专题22 解三角形大题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

这是一份专题22 解三角形大题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合，文件包含专题22解三角形大题综合原卷版docx、专题22解三角形大题综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
冲刺秘籍
正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
三角形中三个内角的关系
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
射影定理
，，
角平分线定理
在中，为的角平分线，则有
张角定理
三角形的面积公式
冲刺训练
一、解答题
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式可得，结合三角形内角性质可得，即可得大小；
（2）由余弦定理列方程求，再应用三角形面积公式求的面积．
【详解】（1）由得：，
∴，，
∴．又，则．
（2）由余弦定理得：，
整理得：．解得，检验均满足构成三角形．
∴或．
2．（2023·山东枣庄·统考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值；
（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．
【详解】（1）由余弦定理知，则
所以，
所以，则
又因为，所以，
整理得，
在中，，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
3．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，即，∴，∴或，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
∴，即，
∴，
∵为内角，
∴．
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2023·福建宁德·校考二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角余弦公式化简可得，结合，即可求解；
（2）利用余弦定理可得，再根据即可求解.
【详解】（1），即，
化简得，解得，
因为，所以．
（2）由余弦定理得，
即，解得，
因为
，
故的长度为．
5．（2023·广东梅州·统考三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）先求得的面积为，再设，，根据余弦定理与基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，又，所以.
（2）因为，，所以的面积为
所以的面积为.
设，，所以，即，
由余弦定理知，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
6．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数
(1)求的单调增区间;
(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先结合二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的单调性可求；
（2）由已知先求出，然后结合余弦定理求出，再由三角形面积公式可求．
【详解】（1），
令，，
解得，，
取，则
故函数在的单调递增区间为
（2）由，可得，
因为，可得，可得，故，
因为，，
由余弦定理得，
解得或，
由于，故舍去，只取，
当时，
7．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2
(2)12
【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；
（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由可得，
，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面积.
8．（2023·湖北武汉·统考一模）在中，，D为中点， .
(1)若，求的长；
(2)若 ，求的长.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.
【详解】（1）在中，，
则 ，
在中，
，
所以.
（2）设，
在和中，由正弦定理得，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又由，整理得：，②
联立①②得，，即.，
解得或，
又，故，
所以.
9．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期与单调性求解即可；
（2）根据求出，根据余弦定理得到，利用平方，结合三角形面积公式求解即可.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为.
令，得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
由得，所以，得.
由余弦定理得，即，
因为，所以，
从而有，得，
则
10．（2023·湖北武汉·统考二模）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．
(1)求角A；
(2)若BC边上的高，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.
（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得.
【详解】（1）（1）由题意得：，
则，
有，即，因为所以．
（2）（2）由，则，所以，
有，则，
又，则．
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的内角的对边分别为且．
(1)判断的形状；
(2)若为锐角三角形，且，求的最大值．
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形．
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，可得或，根据角的范围即可求解；
（2）由结合正弦定理可得，通过锐角三角形可得到，令，故，根据二次函数的性质即可求得最大值
【详解】（1）由题意：，
整理得，
故或，
因为，所以或，
为直角三角形或等腰三角形．
（2）由正弦定理得，
∴，又，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
令，易知，
∴，
故当时，即取最大值，最大值为，
综上，最大值为．
12．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在中，的对边为，若已如
(1)证明：；
(2)若，当的面积为时，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，将问题转化为证明，整理可得完全平方式，由此可得结论；
（2）由（1）可得，进而用表示出，结合已知关系式整理可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1）由正弦定理得：，
要证，只需证，
即证，
，
得证.
（2）由（1）知：当时，，则，
，则，，
由得：，
即，，
，解得：.
13．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）在中，内角的对边分别为.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，代入，得，再根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式可得结果.
（2）根据余弦定理得，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以.
（2）由，得，得，
所以，所以，
所以
.
14．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在中，三边所对的角分别为，已知，
(1)若，求；
(2)若边上的中线长为，求的长.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理整理得，得到，求得，再由正弦定理，即可求解；
（2）设边上的中线为，得到，结合向量的运算，求得，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为且，
由正弦定理得，
整理得，
因为，可得，
可得，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以，
由正弦定理的且，可得.
（2）解：设边上的中线为，则，
所以，
因为边上的中线长为，可得，整理得，
解得或（舍去），
所以.

15．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或
(2)4或.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，从而求得，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理化简得，再由正弦定理即可得到，结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）
在中，，，由余弦定理得，
∴，化简得，
解得，或.
∴，或.
∴，或，
综上可得，或.
（2）在中，设，则，
∵，由正弦定理得，∴.
在中，，，
由正弦定理得，即.
化简得
，∵，∴，.
∴或，解得或.
当时，，，∴为等腰直角三角形，
得到的面积为；
当，，
在中由正弦定理得，
∴
∴的面积为，
综上可得的面积为4或.
16．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）在中，角所对的边分别为．
(1)求证：；
(2)延长至点，使得，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合题意可得，运用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得
又因为，则，
可得.
（2）因为，可知，所以角为锐角，
在中，由正弦定理得：，
又因为，
整理得，
由于，则，
可得，所以角A为锐角， 可得，
因为，则，所以
可得，
又因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．

17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）中，是边上的点，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据条件结合三角形面积公式可得，建立平面直角坐标系，从而可得A在一个定圆上运动变化，从而可求的边上的高的最大值，故可得面积的最大值；
（2）根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，设，
法一：利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，从而得，
法二：利用正弦定理得，利用余弦定理可求得，从而得.
【详解】（1）由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，

则，设，
则，整理得到：，
即点A的轨迹是以圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.
（2）因为，故，又，故，
故为直角三角形，且，
假设内存在点，使得，
法一：如图，设，
则，故，

在中，由正弦定理可得，即，
故，故，
因为为锐角，故，
故存在且．
法二：如图，设，则，故，
同理，故，
而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：，
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故，
故存在且．
18．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）中，是上的点，平分面积是面积的3倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；
（2）利用三角形角平分线定理可求得；设，则，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可得.
【详解】（1），
，
由正弦定理可知
（2），.
设，则，
在与中，由余弦定理可知，
，
，
，解得，即.
19．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果，
（2）由角平分线的性质结合已知可得，再由正弦定理和三角函数恒等变换公式可得，结合可求出，然后在中利用正弦定理可得，从而可求得，在中利用余弦定理得，解方程组可求出，进而可求出的面积.
【详解】（1）因为，所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以.
（2）因为平分交于点，且，
所以，即，①
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，得，
因为，所以，
在中由正弦定理得，
得，所以，
所以,
在中由余弦定理得，得，②
由①②解得，
所以的面积为.

20．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
21．（2023·湖南长沙·统考一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
22．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解；
（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，故，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
记，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
故，则，
所以，即．
23．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据条件化简得出，然后化简目标式，结合导数求解范围；
（2）先利用正弦定理表示出，结合面积公式得出，利用的范围及单调性进行求解.
【详解】（1）因为，且都为锐角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在锐角三角形中，,且，所以；
令，则，，
令，则，
因为，所以，所以为增函数，
又，所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得.
因为，由，得；
设三角形ABC的面积为,则
，
因为，所以，
设，，，，为减函数，
所以，所以.
24．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，即，
∴，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；
②当时，因为，所以，
所以．
由，得．
所以，
故．
因为，所以，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
25．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
26．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合得到，求出答案；
选②，由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案；
选③，由正弦定理得到，由辅助角公式得到，求出答案；
（2）利用正弦定理和余弦定理得到，结合△ABC为锐角三角形，求出，求出答案.
【详解】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
27．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为
【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.
（2）将问题转化 ，根据第一问解得，然后结合不等式求解.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，
又，
因为,
所以,
所以,又,
所以，且,
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
28．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出，即可求得的值；
（2）分析可知、均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.
【详解】（1）解：，
.
由正弦定理得.
.
因为，则，
，，
则，
所以，，即，
所以，，
，即.
（2）解：由（1）得.
若，则、均为钝角，则，矛盾，
所以，，，此时、均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当时，等号成立，且为钝角.
，则，且为锐角，
由，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
，.
因此，面积的最小值为.
29．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
30．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的最大值；
(2)求证：在线段上恒存在点，使得.
【答案】(1)的最大值是；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设，，则，由可得，再由余弦定理将其化为用表示的不等式，即可得出的取值范围；
（2）设，求出的取值范围，证明恒存在，使成立即可.
【详解】（1）设，，则，，
又，
.
由可得，，
，
由余弦定理，得
整理得，
因式分解
，
又，
所以，，
即，
故的最大值是.
（2）
如图，设，,
则,
又，
所以，
，
由题意，且，
即，
而对给定的来说，是定值，
因此恒存在，使.
在中，由正弦定理可得，则；
在中，由正弦定理可得，则；
由存在，
可得存在，即.
因此，在线段上恒存在点，使得.