初中19.4 综合与实践 多边形的镶嵌教学设计

这是一份初中19.4 综合与实践 多边形的镶嵌教学设计，共6页。


教材地位、作用分析
《镶嵌》作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.第十一章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外角和公式.通过课题学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力.苏霍姆林斯基说过:“ 手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子”.课题学习可以弥补数学学科实践能力的不足，促进学生兴趣、个性、特长等自主、和谐的发展.课题学习解放了学生的头脑、眼睛、嘴巴，留给学生一定的时间与空间，在培养学生的综合素质方面有着十分重要的地位和作用.它虽是一个新课题，但已显现出勃勃的生机.课题学习是以学生为主体的探索性解决问题的活动，它在呈现形式上绝不是单纯的户外活动，它可以表现为课堂内的经历探索；也可以表现为课内外相结合；还可以是完全置身于社会这个大环境下的调查活动.课题学习活动中的每个环节都是彼此相连的，应该紧紧围绕一个主题展开.
学情分析
针对八年级的学生，他们多以兴趣为主，实践经验少.受传统教学模式的影响，学生缺乏主动学习的能力，知识来源于生活，更服务于生活，学生在生活中综合运用知识的能力有待于提高、重在培养学生学会利用身边的资源来观察、研究、运用各种手段来收集和处理信息的学习方法.这个学习过程体现让学生从生活中学数学、让学生感受到生活中的数学美，引发和激活学生的创作欲望，让数学再次回归生活，使学生走出课本课堂进入生活实践，进入一个更加广阔的思考空间.
教学目标
1.知识与技能
⑴通过探究正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，以及多种正多边形能铺满地面的理由，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.
⑵发展合情推理的能力，运用数学知识解决问题的能力(形成解决问题的策略).
2.过程与方法:剪一些多边形进行拼接，通过具体操作、归纳总结得出多边形能铺满地面的条件.
3.情感态度价值观:通过合作学习，动手实验，提高学生的学习热情，感受学习的乐趣.
通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.通过展示平面镶嵌的图形，让学生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用，培养学生进一步学习数学的热情.
教学重点:理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律.
教学难点:通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律.
本节课将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点.
教 法：本节课采用“观察—实践—-自主探究—合作探究”的方法.
学 法：指导学生学会观察事物，善于把握事物规律与本质的学习方法.通过自主探究、合作探究的学习方式，完成预期的学习任务，体验数学知识中数形结合的思想方法.
课前准备：
教师：1.正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形；2.镶嵌课件(搜集古今中外镶嵌实物图片)；
学生：1.正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形；2.搜集、了解相关镶嵌知识.
教学过程设计
问题与情境
师生主要语言及行为
设计意图
我们身边的镶嵌
感悟镶嵌定义
探究1：正多边形的自镶嵌
探究2：两种正多边形的组合镶嵌
1、用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏
提问学生这些图案有什么共同特征？让同学们分组讨论、交流.
共同特征：①这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;
②这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;
③这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠.
2、引入本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念
归纳:这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片”，这就是数学上“平面图形的镶嵌”，又称做“平面图形的密铺”.这节课，我们一起来进行课题学习“平面图形的镶嵌”.
多媒体投影本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念:
教师引导学生叙述镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，这叫做平面图形的镶嵌，或平面图形的密铺.
3、 让学生举出一些生活中身边的镶嵌图案
在我们生活中，有许多图案是“平面图形的镶嵌”.不知同学们是否曾留意过身边的一些镶嵌图案？你能举出你身边的镶嵌图案吗？让同学们议论.
如:家里的地板图案,,人行道上地砖铺成的图案,一些房间里墙纸上的花纹图案, ……
拼接纸片，探索镶嵌条件
（1）用正三角形、正方形、正六边形硬纸片模拟铺地面砖
近年来，随着社会经济的不断发展，人民生活水平的不断提高，往房条件越来越好.用室内装饰的事例导入.
请两位同学在黑板上分别用正方形、正六边形硬纸片和双面胶拼接图形,彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片（如图）,其他同学分组同步拼接, 老师在一旁指导.
师：同学们课后已经探究了用一种正多边形进行镶嵌的问题，你们做出了哪些正多边形的镶嵌？
生：正三、四、六边形可以进行自镶嵌.学生展示自己的拼图，如下图所示：
师：在镶嵌中同学们一定也尝试了用其它正多边形进行自镶嵌，结果怎么样？
生：通过拼图，发现只有正三、四、六边形可以进行镶嵌，其它的都不能进行镶嵌.
师：那是不是只有这三种正多边形可以进行自镶嵌？正五边形可以进行镶嵌吗？正多边形进行自镶嵌需要满足什么条件呢？
学生展开讨论，探究正多边形进行自镶嵌的条件，发现能进行自镶嵌的三种正多边形的每个内角都是360°的约数.
教师对学生的发现给予赞许，指出这正是多边形进行镶嵌的条件:由一种正多边形镶嵌的条件是这种正多边形的一个内角的整数倍为360°
教师引导学生如何说明只有正三、四、六边形可以进行自镶嵌.
师：正边形的每一个内角是多少度呢？
生：正边形的每一个内角等于×180°.
师：如果用个正边形可以进行自镶嵌，需满足什么条件？
生：×180°＝360°，但这个方程我们不会解.
师：下面我们来探究其解法（板演）：
∵n≥3且为正整数，∴ ＝3，k＝6；n＝4，k＝4；n＝6，k＝3.
师：同学们通过动手操作、实验探究发现了只有正三、四、六边形可以进行自镶嵌，那么如果选择两种正多边形进行镶嵌可以有哪些组合呢？
（2） 用两种正多边形进行镶嵌
学生在课后进行拼图实验中，然后通过展示交流得到下面的一些图案：

师：这些组合镶嵌在各多边形的拼接点处各内角的和有什么特征？
生：拼接点处各内角的和为360°.
通过展示图片，让学生体会镶嵌的现实意义，通过大量的实例使学生在头脑中初步形成镶嵌的概念.
对学生镶嵌图案的展示，使学生感受到成功的喜悦并受到美的熏陶
感悟镶嵌的定义.
让学生课前完成正多边形的自镶嵌的拼图，这样节省下时间更多的探究镶嵌的条件.
引导学生由拼图得到的感性认识，思考正多边形进行自镶嵌的条件，寻求解决问题的方法.
由学生通过拼图，猜想，概括出平面镶嵌的初步原则.
探究正五边形为什么不能镶嵌是本节课的一个难点，为了能有效的解决学生的困惑，我给每个小组提供了主题明确，针对性强的实验报告，引导学生从360°与正多边形每个内角的度数的整除关系上探究
恰当地设计问题，使学生的认识由感性上升到理性，培养学生的合情推理能力，领会镶嵌的原理，进一步培养学生的思维能力，发挥教师的引导者和合作者的作用.
问题与情境
师生主要语言及行为
设计意图
探究2：两种正多边形的组合镶嵌
师：这正是多边形进行镶嵌必须要满足的条件：拼接点处各内角的和为360°
师：应用刚才学过的镶嵌的数学原理，请同学们思考：
用几个正三角形与正六边形可以进行平面镶嵌？
师生共同分析：设在一个顶点周周围有m 个正三角形，n个正六边形的角，则要镶嵌成一个平面，有
60°m＋120°n＝360°解得记作(3，3，3，3，6)与(3，3，6，6).
学生根据上面的解又拼出右图.
师：用正四边形和正八边形能否进行镶嵌？
学生通过计算90°m＋135°n＝360°，得到，确定一个正四边形和两个正八边形可以镶嵌，然后在小组合作中完成拼图：
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学生根据实验报告单的内容通过计算后拼图，又发现(3，12，12)：

学生填写实验报告单上的相应内容.
师：我们刚才通过研究用正多边形进行镶嵌，知道了镶嵌的条件是在拼接点处各内角的和等于360°.那用一般三角形和四边形能否进行自镶嵌吗？
通过亲自动手操作，让学生体验镶嵌的过程，品尝成功的乐趣.
引导学生通过探究得出镶嵌的最终条件.
用镶嵌原理作为依据，探究多种组合镶嵌，体会理论来源于实践，用理论又能指导实践的研究问题方法.
应用平面镶嵌的原理，训练学生分析问题、解决问题，自主探究学习的能力.
问题与情境
师生主要语言及行为
设计意图
探究3：任意三角形和四边形的镶嵌
拓展与延伸
回顾
反思
布置
作业
（2） 用一般多边形进行镶嵌
学生讨论后认为三角形内角和为180°，四边形的内角和为360°，所以任意三角形，任意四边形可以进行自镶嵌.
师：请同学们在镶嵌实验室中拼拼看.
学生在镶嵌实验室中拼出下图：

师：请同学们课下设计用三种正多边形进行镶嵌的方案.
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？
⑴ 多边形能覆盖平面应满足的条件:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
⑵只用一种多边形进行平面镶嵌能够做到的有：任意三角形、任意四边形、正六边形；
2.你还有哪些收获？
巩固学习本章获得的一些研究方法，丰富自己研究策略和经验，并从中加深理解本章的数学知识.
作业：
下面给出两个课题（每位同学从两个中任选一个）
1.收集生活中的各种镶嵌地板、地砖、墙壁、墙纸的图案，
把他们复制下来与同学交流，并研究他们的构成和拼接方法。
2.请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案：
（1）只用一种正多边形；
（2）同时用两种正多边形；
（3）用一种非正多边形。
探究一般三角形和四边形自镶嵌的问题.
让学生在动手实验活动中去探究任意三角形、任意四边形，并通过数学实验的方法发现多边形镶嵌的条件镶嵌的条件
继续探究活动，巩固镶嵌原理，体会探究方法.
本环节由学生畅所欲言，谈本节课的收获与困惑，以及遇到问题时的解决方法.使学生养成反思学习过程的习惯，培养学生的概括归纳能力和评议表达能力.
本环节意在激发学生迫不及待的运用所学知识创作的欲望，从而进一步提高学生分析和解决问题的能力.让数学再次回归生活，服务生活.作业的分层布置，体现了“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的学生在数学上得到不同的发展”.