专题4-4 数列求和综合大题15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

这是一份专题4-4 数列求和综合大题15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用），文件包含专题4-4数列求和综合大题归类讲+练原卷版docx、专题4-4数列求和综合大题归类讲+练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

知识梳理与二级结论
一、求和基础公式
1．通项an与前n项和Sn的关系是：
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．等差数列有关公式：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
3．等比数列有关公式：
(1)通项公式：an＝a1qn－1；(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
求和基础思维
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
4.有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
5.形如，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者跳项等差等比数列）的通项公式
错位相消求和几种思维：
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）思维结构结构图示如下

（4）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
（5）万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
裂项相消法
常见的裂项相消法求和类型
分式型：，，等；
指数型：，
等，
根式型：等，
对数型：，且；
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
热点考题归纳
【题型一】求和基础：公式法
【典例分析】
（23·24上·福州·期中）已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可；
（2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，
显然且，
由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以，
所以；
（2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，，
而，，
依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，
所以
.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·遂宁·阶段练习）等差数列的前项和为，满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和.
【答案】(1)；(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前项和公式，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前项和公式，即可得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∴，解得，
∴.
（2）由（1）可得，∴，
∴数列为等比数列，首项为，公比为∴
2.（22·23下·北京·期中）已知数列是等差数列，为其前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由得出，再结合，即可求出公差，根据等差数列通项公式即可求出；
（2）由（1）得出，代入，得出是等比数列，根据等比数列前项和公式代入计算即可．
【详解】（1）因为，所以，
所以即，
依题意设数列是公差为的等差数列，，
所以，解得，
所以．
（2）由可得，
所以，
从而，
可知是首项，公比为2的等比数列，
所以其前n项和为．
【题型二】分组求和
【典例分析】
（23·24上·徐汇·期中）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列；
(1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值；
(2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和；
【答案】(1)(2)最小值，，
【分析】（1）利用2级等差数列定义即可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，利用等差数列定义即可求得；
（2）根据定义可得，再由两角和与差的正弦公式即可得，解得的最小正值为，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可得，.
【详解】（1）若数列为2级等差数列，则；
即可知数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，
利用等差数列定义可得，
；
所以；
（2）若是3级等差数列，则；
所以可得，；
即，
解得或；
若对于恒成立，可得，
若，可得，即
所以，
因此的最小正值为，此时；
由于；
所以，
即可得，
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·盐城·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由与的关系求通项，注意验证时是否成立；
（2）由等比中项形式证明等比数列，求解数列的基本量，再求通项，进而化简，再分组求和，分别利用裂项相消法与等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）已知，，则当时，，则有
当时，，也适合上式，∴ ．
（2）∵ ，且， ∴ ，∴ 数列是等比数列，又，∴ 公比，
∴ ，∴ ，
∴
2.（23·24上·深圳·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由等差数列前项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量即可.
（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.
【详解】（1）设公差为d，依题意得,解得,
所以，．
（2）因为， ，
所以
．
【题型三】倒序求和（三角与组合数型）
【典例分析】
（22·23下·长沙·阶段练习）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【详解】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，
（2），
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·大连·期中）已知函数.
(1)若对任意的恒成立，求t的取值范围；
(2)设且，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，对求导，分析的符合，得到的单调性，进而求其最小值即可；
（2）应用分析法，两边取对数得，则只需证明，结合（1）中的结论，进一步采用倒序相加法，即可.
【详解】（1）由题可知对任意的，恒成立，
令，则，
令得，且，
所以在上递减，在上递增，所以在上的最小值为，
由题可知，所以，所以t的取值范围为.
（2）要证不等式两边取对数，
得，故只需证明，
由(1)可知：对任意的，，
取，代入上式得。，
所以
而，
所以，即，其中且.
2.（22·23下·佛山·阶段练习）记为等差数列的前项和.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若，记为数列的前项和，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案；
（2）根据等差数列的性质推出，即得，由此利用倒序相加法即可求得答案.
【详解】（1）由于数列为等差数列，设公差为d，故，
从而可知，即，求得，
则数列的通项公式为；
（2）由于,故数列的前项和为，
由于为等差数列，，所以，所以，
即，同理，
得到，则由倒序相加法可知
，即.
【题型四】错位相消（插入数型）
【典例分析】
（23·24上·肇庆·阶段练习）记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据和的关系，相减法即可求得数列的通项公式；
（2）由得，进而得到，则，再应用错位相减法即可.
【详解】（1）当时，，所以，
所以①，当时，②.
由①-②整理得.
当时，满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）由题意知，所以，
所以，故.
由题可知，得，
则③，④，
③-④得，所以.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·无锡·期中）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；
（2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和.
【详解】（1）由，得，所以，
所以，当时，，
所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
（2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以，设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
2.．（23·24上·河东·期中）已知数列满足，其前项和为；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)分别求出，.
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）依题意可得是公差的等差数列，根据前和公式求出，即可求出的通项公式，设公比为，由等差中项的性质求出，即可得解；
（2）利用错位相减法求出，利用并项求和法求出.
【详解】（1）因为，所以是公差的等差数列，
又前项和为，即，解得，所以，
因为数列是等比数列，且，设公比为，
因为，，成等差数列，所以，即，解得，所以.
（2）记，
所以
①，
②，
②①得，
.
【题型五】裂项相消求和（常规型）
【典例分析】
（23·24上·闵行·期中）等差数列的前项和为，已知，且.
(1)求和；
(2)设，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出和；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可得解.
【详解】（1）设公差为，由，且，可得，
解得，所以，.
（2）由（1）可得，
所以
，
因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·赤峰·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)；；(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
2.（23·24上·广州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见详解.
【分析】（1）利用基本量计算即可；
（2）利用裂项相消法求和得到即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以；
（2），
所以，
因为，所以，所以.
【题型六】正负相间型求和
【典例分析】
记为数列{}的前n项和，已知.
(1)求{}的通项公式；
(2)若，求数列{}的前n项和.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用与关系，结合等比数列的定义与通项运算整理；（2），讨论的奇偶性，结合并项求和方法运算整理.
【详解】（1）当时，；
当时，，则；
又∵，则是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）因为
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上所述：数列的前项和为.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.

【答案】(1)(2)800
【分析】（1)由数列的递推式推得，再结合等差数列的等差中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求；
（2）由（1）可得 ，进而推得 ，再由等差数列的求和公式，计算可得答案．
（1）由题意当时，总有，
故所以 ，
因为为与的等差中项，即有 ，
所以 ，可得 所以，
所以数列是以1为首项、公比为的等比数列，所以 ；
（2）由(1）可得 所以，
所以，即 ，所以 ；
当m为偶数时，，
所以，所以﹒
2.已知等差数列的公差，其前n项和为，.
(1)求通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用求得和，从而求得.
（2）对为偶数或奇数进行分类讨论，结合分组求和法求得
（1）因为等差数列的公差，其前n项和为，
所以则，
所以，解得，，由可得.
（2）；
当为偶数时，；
当为奇数时，
.所以，其中.
【题型七】分段数列求和
【典例分析】
已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件，利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求通项公式；
（2）分奇偶讨论分别求和，然后相加即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为
选择①：由题意得，故，解得，
所以.
选择②：由题意得，即解得，所以.
选择③：由题意得，故，解得，
所以.
（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为
，
由当为偶数时，，
得数列的前项中偶数项的和为
，
故.
【变式演练】
1.已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；
(2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立．

【答案】(1)列是首项为，公比为的等比数列．(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.
（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解，由不等式的性质即可求解.
【详解】（1）由已知得，，所以．因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）证明：（2）由（1），当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
故
，由。所以m的最小值为．
2.记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；；(2).
【分析】（1）由题可得，然后根据项与前项和的关系可得，再根据等比数列的定义即得；
（2）由题可得，然后利用分组求和法及求和公式即得.
【详解】（1）∵，，∴，，设，则，，
又∵数列为等差数列，∴，∴，∴，
当时，，∴，∴，
又∵，∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，
∴，即；
（2）∵，且，∴，
∴
，∴.
【题型八】无理根式型裂项相消
【典例分析】
.已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．

【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．.
试题解析：（I）当时，，得或（舍去）．
当时，，，两式相减得
，
所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，．
（Ⅱ）
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·泰安·阶段练习）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案；
（2）由（1）结合，可得，即可得答案.
【详解】（1）由题意得：，所以，即.
又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，所以，两式相减得，即，
所以，因此的通项公式为.
（2）由（1）可得：，.
因为.
则，
所以
.
2.（23·24上·长沙·阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解，
（2）由裂项相消法求解．
【详解】（1），可得，
可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，由，可得；
（2），
即有.
【题型九】复杂裂项型：分离常数型
【典例分析】
（23·24上·深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
(3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可；
（2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可；
（3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案.
【详解】（1）因为，
所以当时，，解得，
当时，，
两式相减得，，
化简得，，
因为，所以，则，
即是首项为，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，因为，
所以，
所以
（3）由（1）知，，所以，
所以当时，，因为随的增大而增大，
所以，，
所以，所以的最小值为
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（23·24上·南昌·阶段练习）已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.
【详解】（1）函数，则不等式，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，依题意，，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，，
因此，于是
，即有，
所以.
【题型十】复杂裂项型：分子裂差法
【典例分析】
（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
【提分秘籍】
【变式演练】
（23·24上·辽宁·阶段练习）设正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用与的关系，列出方程求出.
（2）根据题意求出，利用裂项相消求和法，计算求出答案.
【详解】（1）当时，，即，
解得（舍去）或（可取），
当时，，，
两式相减得：，
即，即，
∵恒成立，∴，∴，
∴是首项为，公差为的等差数列，故.
（2）由（1）可得，∵是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴，
∴.故.
【题型十一】复杂裂项型：指数裂项法
【典例分析】
（23·24上·宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式；
（2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明.
【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．
所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以
，因为，所以．
【提分秘籍】
【变式演练】
（23·24·南宁·模拟预测）设数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解.
（2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.
【详解】（1）一方面：因为，所以，
所以，即；
另一方面：又时，有，即，且，所以此时；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，又由题意，
数列的前项和为，
又，都有，故只需，而关于单调递增，
所以关于单调递减，关于单调递增，
所以当时，有，
因此，即，解得，
综上所述：的取值范围为.
【题型十二】复杂裂项型：等差指数仿写法
【典例分析】
（23·24上·湖南·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得.
【详解】（1）由得：，
∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，
所以；
（2），所以
.
【提分秘籍】
【变式演练】
（23·24上·和平·期中）设数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)求；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由，当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以；
（2），
则
.
【题型十三】正负型：等差裂和型
【典例分析】
（23·24上·浙江·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合题设变形为，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求得，进而结合和的关系求解即可；
（2）结合（1）可得，结合裂项相消求和即可.
【详解】（1）由，得，
而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，显然也满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
所以.
【提分秘籍】
【变式演练】
（22·23上·漳州·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
(3)，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，.
【分析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案；
（2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案；
（3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，即，
即，则，解得，
所以；
（2）由（1）可得：
所以
（3）解：因为，
当为奇数时，
，所以；
当为偶数时，
，.
【题型十四】正负型：等差裂差型
【典例分析】
（22·23下·德州·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则，解得：，
所以数列的通项公式为；
数列的通项公式.
（2），
数列的前项和．
.
【提分秘籍】
【变式演练】
设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
【答案】（1），，；（2），；
（3）当为奇数，；当为偶数，.
【详解】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，又，
数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
【题型十五】正负型：指数裂和型
【典例分析】
（23·24上·湖北·期中）已知为等比数列，且，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到通项.
（2）由递增可得，对通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出表达式，然后再分别求出的范围，由存在，即可求出的取值范围.
【详解】（1）设等比数列公比为q，
由或，
或.
（2）当为递增数列时，
所以
当为偶数时，
在上单调递减，，
当为奇数时，
在上单调递增，，.
【提分秘籍】
【变式演练】
（23·24上·和平·开学考试）已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，(2)(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
（3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值.
【详解】（1）依题意，，，解得，所以，
则，设等差数列的公差为，则，
所以.
（2），，，
两式相减得，
.
（3）
，
，
当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列，
最小值为，且.
当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列，
最大值为，且.
综上所述，的最大值为，最小值为.
高考真题对点练
1．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
3．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以，设
所以，则，
作差得，所以，所以.
4．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,即,
∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
（2）
∴
5．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，所以，
所以，且，所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，所以，
所以，设，
则，两式相减得，
所以，所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
6．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）得，，①，
①②得 ，
所以，所以，所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
7．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
8．（2019·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
最新模考真题
1.（23·24上·北京·阶段练习）已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?
(3)在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大?
【答案】(1)
(2)第63项
(3)当时，的值最大
【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解；
（2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解；
（3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解.
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为d，
则，又，得，解得，
所以；
（2）设等比数列的公比为q，
则，，所以，，
所以，令，解得.
故是数列的第63项；
（3）由（2）可知，则，
所以
，
令，则，
由于，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，，
所以当时，有最大值且最大值为.
2.（22·23下·泰州·期中）已知数列的首项为1，设，．
(1)若为常数列，求的值；
(2)若为公比为2的等比数列，求的解析式；
(3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．
【答案】(1)(2)(3)能为等差数列，通项公式为
【分析】（1）根据题意，由二项式定理，即可得到，即可得到结果；
（2）根据题意，结合等比数列的定义，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，假设存在，结合倒序相加法即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为为常数列，所以．
，所以．
（2）因为为公比为2的等比数列，．
所以．
所以，故．
（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为d，则
相加得
所以．
所以恒成立，
即，恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．
3.（22·23·全国·专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式；
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为，
所以（倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
4.（23·24上·邢台·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质将表达出来，再利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）因为数列的前项和为，且满足，
当时，，
当时，，
经验证当时，.综上得，.
（2）在和之间插入个数因为成等差数列，
所以，，，，
.
注意到满足上式，则
设，即，
，两式相减，可得：
.所以，
5.（22·23上·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等差数列中的基本量可解得，可求出的通项公式为；
（2）利用裂项求和即可求出数列的前n项和.
【详解】（1）设的公差为，因为，，所以，解得
由等差数列通项公式可得．即的通项公式为
（2）因为，
因此，
所以．即数列的前n项和.
6.在等差数列中，是数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2).
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组，求解首项，公差d即可；
（2）由（1）可得，分别求解n为偶数时和n为奇数时的前n项和即可.
（1）解：设数列的首项为，公差为d，因为，，则，解得，故．
（2）解：由（1）得．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以．
7.已知数列满足，且，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用已知条件推导数列的通项公式，注意分n为奇数，偶数讨论
（2）利用分组求和法求解.
【详解】（1）∵且，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上，．
（2）当n为偶数时，；
当n为奇数时，，∴
8.（23·24上·六盘水·阶段练习）正项数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）确定数列是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.
（2），根据裂项求和法计算得到答案.
【详解】（1）正项数列满足，且，故，，
同理得到，，
则数列是首项为，公差为的等差数列，即，.
（2），
数列的前项和.
9.（23·24上·虹口·阶段练习）数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列.
(1)依次求，，，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)记（n为正整数），求数列的前n项和.
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据题意分别取、，结合等差数列运算求解即可；
（2）根据题意可得，分奇偶项结合累加法运算求解；
（3）由（2）可得，分奇偶项结合裂项相消法法运算求解；
【详解】（1）因为数列，，是公差为的等差数列，且，
令，则数列，，是公差为的等差数列，可得；
令，则数列，，是公差为的等差数列，可得.
（2）因为数列，，是公差为的等差数列，
则，可得，
当为奇数，可得，
且符合上式，所以当为奇数，；当为偶数，可得；
综上所述：.
（3）由（2）可得：当为奇数，可得；
当为偶数，；
综上所述：.
当为偶数，可得
；
当为奇数，可得；
综上所述：.
10.（22·23·海口·模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.
(1)求及的通项公式；
(2)记数列 ，求前项和的.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解；
（2）运用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，，
则，，
因为数列是等差数列，所以，
即，解得，
则，满足，
所以的通项公式为．
（2）由（1）可得，，则，
所以
．
11.（22·23上·镇江·期中）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；
（2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围．
【详解】（1）因为数列的前n项和满足，
当时，，
两式相减得：，即，
当时，，解得：，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
所以
，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，设，
因为，
所以单调递减，则，所以，
所以实数k的取值范围是．
12.（23·24上·甘南·期中）在数列中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；
（2）由，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得.
【详解】（1）解：由，两边同除以，可得，即，
因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，所以，
即数列的通项公式为.
（2）解：由，可得
，
所以数列的前项和为
，
因为，可得，即.
13.（23·24上·嘉兴·模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系分析可得数列是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，可得，
两式相减得，
整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则
，所以．
14.（22·23高二下·湖北·期中）已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求数列的前2n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式；
（2）应用分组、裂项相消法求.
【详解】（1）由时，
又时也满足该等式，故.
（2）由，
则
.
因此.
15.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即
（2）由（1）知：，所以.又，
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 求和基础：公式法
【题型二】 分组求和
【题型三】 倒序求和（三角与组合数型）
【题型四】 错位相消求和（插入数型）
【题型五】 裂项相消求和（常规型）
【题型六】 正负相间求和
【题型七】 分段数列求和
【题型八】 无理根式型裂项相消求和
【题型九】 复杂裂项型：分离常数型
【题型十】 复杂裂项型：分子裂差法
【题型十一】复杂裂项型：指数裂项法
【题型十二】复杂裂项型：等差指数仿写法
【题型十三】正负型：等差裂和法
【题型十四】正负型：等差裂差法
【题型十五】正负型：指数裂和法
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
等差等比求和公式：
等差：前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
等比：前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
分组求和法：
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
倒序求和
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数
错位相减法：
形如an＝，用错位相减法求解．
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
思维结构结构图示如下

求和过程：
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.

正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
无理根式型
一般情况下，无理型裂项相消满足：
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，吧分子次幂降下来
分式型分子裂差法
指数裂项法
等差指数仿写型裂项法
正负型：等差裂和型
正负型：等差裂差型
正负型：等指数裂差型