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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【1.3探索三角形全等的条件】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【1.3探索三角形全等的条件】(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了3 探索三角形全等的条件等内容，欢迎下载使用。
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是 相等， 不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得 .这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的 在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足 对应相等，或 相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是 判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有 两个直角三角形全等（可以简写成 ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种： .证明两个直角三角形全等，首先考虑用 定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用 判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上 .
一、选择题
1．（2021八上·南京期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021八上·岳阳期末）尺规作图：作 角等于已知角 .示意图如图所示，则说明 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2021八上·包河期末）如图，已知AC=DB，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D=90°B．∠ABC=∠DCB
C．∠ACB=∠DBCD．AB=DC
4．（2021八上·丰台期末）将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
5．（2021八上·东莞期末）如图，AC、BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021八上·武汉月考）如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AASB．HLC．SSSD．SAS
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
8．（2021八上·长沙期末）如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021八上·宜宾期末）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在 ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5B．7C．8D．12
10．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
二、填空题
12．（2021八上·诸暨期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
13．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC与△ACD中，ABllCD，请添加一个条件: ，使△ABC≌△CDA.
14．（2021八上·建华期末）如图， 于点D， 于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件： （只添加一个即可），使得 ≌
15．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
16．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
17．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
18．（2021八上·南京期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=2cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm，则EF= cm.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
三、解答题
20．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
21．（2021八上·江津期中）点E、C在线段AD上， AB//DF， AE = DC， CB∥FE
求证： △ABC ≌ △DFE
22．（2021八上·南充期末）如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
23．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
24．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
25．（2021八上·南沙期末）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
26．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
27．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
28．（2021八上·南京期末）如图，在 和 中， ， ， ， ，垂足为M.连接 ，连接 并延长交 的延长线于点G.
（1）求证 ；
（2）若 ，求证 .
29．（2021八上·长沙期末）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第1章《全等三角形》
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
一、选择题
1．（2021八上·南京期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即 ASA.
故答案为：C.
【思路引导】观察图形可知已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，由此可得答案.
2．（2021八上·岳阳期末）尺规作图：作 角等于已知角 .示意图如图所示，则说明 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【完整解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB.
故答案为：A.
【思路引导】由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以根据“SSS”即可判断.
3．（2021八上·包河期末）如图，已知AC=DB，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D=90°B．∠ABC=∠DCB
C．∠ACB=∠DBCD．AB=DC
【答案】B
【完整解答】解：由题意知AC=DB，BC=CB，
A.当∠A=∠D=90°时，可根据HL判断△ABC≌△DCB，A不符合题意；
B.当∠ABC=∠DCB时，不能判断△ABC≌△DCB，B符合题意；
C.当∠ACB=∠DBC时，可根据SAS判断△ABC≌△DCB，C不符合题意；
D.当AB=DC时，可根据SSS判断△ABC≌△DCB，D不符合题意；
故答案为：B．
【思路引导】先求出AC=DB，BC=CB，再利用全等三角形的判定方法判断求解即可。
4．（2021八上·丰台期末）将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【完整解答】解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，
故答案为：A．
【思路引导】根据三角形的稳定性及SSS的方法求解即可。
5．（2021八上·东莞期末）如图，AC、BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴A、如果添加∠A=∠C，则可根据ASA判定△AOB≌△COD；
B、如果添加∠B=∠D，则可根据AAS判定△AOB≌△COD；
C、如果添加OB=OD，则可根据SAS判定△AOB≌△COD；
D、如果添加 AB=CD，则根据SSA不能判定△AOB≌△COD．
故答案为：D．
【思路引导】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2021八上·武汉月考）如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AASB．HLC．SSSD．SAS
【答案】A
【完整解答】解：∵∠AEB=∠ADC=90°，∠BAE=∠CAD，AB=AC
∴△ABE≌△ACD.
故答案为：A.
【思路引导】图形中△ABE≌△ACD有一个公共角∠BAE=∠CAD，结合已知条件利用AAS可证得结论.
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】A
【完整解答】解：连接CD，
∵Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠DCE=180°-45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴，
∴.
故答案为：A.
【思路引导】连接CD，利用等腰直角三角形的性质可证得CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可推出∠CDE=∠BDF，再利用ASA证明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的面积相等，可得到，由此可证得结论.
8．（2021八上·长沙期末）如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
B、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
D. ，
，
即 ，
， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】已知 ， ，欲证 ，需根据SAS或SSS进行判定，据此逐一判断即可.
9．（2021八上·宜宾期末）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在 ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5B．7C．8D．12
【答案】B
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°.
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCD=∠CAE.
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD=3，CD=AE=4，
∴DE=CE+CD=7.
故答案为：B.
【思路引导】根据同角的余角相等得∠BCD=∠CAE，证明△ACE≌△CBD，得到CE=BD=3，CD=AE=4，然后根据DE=CE+CD进行计算.
10．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【完整解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
综上，四个选项都是正确的，
故答案为：D.
【思路引导】由∠BAC=∠DAE=90°可求出∠BAD=∠CAE，根据SAS可证△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，据此判断①；由△ABC等腰直角三角形得∠ABC=∠ACB=45°，从而得出∠ABD+∠DBC=45°，继而得出∠ACE+∠DBC=45°，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，据此判断②③；根据周角的定义求出∠BAE+∠DAC=180°，据此判断④.
11．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【完整解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【思路引导】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
二、填空题
12．（2021八上·诸暨期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
【答案】∠A＝∠D或∠C＝∠DEB
【完整解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC，
∵DE=AC，
∴当∠A＝∠D或∠C＝∠DEB时，△DBE≌△ABC.
【思路引导】根据题意得出∠DBE=∠ABC，再根据全等三角形的判定定理即可得出答案.
13．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC与△ACD中，ABllCD，请添加一个条件: ，使△ABC≌△CDA.
【答案】∠B=∠D (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一)
【完整解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵AC为公共边，
∴添加∠B=∠D后，三角形全等的判定定理AAS，即可证明 △ABC≌△CDA （添加AB=CD,BC∥AD等，符合判定定理即可）.
故答案为：∠B=∠D (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一).
【思路引导】△ABC和△CDA 中，已有公共边AC，通过 ABllCD 推得∠CAB=∠ACD，可添加 ∠B=∠D利用AAS判定定理证明全等. (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一)
14．（2021八上·建华期末）如图， 于点D， 于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件： （只添加一个即可），使得 ≌
【答案】 （答案不唯一）
【完整解答】解：∵ 于点D， 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ≌ （AAS）.
故答案为： .
【思路引导】先求出，再根据求解即可。
15．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
【答案】 或
【完整解答】解：所添加条件为： 或 ，
添加： ，
在 和 中，
，
；
添加： ，
在 和 中，
，
.
故答案为： 或 .
【思路引导】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB，可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等，利用AAS，由此可得答案.
16．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
17．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【完整解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【思路引导】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
18．（2021八上·南京期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=2cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm，则EF= cm.
【答案】5
【完整解答】解：∵∠ACB=90°
∴∠ECF+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ECF=∠B
在△ABC和△FEC中
∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°
∴△ABC≌△FCE（ASA）
∴AC=EF
∵AC=AE+CE=3+2=5cm，
∴EF=5cm
故答案为：5.
【思路引导】根据余角的性质可得∠ECF=∠B，根据ASA证明△ABC≌△FCE，可得AC=EF，由于AC=AE
+CE=5cm，即得EF的长.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
三、解答题
20．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【思路引导】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
21．（2021八上·江津期中）点E、C在线段AD上， AB//DF， AE = DC， CB∥FE
求证： △ABC ≌ △DFE
【答案】证明：∵AB//DF，
∴ ，
又∵CB//FE，
∴ ，
又AE = DC，
∴ ，
∴ ，
∴在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC ≌△DFE.
【思路引导】由平行线的性质可得，，由AE = DC可求出AC=DE，根据ASA证明△ABC≌△DFE.
22．（2021八上·南充期末）如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
【答案】证明： 是 边上的中线，
.
在 和 中，
，
.
.
.
【思路引导】利用三角形的中线，可证得BD=CD，再利用SAS证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的对应角相等可证得∠E=∠DFC，利用平行线的判定定理可证得结论.
23．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【思路引导】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
24．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【思路引导】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
25．（2021八上·南沙期末）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
【答案】解：命题为：若AB∥DC，DE＝BF，则AE∥CF；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即BE=DF，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF．
【思路引导】根据平行线的性质求出 BE=DF， 再利用AAS证明 △ABE≌△CDF ，最后证明即可。
26．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明：在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵点E，F分别是OB，OC的中点，
∴OE=OB，OF=OC，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE.
【思路引导】图形中隐含了对顶角相等，利用AAS可证得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC，再利用线段中点的定义去证明OE=OF；然后根据等边对等角可证得结论.
27．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【思路引导】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
28．（2021八上·南京期末）如图，在 和 中， ， ， ， ，垂足为M.连接 ，连接 并延长交 的延长线于点G.
（1）求证 ；
（2）若 ，求证 .
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ （AAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ .
【思路引导】（1）利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠ADM=∠ACB，再利用AAS可证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DF=BC，EF=AB，再证明∠BCG=∠FEG=∠G=45°，由此可推出AB=EF=FG，DF=BC=BG，即可证得AF=BG=DF；然后利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得结论.
29．（2021八上·长沙期末）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
【思路引导】（1） 由∠ABD=∠CBE，利用等式的性质求出∠ABC=∠DBE，根据SAS证明△ABC≌△DBE；
（2）由△ABC≌△DBE得∠C=∠E，利用三角形外角的性质得∠DFB=∠C+∠CDE，∠DFB=∠E+∠CBE，从而得出∠CDE=∠CBE=20°.
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是 相等， 不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得 .这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的 在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足 对应相等，或 相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是 判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有 两个直角三角形全等（可以简写成 ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种： .证明两个直角三角形全等，首先考虑用 定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用 判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上 .
一、选择题
1．（2021八上·南京期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021八上·岳阳期末）尺规作图：作 角等于已知角 .示意图如图所示，则说明 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2021八上·包河期末）如图，已知AC=DB，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D=90°B．∠ABC=∠DCB
C．∠ACB=∠DBCD．AB=DC
4．（2021八上·丰台期末）将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
5．（2021八上·东莞期末）如图，AC、BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021八上·武汉月考）如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AASB．HLC．SSSD．SAS
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
8．（2021八上·长沙期末）如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021八上·宜宾期末）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在 ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5B．7C．8D．12
10．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
二、填空题
12．（2021八上·诸暨期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
13．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC与△ACD中，ABllCD，请添加一个条件: ，使△ABC≌△CDA.
14．（2021八上·建华期末）如图， 于点D， 于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件： （只添加一个即可），使得 ≌
15．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
16．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
17．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
18．（2021八上·南京期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=2cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm，则EF= cm.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
三、解答题
20．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
21．（2021八上·江津期中）点E、C在线段AD上， AB//DF， AE = DC， CB∥FE
求证： △ABC ≌ △DFE
22．（2021八上·南充期末）如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
23．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
24．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
25．（2021八上·南沙期末）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
26．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
27．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
28．（2021八上·南京期末）如图，在 和 中， ， ， ， ，垂足为M.连接 ，连接 并延长交 的延长线于点G.
（1）求证 ；
（2）若 ，求证 .
29．（2021八上·长沙期末）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第1章《全等三角形》
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
一、选择题
1．（2021八上·南京期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即 ASA.
故答案为：C.
【思路引导】观察图形可知已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，由此可得答案.
2．（2021八上·岳阳期末）尺规作图：作 角等于已知角 .示意图如图所示，则说明 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【完整解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB.
故答案为：A.
【思路引导】由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以根据“SSS”即可判断.
3．（2021八上·包河期末）如图，已知AC=DB，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D=90°B．∠ABC=∠DCB
C．∠ACB=∠DBCD．AB=DC
【答案】B
【完整解答】解：由题意知AC=DB，BC=CB，
A.当∠A=∠D=90°时，可根据HL判断△ABC≌△DCB，A不符合题意；
B.当∠ABC=∠DCB时，不能判断△ABC≌△DCB，B符合题意；
C.当∠ACB=∠DBC时，可根据SAS判断△ABC≌△DCB，C不符合题意；
D.当AB=DC时，可根据SSS判断△ABC≌△DCB，D不符合题意；
故答案为：B．
【思路引导】先求出AC=DB，BC=CB，再利用全等三角形的判定方法判断求解即可。
4．（2021八上·丰台期末）将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【完整解答】解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，
故答案为：A．
【思路引导】根据三角形的稳定性及SSS的方法求解即可。
5．（2021八上·东莞期末）如图，AC、BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴A、如果添加∠A=∠C，则可根据ASA判定△AOB≌△COD；
B、如果添加∠B=∠D，则可根据AAS判定△AOB≌△COD；
C、如果添加OB=OD，则可根据SAS判定△AOB≌△COD；
D、如果添加 AB=CD，则根据SSA不能判定△AOB≌△COD．
故答案为：D．
【思路引导】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2021八上·武汉月考）如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AASB．HLC．SSSD．SAS
【答案】A
【完整解答】解：∵∠AEB=∠ADC=90°，∠BAE=∠CAD，AB=AC
∴△ABE≌△ACD.
故答案为：A.
【思路引导】图形中△ABE≌△ACD有一个公共角∠BAE=∠CAD，结合已知条件利用AAS可证得结论.
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】A
【完整解答】解：连接CD，
∵Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠DCE=180°-45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴，
∴.
故答案为：A.
【思路引导】连接CD，利用等腰直角三角形的性质可证得CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可推出∠CDE=∠BDF，再利用ASA证明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的面积相等，可得到，由此可证得结论.
8．（2021八上·长沙期末）如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：A、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
B、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
D. ，
，
即 ，
， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】已知 ， ，欲证 ，需根据SAS或SSS进行判定，据此逐一判断即可.
9．（2021八上·宜宾期末）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在 ABC外作直线DE，分别过点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5B．7C．8D．12
【答案】B
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°.
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCD=∠CAE.
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD=3，CD=AE=4，
∴DE=CE+CD=7.
故答案为：B.
【思路引导】根据同角的余角相等得∠BCD=∠CAE，证明△ACE≌△CBD，得到CE=BD=3，CD=AE=4，然后根据DE=CE+CD进行计算.
10．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【完整解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
综上，四个选项都是正确的，
故答案为：D.
【思路引导】由∠BAC=∠DAE=90°可求出∠BAD=∠CAE，根据SAS可证△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，据此判断①；由△ABC等腰直角三角形得∠ABC=∠ACB=45°，从而得出∠ABD+∠DBC=45°，继而得出∠ACE+∠DBC=45°，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，据此判断②③；根据周角的定义求出∠BAE+∠DAC=180°，据此判断④.
11．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【完整解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【思路引导】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
二、填空题
12．（2021八上·诸暨期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
【答案】∠A＝∠D或∠C＝∠DEB
【完整解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC，
∵DE=AC，
∴当∠A＝∠D或∠C＝∠DEB时，△DBE≌△ABC.
【思路引导】根据题意得出∠DBE=∠ABC，再根据全等三角形的判定定理即可得出答案.
13．（2021八上·嘉兴期末）如图，在△ABC与△ACD中，ABllCD，请添加一个条件: ，使△ABC≌△CDA.
【答案】∠B=∠D (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一)
【完整解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵AC为公共边，
∴添加∠B=∠D后，三角形全等的判定定理AAS，即可证明 △ABC≌△CDA （添加AB=CD,BC∥AD等，符合判定定理即可）.
故答案为：∠B=∠D (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一).
【思路引导】△ABC和△CDA 中，已有公共边AC，通过 ABllCD 推得∠CAB=∠ACD，可添加 ∠B=∠D利用AAS判定定理证明全等. (BC∥AD，AB=CD等，答案不唯一)
14．（2021八上·建华期末）如图， 于点D， 于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件： （只添加一个即可），使得 ≌
【答案】 （答案不唯一）
【完整解答】解：∵ 于点D， 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ≌ （AAS）.
故答案为： .
【思路引导】先求出，再根据求解即可。
15．（2021八上·南充期末）如图， 与 中，已知， ，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使 ，你添加的条件是 .
【答案】 或
【完整解答】解：所添加条件为： 或 ，
添加： ，
在 和 中，
，
；
添加： ，
在 和 中，
，
.
故答案为： 或 .
【思路引导】观察图形可知图形中隐含公共边BC=CB，可以添加其它两组角中的任意一组角对应相等，利用AAS，由此可得答案.
16．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
17．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【完整解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【思路引导】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
18．（2021八上·南京期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=2cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若AE=3cm，则EF= cm.
【答案】5
【完整解答】解：∵∠ACB=90°
∴∠ECF+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ECF=∠B
在△ABC和△FEC中
∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°
∴△ABC≌△FCE（ASA）
∴AC=EF
∵AC=AE+CE=3+2=5cm，
∴EF=5cm
故答案为：5.
【思路引导】根据余角的性质可得∠ECF=∠B，根据ASA证明△ABC≌△FCE，可得AC=EF，由于AC=AE
+CE=5cm，即得EF的长.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
三、解答题
20．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【思路引导】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
21．（2021八上·江津期中）点E、C在线段AD上， AB//DF， AE = DC， CB∥FE
求证： △ABC ≌ △DFE
【答案】证明：∵AB//DF，
∴ ，
又∵CB//FE，
∴ ，
又AE = DC，
∴ ，
∴ ，
∴在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC ≌△DFE.
【思路引导】由平行线的性质可得，，由AE = DC可求出AC=DE，根据ASA证明△ABC≌△DFE.
22．（2021八上·南充期末）如图， 是 的中线，F为 上一点，E为 延长线上一点，且 .求证： .
【答案】证明： 是 边上的中线，
.
在 和 中，
，
.
.
.
【思路引导】利用三角形的中线，可证得BD=CD，再利用SAS证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的对应角相等可证得∠E=∠DFC，利用平行线的判定定理可证得结论.
23．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【思路引导】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
24．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【思路引导】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
25．（2021八上·南沙期末）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
【答案】解：命题为：若AB∥DC，DE＝BF，则AE∥CF；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即BE=DF，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF．
【思路引导】根据平行线的性质求出 BE=DF， 再利用AAS证明 △ABE≌△CDF ，最后证明即可。
26．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明：在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵点E，F分别是OB，OC的中点，
∴OE=OB，OF=OC，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE.
【思路引导】图形中隐含了对顶角相等，利用AAS可证得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC，再利用线段中点的定义去证明OE=OF；然后根据等边对等角可证得结论.
27．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【思路引导】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
28．（2021八上·南京期末）如图，在 和 中， ， ， ， ，垂足为M.连接 ，连接 并延长交 的延长线于点G.
（1）求证 ；
（2）若 ，求证 .
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ （AAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ .
【思路引导】（1）利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠ADM=∠ACB，再利用AAS可证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DF=BC，EF=AB，再证明∠BCG=∠FEG=∠G=45°，由此可推出AB=EF=FG，DF=BC=BG，即可证得AF=BG=DF；然后利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得结论.
29．（2021八上·长沙期末）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
【思路引导】（1） 由∠ABD=∠CBE，利用等式的性质求出∠ABC=∠DBE，根据SAS证明△ABC≌△DBE；
（2）由△ABC≌△DBE得∠C=∠E，利用三角形外角的性质得∠DFB=∠C+∠CDE，∠DFB=∠E+∠CBE，从而得出∠CDE=∠CBE=20°.
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
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