全册综合复习训练

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全册综合复习训练2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．1.已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是(    )A．， B．， C．， D．，2．已知函数，若，使得成立，则实数k的最大值是（    ）A． B． C． D．3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺4．关于函数说法正确的是（    ）A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值5．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（    ）A． B．，C． D．，6．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．1607．等比数列的前项和为，则（    ）A．-10 B．-16 C．-22 D．-88．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（    ）A．当时，有极小值 B．当时，有极大值C．当时，有极小值 D．当时，有极大值9．已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（    ）A．－9 B．0 C．9 D．无法确定10．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．11．已知函数，则在处的切线方程为（    ）A． B． C． D． 12．已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（    ）A．8 B．﹣8 C．±8 D．13．等差数列，前项和为，，，是方程的两根，则满足的的最大正整数为（    ）A．4023 B．4024 C．4025 D．402614．函数，下列对函数的性质描述正确的是（    ）A．函数的图象关于点对称B．若，则函数f（x）有极值点C．若，函数在区间单调递减D．若函数有且只有3个零点，则a的取值范围是15．直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么为A．从时刻到时，物体的平均速度B．从时刻到时位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度D．该物体在时刻的瞬时速度二、填空题16．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．17．已知是函数的导函数，则______________.18．已知前项和为的等差数列（公差不为0）满足仍是等差数列，则通项公式___________.19．若等差数列的前n项和为，，则___________.20．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.三、解答题21．已知数列的各项均为正数，前项和为，且．（1）求证：为等差数列；（2）设，求数列的前项和．22．已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）求证：.23．已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.24．已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值.25．已知函数.（1）若在时，有极值，求的值；（2）在直线上是否存在点，使得过点至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.参考答案：1．D【分析】把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数f(x)的零点，故利用导数研究其f(x)单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.【详解】∵，，∴，，∴令，则f()＝f()＝0，即和是函数f(x)的零点，∵，故f(x)最多有一个零点，∴，∴，∴﹒又∵，，∴1＜＜2，∴，，∴.故选：D.2．D【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最值，求k的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，使成立，令且，则，∴当时，则递增；当时，则递减；∴，故即可.故选：D.3．D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为.故选：D4．A【分析】对函数求导，利用导数求解函数的最值即可【详解】解：函数的定义域为，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，没有最小值，故选：A5．D【分析】由图象可知当或时，，求出即可求解.【详解】由图象，当或时，，即，则函数的单调递增区间为；故选：D.6．C【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.故选：C.7．A【解析】首先利用等比数列的前项和，求公比和首项，再求.【详解】根据题意，等比数列中，若，则，由，则，得，解得，又由，则有，解得，所以，有.故选：A8．B【解析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.【详解】小盒子的容积为，所以，令得，或舍去，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时有极大值为144.故选：B.9．B【解析】由得出，代入可得答案.【详解】设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，即，可得，所以.故选：B.10．D【分析】先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值．【详解】因为函数，所以，则函数关于点对称，所以，故对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，则函数在上单调递增，所以对任意恒成立，令，则，所以对任意恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，则实数的最小值为．故选：．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.11．D【解析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.【详解】解： ，求导得：， ，又，在处的切线方程为，即.故选：D.12．A【解析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有，，解之可得，，.故选：A.13．B【解析】根据题中条件，先得到，，由等差数列的单调性，判定，，结合等差数列的性质，以及求和公式，计算和，即可得出结果.【详解】∵等差数列，首项，，是方程的两根，∴，，因为等差数列首项为正，和一正一负，因此公差必不为零，若公差大于零，则，都为正数，不满足题意，所以公差小于零；∴，，所以，满足的的最大正整数为为4024.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，判定，的符号，根据题中条件，由韦达定理，以及等差数列的性质，判断出，，即可根据等差数列的性质求解.14．AD【分析】利用函数的对称性即可判断选项A是否正确；对函数求导，分别就和进行讨论，即可判断选项B、C是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a的取值范围，由此即可判断选项D是否正确．【详解】对于选项A，因为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；对于选项B，由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故选项B错误；对于选项C，当时，由，解得． 又∵时，，所以函数在区间单调递增，故选项C错误；对于选项D，由， 当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得． 又∵时，，时，，时，，∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为， ∴函数的极小值和极大值． ∵函数有三个不同的零点， ∴，即 ， 解得，故选项D正确．故选：AD.【点睛】方法点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．15．D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.【点睛】本题考查变化率的定义，涉及导数的定义，属于基础题．16．【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可【详解】设 ,又有成立，函数，即是上的增函数．，，即,，故答案为：．17．8【分析】求出导函数，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以.故答案为：8.18．【分析】根据是等差数列列方程，求得数列的公差，由此求得.【详解】设公差为，则，或，而不合题意，故.故答案为：19．2021【解析】在等差数列中，根据，利用“”求解.【详解】在等差数列中，，所以，解得，所以，所以，故答案为：202120．【解析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.【详解】由得或，在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，，，∴，又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.21．（1）证明见解析；（2）()．【分析】（1）当时，，得，当时，，整理得，根据数列的各项均为正数，可得，从而证明为等差数列；（2）根据，分为奇数和偶数两种情况讨论，结合奇偶并项即可求解.【详解】（1）证明：当时，，又数列各项均为正数，则，当时，，则，化简得，即，∵数列各项均为正数，，∴数列为首项是，公差为的等差数列，∴；（2）解：由（1）可知：，当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，()．22．（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，由的正负确定单调性，极值，从而得最小值．（2）引入新函数，求导函数，由的单调性（再用导数判断）结合零点存在定理得存在零点，也是的最小值点，同时得出的性质，然后求出，再根据的范围证明（注意引入新函数）．【详解】（1）因为，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以（2）证明：要证，只需证明：对于恒成立，令，则，当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数又因为，所以存在使得由得即即即所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以，令，则所以在上单调递增，所以，所以，所以，即．【点睛】方法点睛：本题考查主函数的最值，证明不等式成立．本题证明不等式成立可变形为求函数的最小值大于0，引入新函数，利用导数确定单调性，极值点（最值点），由于这个极值点不能直接求出，可用零点存在定理确定其范围，然后得出这个零点的性质，便于化简最小值，再根据的范围，证明即可．23．（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）当时，对进行求导得，再对 进行分类讨论，判断的符号，进而判断的单调性；（2）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，令，对其求导得，再令，分析的单调性，进而得出的取值范围.【详解】（1）的定义域是，当时，， 当时，所以在上单调递增. 当，令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减. 因此，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，对任意的，不等式恒成立，即对任意的，恒成立. 令，则对任意的，不等式恒成立，.令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，有最小值.若，即，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，有最小值，因为，所以不等式恒成立；若，即，有，与矛盾. 因此，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：（1）利用导数判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑参数的取值范围，还要结合函数的定义域或所给区间来确定导数的符号，否则会产生错误判断；（2）对于恒成立问题，常用到以下两个结论：恒成立⇔ ；恒成立⇔ .24．（1）；（2）增区间为，减区间为；（3）.【分析】（1）当时，求得，得到，即可求得切线的方程；（2）当时，求得，令，得到，结合，再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；（3）由题意得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当时，函数，可得，则，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，函数，可得，令，则，所以函数在上单调递增，又由，则令，可得，所以函数在上单调递增，令，可得，所以函数在上单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由，得在上恒成立，设，则，由，解得，（其中）， 随着变化，与的变化情况如下表所示：    所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数的最小值为.由题意得，即 .设，则.因为当时，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.所以当，，即，时，有最大值为.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．25．（1）（2）不存在，详见解析【解析】（1）求得，根据函数在取得极值，即可求解；（2）不妨设点，设过点与相切的直线为，切点为，求得切线方程，根据直线过，转化为，设函数，转化为在区间上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，由在时，有极值，可得，解得.经检验，时，有极值.综上可得.（2）不妨设在直线上存在一点，设过点与相切的直线为，切点为，则切线方程为，又直线过，有，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以至多有一个解，过点与相切的直线至多有一条，故在直线上不存在点，使得过至少有两条直线与曲线相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．0↘极小值↗