初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程同步测试题

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1. 数字问题
例．(1)把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(2)把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(3)把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．
【答案】(1)47，53；(2)20， 80；(3)，，，．
【详解】解：(1)设第一个数为x，则第二个数是(100﹣x)，
由题意得：x+3＝100﹣x﹣3，解得x＝47．
所以100﹣x＝100﹣47＝53．
答：拆分成的这两个数分别是47和53．
故答案为：47，53；
(2)设第一个数为y，则第二个数是(100﹣y)，
由题意得：2y＝(100﹣y)÷2，
解得y＝20．
所以100﹣y＝100﹣20＝80．
答：拆分成的这两个数分别是20和80；
故答案为：20，80；
(3)设相等的数为z，则其余数分别为z﹣5，z+5，，5z，
由题意得：z﹣5+z+55z＝100，
解得：z，
则z﹣5，z+5，，5z．
故拆分成的这四个数分别是，，，．
【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．
(1)写出数表所表示的规律；(至少写出4个)
(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)方框里中间数是33
【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10．
(2)解：设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，，
由题意得，
，
，
则方框里中间数是33．
【变式训练2】如图所示的10×5(行×列)的数阵，是由一些连续奇数组成的．
(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；
(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；
(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？
【答案】(1)x+2，x+8，x+10；(2)45，47，53，55
(3)不存在，理由见解析
【解析】(1)解：设第一行第一个数为x，则其余3个数依次为x+2，x+8，x+10；
(2)解：根据题意得：x+x+2+x+8+x+10＝200，解得：x＝45．
则这四个数依次为45，47，53，55．
答：这四个数依次为45，47，53，55；
(3)解：不存在．理由如下：
由题意得x+x+2+x+8+x+10＝296
∴4x+20＝296，解得：x＝69．
∵当x＝69时，这个数在第六行最后一个数的位置，不符合题意
故不存在这样的四个数，它们的和为296．
【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．
(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；
(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；
(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
【答案】(1)5倍，5x；(2)有；(3)不存在5个数之和为2400
【解析】(1)(4+14+24+12+ 16)÷14=5，x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x
(2)符合规律，
设中间数字为x，则上面数字的为x - 10，下面数字为x + 10，左边数字为x- 2，右边数字为x + 2，
即[x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)]÷x=5，
x+(x- 10)+(x+ 10)+(x-2)+(x+2)= 5x∴仍符合规律；
(3)若五个数之和等于2400，则，解得：，
∴十字据中中间的数为480，
由数表可知，数字480位于数表的最边上一列，不可能处于十字框中间，所以不存在5个数之和为2400．
2.配套问题
例．列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒(用含x的代数式表示)？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
【答案】(1)灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒，灌装生产线有12条；
(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．
【解析】(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒，
根据题意，得5200+350×2x=450×2(21-x)+5500，
解这个方程，得：x=12
答：灌装生产线共装(350×2x)瓶啤酒，灌装生产线有12条；
(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，
根据题意，得5200＋350×8y=450×8(21-y)，
解这个方程，得：y=11．
答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．
【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；(用含x的代数式表示)
(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【答案】(1)；(2)40个
【解析】(1)解：按A种方法剪裁的有x张白板纸，
则按B种方法剪裁的有张白板纸，
故答案为：；
(2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．
，
整理得： ， 解得：x＝30，
(30×4+20×2)÷4＝40，
∴最多可以制作40个纸箱.
【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？(本问直接写出结果)
【答案】(1)做上衣用布料180m，则做裤子用布料120m，可以生成120套衣服
(2)最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子
【解析】(1)设做上衣用布料，则做裤子用布料，
由题意得，，解得：，则
可以生产套衣服；
答：用180m布做上衣，120m布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服；
(2)∵做一件上衣用m布，做一条裤子用1m布，
∴一套服装用2.5m布，
∵227÷2.5=，
∴227m布可以做90套衣服余2m，
∵本着不浪费的原则，∴余下的2m布可以做2条裤子，
答：布料227m，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子．
【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务． 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成． 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？
【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品；
(2)至少应招聘40名新工人．
【解析】(1)解：设安排x名工人生产G型装置，则安排(80﹣x)名工人生产H型装置，
根据题意得：，解得：x=32，∴．
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．
(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置
仍设x名工人加工G型装置，(80-x)名工人加工H型装置，
根据题意， ，整理可得， ，
另外，注意到 ，即x≤20，于是，解得：a≥40，
答：至少应招聘40名新工人．
3. 销售利润问题
例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
【解答】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是(500﹣x)元，依题意有
0.9×(1+50%)x+0.9×(1+40%)(500﹣x)﹣500＝157，解得x＝300，
500﹣x＝200．
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．
(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；
(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．
【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为(x+100)元，
依题意得：2(x-150)=x+100-200，
解得：x=200，
∴x+100=300．
答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．
(2)∵300×0.9=270(元)，
∴每个水果篮的活动价为(270-2m)元．
∵每盒坚果礼盒的售价为200元，
∴每盒坚果礼盒的活动价为(200-2m)元．
依题意得：(1250-50)(270-2m)+1200(200-2m)-1250×200-1200×150=(1250×200+1200×150)×20%，
解得：m=10．
答：m的值为10．
【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．
【答案】(1)产品的销售单价为200元，产品的销售单价为100元；(2)50
【解析】(1)解：设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元， ．
依题意得：， 解得：=100，∴+100=200． ．
答：产品的销售单价为200元，产品的销售单价为100元
(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为件，
依题意得：200(1+%)t+100(1+2%)(1-%)t=300(1+)t
设，则原方程可化简为2m2-m=0，
解得：，(不合题意，舍去)， ∴=50．
答：的值为50．
【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
(1)如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
【解答】解：(1)设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯(1000﹣x)只，
由题意，得25x+45(1000﹣x)＝37000，解得：x＝400
购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600(只)
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．
(2)设乙型节能灯需打a折，
0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．
【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．
(1)每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？
(3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”(比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元)．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？
【解答】解：(1)∵甲种服装每件进价500元，售价800元，
∴每件甲种服装利润率为60%．
∵乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．
∴乙种服装每件进价为800(元)，故答案为：60%，800；
(2)设甲种服装进了x件，则乙种服装进了(40﹣x)件，
由题意得，500x+800(40﹣x)＝27500，解得：x＝15．
商场销售完这批服装，共盈利15×(800﹣500)+25×(1200﹣800)＝14500(元)．
答：商场销售完这批服装，共盈利14500元．
(3)设打了y折之后再参加活动．
①3200﹣3×500+20．解得：y＝8.5．
②，解得y＝8(不合题意，舍去)．
③3200，解得y＝5.9(不合题意，舍去)．
答：先打八五折再参加活动．
4. 工程问题
例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？
(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？
【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．
(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．
【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工米，则甲施工小队平均每天施工米．
根据题意得：．
解得：．
所以．
答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．
(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工米；乙施工小队平均每天施工米．
则改进施工技术后，剩余的工程还需：天；
按原施工进度，剩余的工程还需：天．
所以少用的天数为：天．
答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．
【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(列方程解决问题)
(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？
【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为39
(2)一级技工每人每天挣564元，二级技工每人每天挣451元．
【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为x，
由题意得：，解得：，
∴每个房间需要粉刷的墙面面积为39；
(2)∵每个房间需要粉刷的墙面面积为39，
∴一名一级技工一天粉刷的面积为，
一名二级技工一天粉刷的面积为，
∴(元)，(元)，
∴一级技工每人每天挣564(元)，二级技工每人每天挣451(元)．
【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，
(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？
【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元
(2)该工程的实际总投资是25.2亿元
【解析】(1)解：设土建为x亿元，则路面为亿元，设施为(1﹣40%)x亿元，
∴x++(1﹣40%)x＝24，∴x＝10，∴，(1﹣40%)x＝6．
答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元
(2)解：设土建投资增长率为x，则路面投资的增长率是2.5x，设施投资的增长率是2×2.5x＝5x，
预算国拨总投资减少的百分率为x．
国拨总投资：24×(1﹣x)，
该工程的实际各项投资之和是10×(1+x)+8×(1+2.5x)+6×(1+5x)，
∵70%×40×100×6＝16800(万元)＝1.68亿元，
∴24×(1﹣x)+1.68＝10×(1+x)+8×(1+2.5x)+6×(1+5x)，
解得：x＝0.02＝2%
24×(1﹣x)+1.68＝25.2(亿元)
答：该工程的实际总投资是25.2亿元．
5. 行程问题
例．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为)与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点_________．
②甲乙两人相遇_________．
③乙到达终点_________．
(2)AB两地之间的路程为_________千米；
(3)求甲、乙各自的速度；
(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．
【答案】(1)①P；②M；③N；(2)240；(3)甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时
(4)或3.5或
【解析】(1)解：由图象可得，出发2小时，甲乙在途中相遇；出发3小时乙到达A地；6小时甲到达B地；
故答案为：①P；②M；③N；
(2)解：由图象可得，AB两地之间路程为240千米；故答案为：240；
(3)解：甲的速度为：240÷6=40千米/小时，乙的速度为：240÷2-40=80千米/小时，
答：甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时；
(4)解：令甲出发t小时，甲乙相距100千米，由题意，得
相遇前：80t+40t+100=240，解得t=，相遇后：40t-100=80t-240或80(t-2)+40(t-2)=100，
解得t=3.5或t=，故答案为：或3.5或．
【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】(1)100 60；(2)；(3)3，6.3，9.1
【解析】(1)解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；乙车5h的路程为300km，∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
(2)设，由图象可得经过点(9，300)，(12，0)点，
代入得，解得，∴y与x的函数解析式为；
(3)解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得， 当0当5当5.5当8当9综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.1h时，两车之间的距离为120km．
【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．
(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？
(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．
【答案】(1)出租车的费用为元．
(2)甲地到乙地的路程为14公里．
【解析】(1)解：(元)， 答：出租车的费用为元．
(2)解：设甲地到乙地的路程为x公里，当时，
解得： 所以不符合题意舍去，
当时，则
解得：
答：甲地到乙地的路程为14公里．
【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速
行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
(1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
(2)当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
(3)若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
【解答】解：(1)设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得
100t+80t＝480。解得t，答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时
(2)设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．
①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120，解得t＝2
②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120，解得t
答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．
(3)设C地距离B地路程为ykm，由题意可得2.2
解得y＝120，即C地距离B地路程为120km，而A、B两地相距480km，
所以AC＝480﹣120＝360(km)，答：A、C两地的路程为360km．
6. 方案问题
例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你
如何购买门票才能最省钱？
【解答】解：(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080(元)，
则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420(元)；
(2)设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工(102﹣x)人．
依题意得：50x+60×(102﹣x)＝5500，解得：x＝62．
则乙单位人数为：102﹣x＝40．
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
(3)方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400(元)；
方案二：联合购买门票需(50+40)×50＝4500(元)；
方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040(元)；
综上所述：因为5400＞4500＞4040．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双()．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)；
若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)．
(2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
【答案】(1)，；(2)按方案A购买合算；
(3)购买运动棉袜60双时两种方案付款相同．
【解析】(1)解：由题意可知：
按方案A购买，需付款元；
按方案B购买，需付款元；
故答案为：，
(2)解：若x＝40，
则按方案A购买，需付款元；
按方案B购买，需付款元；
∵，
∴按方案A购买合算；
(3)解：令，解得，
∴购买运动棉袜60双时两种方案付款相同．
【变式训练2】某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时．
(1)当时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？
(2)某一天，该企业把吨原材料分配到、两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？
【答案】(1)生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时
(2)分配到生产线的吨数为2吨，分配到生产线的吨数为3吨
【解析】(1)解：当时，
生产线的加工时间为：(小时)，
生产线的加工时间为：(小时)，
答：生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时；
(2)解：设分配到生产线的吨数为吨，则分配到B生产线的吨数为吨，
∵生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时，
∴生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时，
根据题意得：，解得∶ ，
∴，
答：分配到生产线的吨数为2吨，分配到生产线的吨数为3吨．
【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架(书架不少于20只)，现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款(用含a的式子表示)；
(2)在(1)的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
【答案】(1)(70a+2800)，(56a+3360)
(2)购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样
(3)第三种方案(到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架)所付款额最少，最少付款额为8680元．
【解析】(1)解：根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70(a﹣20)=70a+2800
B超市所需的费用为：0.8×(20×210+70a)=56a+3360
故答案为：(70a+2800)，(56a+3360)
(2)解：由题意得：70a+2800=56a+3360，解得：a=40，
答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样．
(3)解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时；
第一种方案：
到A超市购买，付款为：20×210+70(100﹣20)=9800元；
第二种方案：
到B超市购买，付款为：0.8×(20×210+70×100)=8960元；
第三种方案：
到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，
付款为：20×210+70×(100﹣20)×0.8=8680元．
因为8680＜8960＜9800，
所以第三种方案(到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架)所付款额最少，最少付款额为8680元．
课后作业
1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
(1)两人合作需要__________天完成．
(2)李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
【答案】[教材改编](1)2.4；(2)师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
【详解】[教材改编]解：(1)两人合作的天数为：天，
答：两人合作需要2.4天完成；
(2)设两人合作x天，根据题意得：
，解得：，
∴徒弟完成的工作量为，师傅完成的工作量为，
∴两人的工作量相同，
∴师傅和徒弟各分一半，即元，
答：师傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由(1)得：两人合作的时间为2.4天，
徒弟完成工作量的，
师傅完成工作量的，
两人完成工作量相同部分为，
徒弟所得报酬为元，
∴师傅所得报酬为元，
答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点(每处需安装相同长度的排污治理管道)，一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；(不到一天按一天算)．若要使总费用最少，应选择哪种方案？请通过计算说明．
【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米；(2)选择方案二总费用最少，见解析．
【解析】(1)解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，
根据题意得：，解得：．
答：每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．
(2)解：每名甲队工人一天可铺设管道(米)，
每名乙队工人一天可铺设管道(米)．
选择方案一所需时间为：(天)
选择方案一所需费用为：(元)；
选择方案二所需时间为：(天)，实际取19天
选择方案二所需费用为：(元)；
∵，
∴选择方案二总费用最少．
3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)师生总数为247+8＝255(人)，
∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8﹣m)辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8﹣m)辆，
由(2)知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320(8﹣m)＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800(元)，
答：学校租车总费用最少是2800元．
4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：
(1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分．
(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
【答案】(1)2，1；(2)雄鹰队胜11场、负3场；(3)该队长说谎了
【解析】(1)解：根据题意得：“蓝天”负14场，得14分；“前进队”胜10场，负4场，得24分，
∴负一场得分，∴“前进队”胜10场，得分，
∴胜一场得分；故答案为：2，1；
(2)设雄鹰队胜场数是m场，则负场数是(14-m)场，依题意得：
，解得： ，，答：该雄鹰队胜11场；负3场；
(3)设该队场数是x场，则负场数是(14-x)场，依题意得：
，解得： ，
∵x为整数，∴不符合题意，舍去，
∴该队伍在比赛中获得胜场和负场的积分不可能一样多，
故该队长说谎了．
5．假期，某校4位教师和名学生组成的旅游团，准备到某地旅游，甲，乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示若4位游客全额收费，则给予其余游客七折优惠；乙旅行社表示若游客5人以上(含5人)可给予每位游客八折优惠．
(1)若有10名学生参加旅游团，这个旅游团选择甲旅行社的总费用是_____________元，选择乙旅行社的总费用是_____________元，选择_____________旅行社更省钱．
(2)根据学生人数，该旅游团选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？
【答案】(1)2200，2240，甲
(2)学生人数8人时，选择甲，乙旅行社费用一样；学生人数小于8人时(或时)，选择乙旅行社费用较少；学生人数大于8人时，选择甲旅行社费用较少
【解析】(1)解：选择甲旅行社的总费用是元，
选择乙旅行社的总费用是元，
∵2200<2240,∴选择甲旅行社更省钱，
故答案为：2200，2240，甲；
(2)解：设学生总人数为，
选择甲旅行社的费用为：，
选择乙旅行社的费用为：，
当时，；
当时，不等式解为；
当时，不等式解为；
∴学生人数8人时，选择甲，乙旅行社费用一样；学生人数小于8人时(或时)，选择乙旅行社费用较少；学生人数大于8人时，选择甲旅行社费用较少．
6．材料一：对于任意一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值的3倍，则称这个四位数为“好运数”．例如：，因为，所以是“好运数”．
材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，
规定：F(m)＝m﹣m'，例如：F(2146)＝2146﹣2416＝﹣270．
(1)判断，是否为“好运数”，并说明理由；
(2)“好运数”的千位上的数字是十位上的数字的2倍，个位上的数字是1，求的最大值．
【答案】(1)是“好运数”，不是“好运数”，理由见解析；(2)270
【解析】(1)解：， 是“好运数”；
，
不是“好运数”；
(2)设，(，且)，
为“好运数”，，是3的倍数，
又且，∴，
∴，或4或 (舍)， 或4，
当时，， 或0，∴n=2211或，
或；
当时，，或1，∴n=8741或，
或，
故的最大值为270．
7．如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：50千米平直公路，20千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车前往B地，乙从B地骑摩托车前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时,平直公路的速度为120千米/小时；摩托车下坡的速度为80千米/小时，平直公路的速度为60千米/小时；甲、乙两人同时出发．
(1)求甲从A到B地所需要的时间．
(2)求乙从B到C地所需要的时间.
(3)求两人出发后经过多少时间相遇？
【答案】(1)甲从A到B地所需要的时间为小时；(2)乙从B地道C地所需要的时间是小时
(3)两人出发后经过小时相遇
【解析】(1)解：甲在AC段所需时间为：小时，
甲在CD所需时间为：小时，
甲在DB段所需时间为： 小时，
所以甲从A到B地所需要的时间为小时．(47分钟也可以)
答：甲从A到B地所需要的时间为小时．
(2)解：乙在BD段所需时间为： 小时，
乙在DC段所需时间为：小时，
乙从B地道C地所需要的时间是小时．
(3)解：∵甲在AC段所需时间为，
∴甲乙会在段相遇，而且乙先进入DC段，
∴同时出发，设经x小时，两人相遇，
则 ，
解得 ，
答：两人出发后经过小时相遇．
8．如图是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？
(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，(1)中的关系还成立吗？
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．
【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍
(2)改变位置，关系不变
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变，理由见详解
(4)这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律
(5)方框中对角两数之和相等
【解析】(1)9个数之和为：3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
99÷11＝9，
则方框中9个数之和为方框正中心的9倍；
(2)移动位置，9个数字之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144，
144÷16＝9，
所以改变位置，关系不变；
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变．
设正中心的数为x，
则9个数之和为：(x﹣8)+(x﹣7)+(x﹣6)+(x﹣1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)＝9x，
9x÷x＝9，
故移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍．
(4)
这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律；
(5)12+19＝13+18＝31，则方框中对角两数之和相等．
进价(元/只)
售价(元/只)
甲型
25
30
乙型
45
60
出租车
起步价：14元
里程费：超过3公里的部分
2.4元/公里
(不足1公里按1公里计)
滴滴快车
起步价：12元
里程费：2.5元/公里
时长费：0.4元/分钟
(滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时)
数量(张)
1﹣50
51﹣100
101张及以上
单价(元/张)
60元
50元
40元
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
恒大
14
4
10
18
蓝天
14
0
14
14