点拨】本题考查命题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【举一反三】
【变式1】如图，点E、点F在上，且，，，求证：．

【分析】根据全等三角形的判定得出，推出，利用平行线的判定解答即可．
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，．
求证：．
若，求的度数．

【答案】(1) 证明见分析； (2)
【分析】（1）连接，利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据（1）的结论可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
解：（1）证明：如图，连接，

在和中，
，
，
．
（2）解：，
，
由（1）已证：，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
【考点四】三角形全等➼➻用“边角边”直接证明三角形全等
【例4】已知：如右图，．
求证：．

【分析】由，得，再利用即可证得结论．
证明：∵，
∴，
在与中：
，
∴．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、
【举一反三】
【变式】“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
【考点五】三角形全等➼➻用“边角边”间接证明三角形全等
【例5】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且，，，求证：．

【答案】见分析
【分析】根据可得，根据可得，即可根据进行求证．
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理．
【举一反三】
【变式】如图，已知：，，，是上两点，且．
求证：．
证明：（已知）
______________（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等式的基本性质）
即
在和中

（ ）
（ ）
【答案】；；；；；；；全等三角形对应边相等．
【分析】根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到，然后证明即可得到结论．
证明：（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
(等式的基本性质)
即
在和中
，
(全等三角形对应边相等)
故答案为：；；；；；；；全等三角形对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点六】三角形全等➼➻全等的性质和“边角边”综合
【例6】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

求证：；
若，求三角形的面积．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）根据得，根据得，即，根据 即可证明；
（2）在中，以为底作为高，则，，根据 得，，即可得．
（1）证明：∵，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，

，，
∵，
，，
．
【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【举一反三】
【变式1】如图，在△ABC中，已知，，且．求证：．
【分析】先根据全等三角形的性质以及已知得出，再利用即可证出．
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵
∴．
在和中，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式2】已知：如图，，，．

求证： ； (2) ； (3) ．
【分析】（1）根据“边角边”证明，即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得，根据“边角边”证明，即可证得结论．
解：（1）证明：在和中，
∵， ，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．