高中数学5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）
A．(0，1)B．(1，2)
C．(2，3)D．(0，1)(2，3)
2．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
3．四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
4．若正项数列满足，，设，，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．对任意的正整数n，恒有B．对任意的正整数n，恒有
C．对任意的正整数n，恒有D．对任意的正整数n，恒有
5．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数（a、b为正数）的严格减区间是（ ）．
A．B．与
C．与D．
10．已知，有下列两个结论；
①存在在第一象限，在第三象限；
②存在在第二象限，在第四象限；
则（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
11．若函数在处取得极大值，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
13．为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知是的导数，且的图象如图所示，则下列关于说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是增函数
C．在上是增函数D．在上是减函数
15．函数可导，“函数在点处的导数值为0”是“函数在点处取极值”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
二、填空题
16．若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为________．
17．写出函数的严格增区间：____________．
18．已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点，则函数的极小值为__________．
三、解答题
19．已知函数．讨论函数的单调性；
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有个不等实根，求证：.
21．已知函数（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；
22．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方的生产需要占用甲方资源，因此乙方必须向甲方补偿一定的经济损失．设乙方每生产一吨产品必须支付甲方s（元）（以下称为补偿价格）．在乙方不补偿甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足的函数关系为．
(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在补偿中获得最大净收入，应向乙方要求的补偿价格s是多少？
四、双空题
23．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接.某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米的峡谷拐入宽为8米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E，F的连线恰好经过拐角内侧顶点0（点E，O，F在同一水平面内），设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则EF的长为___________（用表示）米.要使输气管EF顺利通过拐角，其长度不能少于___________米.
24．已知函数，（）．
（1）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是______；
（2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．
【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．
故选：B．
2．D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
3．C
【分析】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，则，四棱锥的体积为，设，利用导数研究函数的单调性可求得答案．
【详解】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，
则，且正方形ABCD的面积为，
四棱锥的体积为，
设，，则，
于是时，，单调递增；时，，单调递减，
从而，于是．
故选：C.
4．C
【分析】构造，求导后得到单调性和极值，最值情况，故而得到，推出，A错误；举出反例可得B错误；得到，累加法得到，从而得到，D错误，C正确.
【详解】设函数，则，
可得在上严格递减，在上严格递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故.
又，则.
因为，即，所以排除B；
因为，故当时，，此时排除A；
因为，即，
所以，得，即，
所以排除D，
故选：C.
【点睛】数列是一种特殊的函数，即定义域为正整数集的函数，故除利用通项公式，求和公式外还可利用函数，导函数的知识点来处理数列问题.
5．A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：A.
6．A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
7．B
【分析】由题意可知A，B两点的坐标为，，则，令，利用导数研究函数的单调性即可求出最小值.
【详解】解：由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，
则，
设，，则，
由，得；，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
故选：B．
8．C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
9．C
【分析】由题得，再利用导数求出函数的单调递减区间得解.
【详解】解：由题得.
由，令解得或．
所以函数的严格减区间是与.
选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.
故选：C
10．D
【分析】换元、结合导数证明单调性和二次函数的性质即可求解.
【详解】因为，
所以
令，，则，整理得，且方程有解
有
作函数图像
则由图像可知存在，有
所以当时，恒成立，则，,
因此一正一负
说明当在第二象限时，在四个象限均可，
当时，成立
此时，
因此皆为负
说明当在第一象限时，在只能在第二象限或第四象限
综上所述：①错②对
故选：D.
11．C
【分析】根据题意结合导数与极值的关系求
【详解】，则，
由题意可得，解得，经检验符合题意.
故选：C
12．C
【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若在上单调递增，则恒成立，即，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件
故选:.
13．B
【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.
【详解】导数正负决定函数的增减，
根据导数先正，后负，后正，
所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，
再根据导数的几何意义是切线斜率，
所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，
所以应选B，不选C.
故选：B.
14．D
【分析】结合图象求出函数的单调区间即可．
【详解】解：结合图象：时，，故，
时，，故，
时，，故，
时，，故，
故在递增，在递减，在递增，在递减；
故选：D．
15．B
【分析】举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果.
【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.
对于函数，，虽然，但是由于无论还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.
一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在该点处取极值的必要条件，而非充分条件.
故选：B.
16．##0.75
【分析】不等式化为恒成立，由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．
【详解】原不等式化为恒成立，
由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何影响，
，当且仅当时等号成立，
设，则，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
所以的最小值是1，
所以的最小值是，
从而，的最大值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分别求出其最小值后得出结论．
17．，
【分析】由题意,根据，求解即可.
【详解】由题意，解得，，
故函数的严格增区间为，.
故答案为：，.
18．
【分析】首先求出函数的导数与，即可求出切线方程，又切线过点，代入求出参数的值，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极小值.
【详解】解：因为，所以，即切点，
又，，
所以切线为，又切线过点，
∴，解得，
所以，则，
所以当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即．
故答案为：
19．答案见解析
【分析】先求导函数，讨论的范围，分求不等式和的解集，写出单调区间即可．
【详解】因为定义域为，
所以，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，
函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
20．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性；
（2）根据（1）中的单调性可求得的极值，进而确定的图象，采用数形结合的方式可求得的范围，根据范围可知只需证明即可；为此可构造函数，利用导数可求得的单调性，得到，代入，结合函数单调性可证得，由此可得结论.
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知：极小值为，极大值为，
又当时，恒成立，可得图象如下图所示，
若有三个不等实根，则与有三个不同交点，
由图象可知：，，，
设，
则，
当时，，，，，，
在上单调递减，，
，又，，
又，，
，，在上单调递减，，即，
又，.
21．答案见解析
【分析】先求得，结合和讨论的正负，进而求解.
【详解】函数 的定义域为 ，则.
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.
22．(1)， 吨
(2)元/吨
【分析】（1）由已知中赔付价格为元/吨, 所以乙方的实际年利润为. 我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量
（2）由已知得, 若甲方净收入为元, 则. 再由 . 我们可以得 到甲方净收入与赔付价格 之间的函数关系式, 利用导数法, 我们易求出答案.
【详解】（1）由题意得．因为，所以当时，w取最大值，即乙方获得最大利润时的年产量为吨．
（2）设甲方净收入为u元，则．
由，可知当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，u取最大值．因此甲方应向乙方要求的补偿价格元/吨时能获得最大净收入．
23．
【分析】过O分别作，，有，在直角三角形中分别求出、关于的表达式，进而可得，利用导数研究的最值即得.
【详解】如图所示，过O分别作，，垂足分别为A，B，则，
在中，，则，同理可得，
∴.
令，则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，.
∴当时，取得极小值，也是最小值.则.
所以要使输气管EF顺利通过拐角，其长度不能少于米.
故答案为：；.
24．
【分析】（1）根据题意转化为导函数在有解，参变分离，设，只需即可得解；
（2）由题意可得在上恒成立，参变分离可得恒成立，设，只需即可得解.
【详解】（1）由题知，，所以．由在上存在单调递减区间，可得当时，有解，即有解．设（），所以只要即可．而，所以．因为，所以或．
（2）由在上单调递减，得当时，恒成立，即恒成立．
设，，所以，
又，，所以，
所以（此时）．因为，所以或．
故答案为：，.