初中数学沪科版八年级下册19.4 综合与实践 多边形的镶嵌课后测评

19.4综合与实践 多边形的镶嵌

（限时60分钟    满分120分）

一、选择（本题共计6小题，每题5分，共计30分）

1．能够铺满地面的正多边形组合是(　　)

A．正五边形和正方形 B．正八边形和正方形

C．正六边形和正方形 D．正十边形和正方形

2．正方形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，不能够铺满地面的是（　　）

A．正三角形 B．正六边形

C．正八边形 D．正三角形和正六边形

3．用三块正多边形的木块铺地，拼在一起后，相交于一点的各边完全吻合，设其边数为4，6，m，则m的值是（　　）

A．3 B．5 C．8 D．12

4．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形，则m,n满足的关系式是(　　)

A．2m+2n=12 B．m+n=8 C．2m+n D．m+2n=6

5．某市为了迎接世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能使用的是（　　）  

A． B．

C． D．

6．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（　　） 

A．102个 B．114个 C．126个 D．138个

二、填空（本题共计5小题，每空5分，共计35分）

7．用边长相等的正三角形与正方形能够密铺，设在一个顶点周围有x个正三角形的角，有y个正方形的角，则x=　     　，y=　     　 ．

8．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有　     　 ．（只填序号 ）

9．设在一个顶点周围有a个正四边形，b个正八边形，进行平面镶嵌，则a=　     　 ，b=　     　 ．

10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个正六边形和正十二边形，则第三个多边形的边数是　     　.

11．用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为　     　．

三、解答（本题共计6小题，共55分）

12．（5分）正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．

13．（10分）如图，它是地板厂家加工地板时剩的边角余料，问用同一种任意四边形的木板可以进行镶嵌吗？请说明理由．

14．（10分）试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．

15．（10分）一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，同时使用这两种图形能否铺满平面？若能，请设计一个图案；若不能，请说明理由．

16．（10分）①用同一种特殊的多边形（如三个角都相等的等边三角，四个角都相等的正方形等）能否铺满平面？有哪几种情况？

②用同一种一般四边形能否铺满平面？说明理由．

17．（10分） 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.

试想：如果用正六边形镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕        个正六边形内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
，整理得：，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ． 
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

答案部分

1．B

2．B

3．D

4．D

5．C

6．B

7．3；2

8．①②④

9．1；2

10．4

11．6

12．解：不能．

∵正八边形每个内角是=135°，不能整除360°，

∴不能密铺．

13．解：能进行镶嵌；

理由：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．

而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，

故能进行镶嵌．

14．解：如图，在大小是8×8的正方形地面上画出64个小方格，并按如图所示的方法涂上黑，白两种颜色，黑，白小方格各有32个，每一横行或每一纵行都分别有4个黑方格和4个白方格，用一块大小是4×1的矩形地砖无论铺在横行，还是纵行上，总是盖住2个黑方格和2个白方格，铺下15块后，共能盖住30个黑方格和30个白方格，地面上，一定剩下2个黑方格和2个白方格必须用2×2的正方形地砖，但从图中可以发现，2×2的正方形地砖无论铺在地面上的什么位置，都不能盖住2个黑方格和2个白方格，盖住的方格是3黑1白或1黑3白，因此不能恰好铺盖成功．

15．解：如图所示：一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，不能同时使用这两种图形能否铺满平面，

因为只有梯形上底等于腰长，下底等于上底的2倍，才能同时使用这两种图形能否铺满平面．

16．【解答】①用同一种正多边形镶嵌，能铺满平面，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，有三种情况；

②用同一种一般四边形能铺满平面；理由：

由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．

而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°即可，故能铺满平面．

17．解：3个；
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
．
整理得：，
可以找到两组适合方程的正整数解为和．
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．5分
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？·
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：
，
整理得：，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为.
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.