高中人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

这是一份高中人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用一课一练，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数 的定义域为，且满足，在 处取极值，则下列说法中正确的是 （ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在处取极小值D．的最大值为4
2．已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．B．C．D．
6．“函数在区间上单调递增”的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）

A．是函数的极大值B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增D．的零点是和
8．已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．2B．6C．2或6D．或6
二、多选题
9．已知函数， 则（ ）
A． 存在唯一的极值点
B． 存在唯一的零点
C．直线与的图像相切
D．若， 则
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是增函数，无极值
B．是减函数，无极值
C．的单调递增区间为，，单调递减区间为
D．是极大值，是极小值
11．如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（ ）

A．正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍
B．存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等
C．正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大
D．当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点
12．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．仅有两个极值点
B．有两个极大值点
C．是函数的极大值点
D．是函数的极大值点
三、填空题
13．已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为 ．
①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；
③；④若存在，使得，则．
14．若函数的极大值为11，则的极小值为 ．
15．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ．
16．如图，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；若点为线段的中点，点为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 .
四、解答题
17．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
18．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
20．设函数，其中，e是自然对数的底数．
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若是非负实数，且函数在上有唯一零点，求的值．
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，证明：（其中e是自然对数的底数）
参考答案：
1．C
【分析】由已知可得，得到，根据，求得的值，进而确定的关系式，结合函数奇偶性的定义，可判定AB错误；根据的正负确定的单调性，利用极小值的定义，可判定C正确；利用换元法，结合二次函数的图象与性质求得，可判定D错误.
【详解】因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为在处极值，所以，解得，
所以，
所以且，
所以不是奇函数也不是偶函数，所以A、B错误；
对于C中，由B知，，
令，解得或，
则当时，；当时，，
所以在处取得极小值，所以C正确；
对于D中，令，则，
因为，所以，
所以，所以D错误.
故选：C.
2．C
【分析】设，求出导数后可设，再求新函数的导数，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】设，
故，设，
则，
令，则，
故在上为减函数，故，
当时，，故，
故在上为减函数，故，
所以，故在上为减函数，
故即.
若，则，，
故存在，使得，且，，
所以，，故在为增函数，故.
所以，，故在为增函数，故.
这与题设矛盾.
综上，.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．B
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为，再利用奇偶性和单调性求解即可.
【详解】的定义域为，，
为偶函数，
，，
当时，，，，，
在单调递增，
，
即，
即，也就是，
在单调递增且为偶函数，
在单调递减，
，即，解得.
实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出为偶函数和在上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为，再由单调性求解.
4．C
【分析】由题意可推出方程有实根，分离参数即方程有实根．由此构造函数，利用导数求出其最值，即可求得答案.
【详解】由，得，
因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根，
即方程有实根．
设，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0，
所以，
则a的最大值为，
故选：C．
5．A
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.
【详解】易知函数的定义域是，
由题意，，
当或时，；当或时，，
在和上单调递增，在和上单调递减，
极大值点是，极小值点是．
故选：A.
6．C
【分析】利用导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】，定义域为，
，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增”的充要条件是，
故选：C.
7．B
【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】因为，
由图可知：，；或，；
且或，；，；
可得或，；，；
且函数为连续可导函数，
则在内单调递减，在内单调递增，
可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确；
由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；
故选：B.
8．B
【分析】求出函数的导数，根据函数在处取得极大值，可得，即可求出c的值，验证后即可确定答案.
【详解】由，可得，
因为函数在处取得极大值，
，解得，或，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取极小值，不符合题意；
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故函数在处取极大值，符合题意，
故选：B
9．BCD
【分析】求得，令，根据的单调性，求得，可判定A错误；结合在上递增，且，可判定B正确；令，求得切点坐标，得出切线方程，可判定C正确；根据递增，把不等式转化为且，令，利用导数求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，函数，可得，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
所以函数在上没有极值点，所以A错误；
对于B中，因为函数在上单调递增，且，
所以在上存在唯一的零点，所以B正确；
对于C中，令，可得，即切点为，
所以切线方程为，即，所以C正确；
对于D中，因为函数在上单调递增，且，
所以且，可得且，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
10．CD
【分析】求导后，根据导函数正负可求得单调性，结合极值定义可求得极大值和极小值.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；AB错误，C正确；
的极大值为，极小值为，D正确.
故选：CD.
11．AC
【分析】计算正方体外接球和内切球的半径，代入表面积公式即可判断A，假设存在，可得平面，与条件矛盾判断B，先利用平面性质作出截面，求出梯形面积，利用导数研究单调性判断C，利用割补法求得体积即可求得点E的位置判断D.
【详解】对于A，正方体外接球的半径为，内切球的半径为，可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的倍，故A正确；
对于B，由点和点B到平面的距离相等，若点和点C到平面的距离相等，
必有平面，又由，可得平面，与平面矛盾，
故B错误；
对于C，如图，

在上取一点F，使得，连接，设，
由，可得平面为过A，，E三点的截面，
在梯形中，，，，，
梯形的高为，
梯形的面积为，
令，有.
可得函数单调递增，可得正方体被平面所截得的截面面积随着的增大而增大，
故C正确；
对于D选项，，，
被平面所截得的上部分的几何体的体积为，整理为，
解得，故D错误.
故选：AC
12．BC
【分析】根据的图象，得到的正负，得到单调性和极值情况，得到答案.
【详解】根据的图象，可得
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在，处取得极大值，在处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误.
故选：BC.
13．①④
【分析】利用导数的几何意义求切线方程判断说法①；由极值点的性质求m的范围判断说法②；解出极值点，计算判断说法③；由不等式有解，代入函数解析式，求m的范围判断选项④.
【详解】①若，则，，
，，
所以函数在处的切线方程为，即，说法①正确．
②，有，则，说法②错误．
③，当时，，单调递减，没有极值，
当时，由，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以为定值，说法③错误．
④若存在，使得，
即，得，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，所以说法④正确.
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：
导数研究函数的极值，可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
14．－21
【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.
【详解】函数的定义域为，，令，解得或，
列表：
所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，
当时，函数有极小值.
故答案为：
15．
【分析】由可得出，令，，分析可知，直线与曲线没有交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
令，显然，则，
令，，
则，
令，得，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为、，
且极大值为，极小值为．
当时，，当时（从左边趋于），；
当时（从右边趋于），，
当时（从右边趋于），.
由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，
即在上没有零点．
因此，实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题
16．
【分析】把直三棱柱可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接，延长交于点，取的中点，连接，
在过点作，证得截面四边形为直角梯形，设，求得梯形的面积为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，直三棱柱中，，，
该直三棱柱可补充一个长方体，
其中直三棱柱的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，
又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为，可得对角线长为，
所以外接球的半径为，则该三棱柱外接球的表面积为；
如图所示，连接，并延长交于点，取的中点，连接，
则且，在过点作，可得，
连接，则四边形即为过点的截面，
在中，因为，且为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以四边形为直角梯形，
在中，由且，可得，所以，
设，在直角中，可得，
又由，可得，
所以直角梯形的面积为
，其中，
设，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
时，，单调递减，
又由，可得，
所以当时，函数取得最大值，此时梯形的面积取得最大值.
故答案为：.
【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
17．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）依据所给定义求解即可.
（2）直接利用定义求解即可.
（3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.
【详解】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
19．(1)答案见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分与讨论即可；
（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数与讨论即可.
【详解】（1）函数的定义域为.
又，令，得.
当，即时，在恒成立，.
当，即时，方程有两根，可求得：，
因为所以，
当和时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，.
①方程有三个不相等的实数根，
即方程在上有三个不相等的实数根.
令，
则，
令，求得：或，
则当或时，，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
存在极大值为，存在极小值，
且当时，，当时，.
要使方程有三个不相等的实数根，则
的取值范围为.
②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，
由①可得，要证，
只需证，即证，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，.
由，
构造函数，
，当时，在上单调递增，
，即在上恒成立，
又，则有：，
又，且在上单调递减，
，即.
构造函数，
，当时在上单调递增.
，即在上恒成立.
又，则.即，
由，则.
在上单调递增，.
又，则可证得：.
【点睛】关键点点睛：将证明转化为， ，结合极值点平移构造函数是本题关键.
20．(1)；
(2)或.
【分析】（1）求出函数的导数，由给定的单调性建立恒成立的不等式并求解即得.
（2）求出函数，按和分类，利用导数结合零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）若函数在上的单调递减，则在上恒成立，
化简得，显然函数在上递增，即，
所以.
（2）函数，，，
当时，由得，，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此当时，取得极小值，则只要，即，
令，则，在上单调递增，而，
则由，得，即方程的根为1；
当时，，函数在上单调递减，而，，
此时函数有且只有一个零点，
所以实数的值是或.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，对于二次方程，有，分、、讨论，可得答案；
（2）即证，只需证，即证，令，利用导数可得，令，利用导数可得，从而得到答案.
【详解】（1）的定义域为，
对于二次方程，有，
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，方程有两根，
若，则，
因为在上，所以在上单调递增；
因为在上，所以在上单调递减；
若，则，
因为在与上，
所以在与上单调递减，
因为在上，
所以在上单调递增；
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在与上单调递减，
在上单调递增；
（2）证明，即证，
因为，所以，
当时，不等式显然成立，
当时，因为，
所以只需证，即证，
令，则，
由得；由，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，令，则，
易知在上为减函数，在上为增函数，
所以，
所以恒成立，即.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为证，然后构造函数，，利用导数证得，从而得到答案.
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
增
极大值
减
减
极小值
增