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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【1.3探索三角形全等的条件】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【1.3探索三角形全等的条件】(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了3 探索三角形全等的条件等内容，欢迎下载使用。
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是 相等， 不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得 .这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的 在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足 对应相等，或 相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是 判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有 两个直角三角形全等（可以简写成 ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种： .证明两个直角三角形全等，首先考虑用 定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用 判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上 .
一、选择题
1．（2021八上·林州期末）如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DC，AB=DEB．AC=DC， ∠A=∠D
C．AB=DE，∠B=∠ED．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E
2．（2021八上·东城期末）如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
4．（2021八上·滨城期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
5．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A．B．C．D．
6．（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 .则在点M运动过程中，线段 长度的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．（2021八上·肥西期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
A．30B．50C．66D．80
8．（2021八上·章贡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE>DE．其中正确的结论是（ ）．
A．①②B．①③C．①②③D．②③
9．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②C．①②④D．③④
10．（2021八上·顺平期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
11．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
12．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
13．（2021八上·包河期末）如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．（填序号）
14．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
15．（2021八上·南沙期末）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是 ．
16．（2022八上·柯桥期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
17．（2021八上·衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点.
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 ；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 .
18．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
19．（2021八上·台州期中）如图,在 中, , , 、 是斜边 上两点,过点 作 ,垂足是 ，过点 作 ,垂足是 交 于点 ，连接 ,其中 .下列结论：
① ；
② ；③ ；
④若 ；
其中正确的是 (填序号).
三、解答题
20．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
21．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
22．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
23．（2021八上·肥西期末）已知，如图，AB＝AE，ABDE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：ABC≌EAD．
24．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
25．（2021八上·句容期末）如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
26．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证： ；
（3）求∠BAC的大小.
27．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
28．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
29．（2021八上·二道月考）感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF.
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD．点E, F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 .
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第1章《全等三角形》
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
一、选择题
1．（2021八上·林州期末）如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DC，AB=DEB．AC=DC， ∠A=∠D
C．AB=DE，∠B=∠ED．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E
【答案】B
【完整解答】解：由题知：；
A选项，、、，满足定理：SSS，使，故A选项正确；
B选项，、、，不满足定理，使，故B选项不正确；
C选项，、、，满足定理：SAS，使，故C选项正确；
D选项，∵，∴、、，满足定理：ASA，使，故D选项正确.
故答案为：B.
【思路引导】 要使△ABC≌△ DEC，已知CB=CE，可根据SSS、SAS、ASA进行逐一判断即可.
2．（2021八上·东城期末）如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。
3．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【完整解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠BAC=60°，
∴ ，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，故①符合题意；
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴PH=PF，PH=PG，
∴PF=PG，
∴AP平分∠BAC，故②符合题意；
∴PF=PG=PH，
∴点P到边AB，AC，BC的距离相等，故③符合题意；
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
∵PF=PG
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
∵BP=BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，④符合题意；
∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠EAP=30°，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵DF=EG，
∴AD+AE=AF+DF+AG-EG=AF+AG，
∴ ，故⑤符合题意，
所以，错误的有0个．
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线的性质和三角形全等的判定及性质等逐项判断即可。
4．（2021八上·滨城期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【答案】C
【完整解答】解：A、符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一的，故不符合题意；
B、根据三角形的判定定理，能画出唯一的，故不符合题意；
C、∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形，不能画出唯一的，故符合题意；
D、根据判定，可以画出唯一的，故不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。
5．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即的最小值为HD的长，
∴的周长最小值为；
故答案为：C.
【思路引导】作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由对称的性质并结合直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC=BH，用边角边可证△ABC≌△HBD，则AC=HD，而三角形PBD的周长=BP+PD+BD=HP+PD+BD，要使其最小，只需满足H、P、D三点共线，即BP+PD的最小值为HD的长.
6．（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 .则在点M运动过程中，线段 长度的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【完整解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×5=2.5，
∴MG= CG= ，
∴HN= .
故答案为：A.
【思路引导】取BC的中点G，连接MG，根据旋转角为60°可得∠MBH+∠HBN=60°，根据等边三角形的性质可得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，推出∠HBN=∠GBM，易得HB= AB，则HB=BG，根据旋转的性质可得BM=BN，证明△MBG≌△NBH，得MG=NH，由垂线段最短可知：MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=30°，CG=AB=2.5，据此求解.
7．（2021八上·肥西期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
A．30B．50C．66D．80
【答案】B
【完整解答】解：∵∠MON＝90°，AE⊥AB，BH⊥ON，
∴∠OAE+∠BAH=90°，∠OAE+∠OEA=90°，∠BHA=∠BHC=90°，
∴∠OEA=∠BAH，∠AOE=∠BHA，
在△AOE和△BHA中，
，
∴△AOE≌△BHA（AAS），
∴OA=BH=3，AH=OE=6，
同理，∵DF⊥ON，BC⊥CD，
∴∠BCH+∠DCF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，∠DFC=90°，
∴∠BCH=∠CDF，∠BHC=∠DFC，
在△BHC和△CFD中，
，
∴△BHC≌△CFD（AAS），
∴CF=BH=3，HC=DF=4，
∴梯形EOFD的面积为（DF+OE）·OF=×（4+6）×16=80，
S△AOE= S△BHA =×3×6=9，
S△BHC= S△CFD =×3×4=6，
∴阴影部分的面积为80－2×9－2×6=50，
故答案为：B．
【思路引导】证出△AOE≌△BHA（AAS），得出OA=BH=3，AH=OE=6，同理，DF⊥ON，BC⊥CD，再证出△BHC≌△CFD（AAS），得出CF=BH=3，HC=DF=4，再根据梯形面积公式及三角形面积公式求解即可。
8．（2021八上·章贡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE>DE．其中正确的结论是（ ）．
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】B
【完整解答】解：①连接CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45°，
∴∠AFC=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
∵AD＝CE∠A＝∠BCFAF＝CF，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90°，
即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论符合题意；
②∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴四边形CDFE的面积=
∴,结论②不符合题意；
③延长DF到G，使FG=DF，连接EG、BG
∵
∴
∴
∵∠
∴
∴
在中，
∵
∴，故③结论符合题意 ，
∴正确的结论是①③，
故答案为：B
【思路引导】连接CF，根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，求得∠A=∠BCF，根据全等三角形的性质得出DF=EF，∠AFD=∠CFE，得出∠DFE=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得出四边形CDFE的面积，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的三边关系即可得出结论。
9．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②C．①②④D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
10．（2021八上·顺平期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：∵ BD为∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△ (SAS)，故①符合题意；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②符合题意；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③符合题意；
作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∵ E是BD上的点，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中 BE=BEEF=EG
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中 EF=EGAE=CE
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】易证△ (SAS)，得出∠BCE=∠BDA，故①②符合题意；再根据角平分线的性质求得∠DCE=∠DAE，故③符合题意；根据③可求得④符合题意。
二、填空题
11．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【完整解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【思路引导】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
12．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
【答案】80°
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【思路引导】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
13．（2021八上·包河期末）如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【完整解答】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①符合题意；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③符合题意；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②符合题意；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④不符合题意，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【思路引导】结合图形，利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
14．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
15．（2021八上·南沙期末）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是 ．
【答案】6
【完整解答】解：如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵∠BCD+∠FCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠DAE=∠FCD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DF=DE，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=FC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB=AE+BE=BE-BC+BE=2BE-BC，
∵AB=8，BC=4，
∴BE=6．
故答案为：6．
【思路引导】先求出DF=DE，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
16．（2022八上·柯桥期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
【答案】
【完整解答】解：连接BC，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
同理：DA=BA，
∴DC=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
如图.在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'.
作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M.
∴DF=D'F，
∵AF=CG，∠B'AF=∠DCG，AB'=AB=CD，
∴△B'AF≌DCG（SAS），
∴B'F=DG，
∴DF+DG=D'F+B'F，
∴当B'、F、D'三点在同一直线上时，DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'.
∵DE=1，AD=AB=2，
∴∠DAE=30°，∠ADE=60°，
∴AC= AD=2 ，CB'=2 -2，
∴B'H= B'C= -1，CH= B'H=3- ，
∴DH=DC-CH=2-（3- ）= −1，
∵四边形DHB′M是矩形
∴DM=B'H= -1，MB′=DH= ，
∴D'M=DD'-DM= AD-DM=2 -（ -1）= +1，
∴D'B'= .
即DF+DG的最小值为2 .
故答案为： .
【思路引导】连接BC，根据角平分线的概念可得∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，根据平行线的性质可得∠DCA=∠BAC，推出DA=DC，同理可得DA=BA，进而推出四边形ABCD是菱形，在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'，作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M，证明△B'AF≌△DCG，得到B'F=DG，则DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'，利用三角函数的概念可得AC，进而求出CB'、B′H、CH、DH，根据矩形的性质可得DM=B'H=-1，MB′=DH=，则D'M=DD'-DM=+1，然后利用勾股定理求出D'B'即可.
17．（2021八上·衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点.
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 ；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 .
【答案】（1）
（2）
【完整解答】解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝＝3，
故答案是：3；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，
∴△PCB是等腰直角三角形
是的角平分线
∵△GFE是等腰直角三角
，
又
G点在线段PB上
当AG⊥PB时AG取得最小值
∴△ABG是等腰直角三角形
∴
故答案为：.
【思路引导】（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，利用勾股定理求出DE′即可；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，证明△GFM≌△GEN，可得GM=GN，得G点在线段PB上，从而得出当AG⊥PB时AG取得最小值，求出此时AG的长.
18．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【思路引导】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB）•PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
19．（2021八上·台州期中）如图,在 中, , , 、 是斜边 上两点,过点 作 ,垂足是 ，过点 作 ,垂足是 交 于点 ，连接 ,其中 .下列结论：
① ；
② ；③ ；
④若 ；
其中正确的是 (填序号).
【答案】①③④
【完整解答】解： ①∵∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，∵∠ACF=∠BCF-∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF(ASA)，正确；
②∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∴BD+CE=CF+CE>EF=DE，错误；
③∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴AD=AF，在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE(SSS)，∴∠DAE=∠EAF=45°，∴∠BAD=∠CAF=∠EAF-∠CAE=45°-∠CAE，正确；
④由③得△ADE≌△AFE，
∴S△AEF=S△ADE=5，
∵S△AEF+S△CEF=S△ACF+S△AEC=S△ABD+S△AEC，
∴S△ABC=S△ABD+S△AEC+S△ADE=S△AEF+S△CEF+S△ADE=3，④ 正确；
综上，正确的是 ①③④ .
故答案为： ①③④ .
【思路引导】利用角的和差关系推出∠BAD=∠CAF，∠ACF=∠B，然后利用ASA证明△ABD≌△ACF，即可判断①；根据(1)的结果得出BD=CF，然后根据三角形三边的关系即可判断 ② ；由(1)得△ABD≌△ACF，求出AD=AF，利用SSS证明△ADE≌△AFE，得出∠DAE=∠EAF=45°，最后根据和差关系即可判断③；通过三角形全等把△ABC的面积转化为△ADE、△AEF和△ECF的面积之和，即可判断④.
三、解答题
20．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明：在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵点E，F分别是OB，OC的中点，
∴OE=OB，OF=OC，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE.
【思路引导】图形中隐含了对顶角相等，利用AAS可证得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC，再利用线段中点的定义去证明OE=OF；然后根据等边对等角可证得结论.
21．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【思路引导】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
22．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
【答案】解：如选①∠C＝∠F，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠EDF＝∠CBA
∵AD＝BE
∴AB＝DE
在△ABC和△EDF中
∠C＝∠F，∠EDF＝∠CBA，AB＝DE
∴△ABC≌△EDF（AAS）
∴FE＝AC
如选②∠A＝∠E，证明依据为ASA；
如选③DF＝CB，证明依据为SAS；
【思路引导】选①∠C＝∠F，利用等角的补角相等，可证得∠EDF＝∠CBA，由AD＝BE可推出AB＝DE；然后利用AAS可证得△ABC≌△EDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．（2021八上·肥西期末）已知，如图，AB＝AE，ABDE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：ABC≌EAD．
【答案】证明：∵∠ECB＝65°，
∴∠ACB＝115°，
又∵∠D＝115°，
∴∠ACB＝∠D，
∵ABDE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【思路引导】先证明∠ACB＝∠D，∠CAB＝∠E，再利用“AAS”证明△ABC≌△EAD即可。
24．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
25．（2021八上·句容期末）如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
【思路引导】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE，然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4，然后根据CD=BC-BD进行计算.
26．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证： ；
（3）求∠BAC的大小.
【答案】（1）解：如图即为所画.
（2）证明： 在四边形 中， ，
，
，
，
在 和 中
∴ （ ）；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
，
，
又
【思路引导】（1）延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）由四边形的内角和得∠ABC+∠ADC=180°，由邻补角的性质得∠ADC+∠EDC=180°，根据同角的补角相等推出∠ABC=∠EDC，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得AC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACE=90°，∠CAE=45°，然后根据∠BAC=∠BAD-∠CAE进行计算.
27．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【思路引导】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；
（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4 ，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长 .
28．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
【思路引导】延长CE、BA交于点F．利用全等等三角形的性质证出△ABD≌△ACF（ASA），得出BD＝CF．因为BD平分∠ABC，得出∠CBE＝∠FBE．再证出△BCE≌△BFE（ASA），得出CE＝EF，即可得出结论。
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是 相等， 不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得 .这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的 在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足 对应相等，或 相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是 判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有 两个直角三角形全等（可以简写成 ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种： .证明两个直角三角形全等，首先考虑用 定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用 判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上 .
一、选择题
1．（2021八上·林州期末）如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DC，AB=DEB．AC=DC， ∠A=∠D
C．AB=DE，∠B=∠ED．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E
2．（2021八上·东城期末）如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
4．（2021八上·滨城期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
5．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A．B．C．D．
6．（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 .则在点M运动过程中，线段 长度的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．（2021八上·肥西期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
A．30B．50C．66D．80
8．（2021八上·章贡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE>DE．其中正确的结论是（ ）．
A．①②B．①③C．①②③D．②③
9．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②C．①②④D．③④
10．（2021八上·顺平期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
11．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
12．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
13．（2021八上·包河期末）如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．（填序号）
14．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
15．（2021八上·南沙期末）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是 ．
16．（2022八上·柯桥期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
17．（2021八上·衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点.
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 ；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 .
18．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
19．（2021八上·台州期中）如图,在 中, , , 、 是斜边 上两点,过点 作 ,垂足是 ，过点 作 ,垂足是 交 于点 ，连接 ,其中 .下列结论：
① ；
② ；③ ；
④若 ；
其中正确的是 (填序号).
三、解答题
20．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
21．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
22．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
23．（2021八上·肥西期末）已知，如图，AB＝AE，ABDE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：ABC≌EAD．
24．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
25．（2021八上·句容期末）如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
26．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证： ；
（3）求∠BAC的大小.
27．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
28．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
29．（2021八上·二道月考）感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF.
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD．点E, F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 .
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第1章《全等三角形》
1.3 探索三角形全等的条件
知识点01：全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点02：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
知识点03：全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点04：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点05：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点06：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
知识点07：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
一、选择题
1．（2021八上·林州期末）如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DC，AB=DEB．AC=DC， ∠A=∠D
C．AB=DE，∠B=∠ED．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E
【答案】B
【完整解答】解：由题知：；
A选项，、、，满足定理：SSS，使，故A选项正确；
B选项，、、，不满足定理，使，故B选项不正确；
C选项，、、，满足定理：SAS，使，故C选项正确；
D选项，∵，∴、、，满足定理：ASA，使，故D选项正确.
故答案为：B.
【思路引导】 要使△ABC≌△ DEC，已知CB=CE，可根据SSS、SAS、ASA进行逐一判断即可.
2．（2021八上·东城期末）如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符题意；
当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。
3．（2021八上·滨城期末）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【完整解答】解：∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，∠BAC=60°，
∴ ，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，故①符合题意；
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴PH=PF，PH=PG，
∴PF=PG，
∴AP平分∠BAC，故②符合题意；
∴PF=PG=PH，
∴点P到边AB，AC，BC的距离相等，故③符合题意；
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
∵PF=PG
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
∵BP=BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，④符合题意；
∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠EAP=30°，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵DF=EG，
∴AD+AE=AF+DF+AG-EG=AF+AG，
∴ ，故⑤符合题意，
所以，错误的有0个．
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线的性质和三角形全等的判定及性质等逐项判断即可。
4．（2021八上·滨城期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【答案】C
【完整解答】解：A、符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一的，故不符合题意；
B、根据三角形的判定定理，能画出唯一的，故不符合题意；
C、∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形，不能画出唯一的，故符合题意；
D、根据判定，可以画出唯一的，故不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。
5．（2021八上·川汇期末）如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即的最小值为HD的长，
∴的周长最小值为；
故答案为：C.
【思路引导】作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由对称的性质并结合直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC=BH，用边角边可证△ABC≌△HBD，则AC=HD，而三角形PBD的周长=BP+PD+BD=HP+PD+BD，要使其最小，只需满足H、P、D三点共线，即BP+PD的最小值为HD的长.
6．（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 .则在点M运动过程中，线段 长度的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【完整解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×5=2.5，
∴MG= CG= ，
∴HN= .
故答案为：A.
【思路引导】取BC的中点G，连接MG，根据旋转角为60°可得∠MBH+∠HBN=60°，根据等边三角形的性质可得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，推出∠HBN=∠GBM，易得HB= AB，则HB=BG，根据旋转的性质可得BM=BN，证明△MBG≌△NBH，得MG=NH，由垂线段最短可知：MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=30°，CG=AB=2.5，据此求解.
7．（2021八上·肥西期末）如图，点A，C，D，E在RtMON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM＝12，OE＝6，BH＝3，DF＝4，FN＝8，图中阴影部分的面积为（ ）
A．30B．50C．66D．80
【答案】B
【完整解答】解：∵∠MON＝90°，AE⊥AB，BH⊥ON，
∴∠OAE+∠BAH=90°，∠OAE+∠OEA=90°，∠BHA=∠BHC=90°，
∴∠OEA=∠BAH，∠AOE=∠BHA，
在△AOE和△BHA中，
，
∴△AOE≌△BHA（AAS），
∴OA=BH=3，AH=OE=6，
同理，∵DF⊥ON，BC⊥CD，
∴∠BCH+∠DCF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，∠DFC=90°，
∴∠BCH=∠CDF，∠BHC=∠DFC，
在△BHC和△CFD中，
，
∴△BHC≌△CFD（AAS），
∴CF=BH=3，HC=DF=4，
∴梯形EOFD的面积为（DF+OE）·OF=×（4+6）×16=80，
S△AOE= S△BHA =×3×6=9，
S△BHC= S△CFD =×3×4=6，
∴阴影部分的面积为80－2×9－2×6=50，
故答案为：B．
【思路引导】证出△AOE≌△BHA（AAS），得出OA=BH=3，AH=OE=6，同理，DF⊥ON，BC⊥CD，再证出△BHC≌△CFD（AAS），得出CF=BH=3，HC=DF=4，再根据梯形面积公式及三角形面积公式求解即可。
8．（2021八上·章贡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE>DE．其中正确的结论是（ ）．
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】B
【完整解答】解：①连接CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45°，
∴∠AFC=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
∵AD＝CE∠A＝∠BCFAF＝CF，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90°，
即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论符合题意；
②∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴四边形CDFE的面积=
∴,结论②不符合题意；
③延长DF到G，使FG=DF，连接EG、BG
∵
∴
∴
∵∠
∴
∴
在中，
∵
∴，故③结论符合题意 ，
∴正确的结论是①③，
故答案为：B
【思路引导】连接CF，根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，求得∠A=∠BCF，根据全等三角形的性质得出DF=EF，∠AFD=∠CFE，得出∠DFE=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得出四边形CDFE的面积，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的三边关系即可得出结论。
9．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②C．①②④D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
10．（2021八上·顺平期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：∵ BD为∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△ (SAS)，故①符合题意；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②符合题意；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③符合题意；
作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∵ E是BD上的点，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中 BE=BEEF=EG
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中 EF=EGAE=CE
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】易证△ (SAS)，得出∠BCE=∠BDA，故①②符合题意；再根据角平分线的性质求得∠DCE=∠DAE，故③符合题意；根据③可求得④符合题意。
二、填空题
11．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【完整解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【思路引导】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
12．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
【答案】80°
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【思路引导】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
13．（2021八上·包河期末）如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【完整解答】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①符合题意；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③符合题意；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②符合题意；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④不符合题意，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【思路引导】结合图形，利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
14．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
15．（2021八上·南沙期末）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是 ．
【答案】6
【完整解答】解：如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵∠BCD+∠FCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠DAE=∠FCD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DF=DE，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=FC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB=AE+BE=BE-BC+BE=2BE-BC，
∵AB=8，BC=4，
∴BE=6．
故答案为：6．
【思路引导】先求出DF=DE，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
16．（2022八上·柯桥期末）如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
【答案】
【完整解答】解：连接BC，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
同理：DA=BA，
∴DC=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
如图.在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'.
作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M.
∴DF=D'F，
∵AF=CG，∠B'AF=∠DCG，AB'=AB=CD，
∴△B'AF≌DCG（SAS），
∴B'F=DG，
∴DF+DG=D'F+B'F，
∴当B'、F、D'三点在同一直线上时，DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'.
∵DE=1，AD=AB=2，
∴∠DAE=30°，∠ADE=60°，
∴AC= AD=2 ，CB'=2 -2，
∴B'H= B'C= -1，CH= B'H=3- ，
∴DH=DC-CH=2-（3- ）= −1，
∵四边形DHB′M是矩形
∴DM=B'H= -1，MB′=DH= ，
∴D'M=DD'-DM= AD-DM=2 -（ -1）= +1，
∴D'B'= .
即DF+DG的最小值为2 .
故答案为： .
【思路引导】连接BC，根据角平分线的概念可得∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，根据平行线的性质可得∠DCA=∠BAC，推出DA=DC，同理可得DA=BA，进而推出四边形ABCD是菱形，在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'，作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M，证明△B'AF≌△DCG，得到B'F=DG，则DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'，利用三角函数的概念可得AC，进而求出CB'、B′H、CH、DH，根据矩形的性质可得DM=B'H=-1，MB′=DH=，则D'M=DD'-DM=+1，然后利用勾股定理求出D'B'即可.
17．（2021八上·衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点.
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 ；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 .
【答案】（1）
（2）
【完整解答】解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝＝3，
故答案是：3；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，
∴△PCB是等腰直角三角形
是的角平分线
∵△GFE是等腰直角三角
，
又
G点在线段PB上
当AG⊥PB时AG取得最小值
∴△ABG是等腰直角三角形
∴
故答案为：.
【思路引导】（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，利用勾股定理求出DE′即可；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，证明△GFM≌△GEN，可得GM=GN，得G点在线段PB上，从而得出当AG⊥PB时AG取得最小值，求出此时AG的长.
18．（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 .
【答案】4
【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4.
【思路引导】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB）•PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.
19．（2021八上·台州期中）如图,在 中, , , 、 是斜边 上两点,过点 作 ,垂足是 ，过点 作 ,垂足是 交 于点 ，连接 ,其中 .下列结论：
① ；
② ；③ ；
④若 ；
其中正确的是 (填序号).
【答案】①③④
【完整解答】解： ①∵∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，∵∠ACF=∠BCF-∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF(ASA)，正确；
②∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∴BD+CE=CF+CE>EF=DE，错误；
③∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴AD=AF，在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE(SSS)，∴∠DAE=∠EAF=45°，∴∠BAD=∠CAF=∠EAF-∠CAE=45°-∠CAE，正确；
④由③得△ADE≌△AFE，
∴S△AEF=S△ADE=5，
∵S△AEF+S△CEF=S△ACF+S△AEC=S△ABD+S△AEC，
∴S△ABC=S△ABD+S△AEC+S△ADE=S△AEF+S△CEF+S△ADE=3，④ 正确；
综上，正确的是 ①③④ .
故答案为： ①③④ .
【思路引导】利用角的和差关系推出∠BAD=∠CAF，∠ACF=∠B，然后利用ASA证明△ABD≌△ACF，即可判断①；根据(1)的结果得出BD=CF，然后根据三角形三边的关系即可判断 ② ；由(1)得△ABD≌△ACF，求出AD=AF，利用SSS证明△ADE≌△AFE，得出∠DAE=∠EAF=45°，最后根据和差关系即可判断③；通过三角形全等把△ABC的面积转化为△ADE、△AEF和△ECF的面积之和，即可判断④.
三、解答题
20．（2021八上·南京期末）如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明：在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵点E，F分别是OB，OC的中点，
∴OE=OB，OF=OC，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE.
【思路引导】图形中隐含了对顶角相等，利用AAS可证得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC，再利用线段中点的定义去证明OE=OF；然后根据等边对等角可证得结论.
21．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【思路引导】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
22．（2021八上·淳安期末）在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
【答案】解：如选①∠C＝∠F，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠EDF＝∠CBA
∵AD＝BE
∴AB＝DE
在△ABC和△EDF中
∠C＝∠F，∠EDF＝∠CBA，AB＝DE
∴△ABC≌△EDF（AAS）
∴FE＝AC
如选②∠A＝∠E，证明依据为ASA；
如选③DF＝CB，证明依据为SAS；
【思路引导】选①∠C＝∠F，利用等角的补角相等，可证得∠EDF＝∠CBA，由AD＝BE可推出AB＝DE；然后利用AAS可证得△ABC≌△EDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．（2021八上·肥西期末）已知，如图，AB＝AE，ABDE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：ABC≌EAD．
【答案】证明：∵∠ECB＝65°，
∴∠ACB＝115°，
又∵∠D＝115°，
∴∠ACB＝∠D，
∵ABDE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【思路引导】先证明∠ACB＝∠D，∠CAB＝∠E，再利用“AAS”证明△ABC≌△EAD即可。
24．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
25．（2021八上·句容期末）如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
【思路引导】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE，然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4，然后根据CD=BC-BD进行计算.
26．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证： ；
（3）求∠BAC的大小.
【答案】（1）解：如图即为所画.
（2）证明： 在四边形 中， ，
，
，
，
在 和 中
∴ （ ）；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
，
，
又
【思路引导】（1）延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）由四边形的内角和得∠ABC+∠ADC=180°，由邻补角的性质得∠ADC+∠EDC=180°，根据同角的补角相等推出∠ABC=∠EDC，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得AC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACE=90°，∠CAE=45°，然后根据∠BAC=∠BAD-∠CAE进行计算.
27．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【思路引导】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；
（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4 ，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长 .
28．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
【思路引导】延长CE、BA交于点F．利用全等等三角形的性质证出△ABD≌△ACF（ASA），得出BD＝CF．因为BD平分∠ABC，得出∠CBE＝∠FBE．再证出△BCE≌△BFE（ASA），得出CE＝EF，即可得出结论。
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
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