专题21 数列大题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
冲刺训练
一、解答题
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模） 已知数列是正项等比数列，且.
(1)求的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
3．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；
(2)求数列的前n项和．
5．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列满足， __________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.
①， ② ③
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项积为，求的最大值．
7．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
8．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
11．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
12．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
设数列的前项和为，满足________，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值．
13．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
16．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.
(1)求及的通项公式；
(2)记数列 ，求前项和的.
17．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
18．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，记，求的取值范围.
19．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)数列满足，求数列的前项和.
20．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：
21．（2023·河北邯郸·统考二模）已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
22．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
23．（2023·山东菏泽·统考二模）已知各项为正数的等比数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前2n项和.
24．（2023·山东泰安·统考二模）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围.
25．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．
(1)试求与之间的关系，并证明：；
(2)若，求的通项公式．
26．（2023·山东·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
27．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项数列的前项和满足关系式.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明.
28．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）数列中，，对任意正整数n都有.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：
①；
②.
29．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.
30．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．