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    辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)
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    辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)

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    这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、单选题
    1.已知集合A=x,yx+y−2=0,B=x,yx−y−4=0,则A∩B=( )
    A.3,−1B.3,−1C.x=3,y=−1D.3,−1
    2.若a,b∈R且ab≠0.则1a2>1b2成立的一个充分非必要条件是( )
    A.a>b>0B.b>a
    C.b3.某中学举行运动会,有甲、乙、丙、丁四位同学参加100米短跑决赛,现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为( )
    A.12B.712C.23D.34
    4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,已知AE=3EF,AB=a,AD=b,则AE=( )
    A.1225a+925bB.1625a+1225bC.45a+35bD.35a+45b
    5.命题“∀x∈R, ∃n∈N*,使得n≤x”的否定形式是( )
    A.∀x∈R, ∃n∈N*,使得n>xB.∀x∈R, ∀n∈N∗,都有n>x
    C.∃x∈R, ∃n∈N*,使得n>xD.∃x∈R, ∀n∈N∗,都有n>x
    6.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数无形时少直观,形无数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.函数fx=x2+4x+1x2+1的部分图象大致是( )
    A.B.C.D.
    7.已知实数和b满足2022a=2023,2023b=2022.则下列关系式中正确的是( )
    A.lg2a+lg2b<1B.a+b<2
    C.a2+b2<1D.2a+2b<4
    8.已知O是ΔABC内一点,且OA+OB+OC=0,点M在ΔOBC内(不含边界),若AM=λAB+μAC,则λ+2μ的取值范围是
    A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1
    二、多选题
    9.已知a为实数,a≠0且a≠1,函数f(x)=ax−1x−1,则下列说法正确的是( )
    A.当a=2时,函数f(x)的图像关于(1,2)中心对称B.当a>1时,函数f(x)为减函数
    C.函数y=1f(x)图像关于直线y=x成轴对称图形D.函数f(x)图像上任意不同两点的连线与x轴有交点
    10.某次智力竞赛的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得10分,部分选对的得5分,有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是( )
    A.甲同学仅随机选一个选项,能得5分的概率是12
    B.乙同学仅随机选两个选项,能得10分的概率是16
    C.丙同学随机选择选项,能得分的概率是15
    D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是110
    11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[−3.2]=−4,[2.3]=2.已知函数f(x)=2x1+2x−12,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )
    A.f(x)是奇函数B.f(x)在R上是增函数
    C.g(x)是偶函数D.g(x)的值域是−1,0
    12.已知函数fx=lg4x+4,x≤0lg2x,02,若方程fx=a有六个不同的解x1,x2,x3,x4,x5,x6且x1A.a∈0,1B.x1+x2+x3⋅x4=−3
    C.−x4x1+x2+16x3⋅x42∈162,24D.x6fx3x1+x2∈−34,0
    三、填空题
    13.设命题p:函数f(x)=lg(ax2−x+116a)的定义域是R;命题q:不等式3x−9x14.为了解某企业员工对党史的学习情况,对该企业员工进行问卷调查,已知他们的得分都处在A,B,C,D四个区间内,根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35,则下列结论中,正确结论的个数是 .
    ①男、女员工得分在A区间的占比相同;
    ②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数;
    ③得分在C区间的员工最多;
    ④得分在D区间的员工占总人数的20%.
    15.已知fx=x3+3x,x为实数且满足8(x+1)3−x3⩾3x−6x+1,则fx的最大值为 .
    16.根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得如图所示的图形.若AF=xAB+yAD,则x+y= .
    四、解答题
    17.在①A∩B=A,②A∩B≠∅,③B⊆∁RA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数a存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由.
    问题:已知集合A=x|x−ax+1<0,x∈R,B=x1−xx−12≥12,x∈R,是否存在实数a,使得 ?
    18.近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响,导致猪肉的市场零售均价一直居高不下,在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况,在2021年5月份的某一天,某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底,随机抽样调查了100家超市了解情况,得到这些超市在当天的猪肉零售均价(单位:元/公斤)x的频数分布表如下:
    (1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例;
    (2)用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间52,54和54,56(单位:元/公斤)的超市中抽取5家超市,再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈,问选出的2家超市的均价都在区间52,54内的概率?
    19.上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2≤t≤20,t∈N*,经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当2≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(10−t)的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人,记地铁载客量为p(t).
    (1)求p(t)的解析式;
    (2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360(元),问当发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大?
    20.如图,平行四边形ABCD中,BM=12MC,N为线段CD的中点,E为线段MN上的点且ME=2EN.
    (1)若AE=λAB+μAD,求λμ的值;
    (2)延长MN、AD交于点P,F在线段NP上(包含端点),若AF=tAM+(1−t)AN,求t的取值范围.
    21.已知函数gx=mx2−2mx+1+n,n≥0在1,2上有最大值1和最小值0.设fx=gxx.(其中e为自然对数的底数)
    (1)求m,n的值;
    (2)若不等式flg2x−2klg2x≥0在x∈2,4有解,求实数k的取值范围;
    (3)若方程fex−1+2kex−1−3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
    22.对于函数y=fx,如果对于定义域D中任意给定的实数x,存在非负实数a,使得fx+fa−x≥fa 恒成立,称函数y=fx具有性质Pa .
    (1)判别函数mx=x3,x∈0,2 和nx=x,x∈R 是否具有性质P2 ,请说明理由;
    (2)函数gx=2x-2-x,x∈R,若函数y=gx 具有性质Pa,求a满足的条件;
    (3)若函数hx的定义域为一切实数,hx的值域为[2,+∞) ,存在常数a0 且hx具有性质Pa0,判别τx=lghx是否具有性质Pa0,请说明理由.
    x的分组
    46,48
    48,50
    50,52
    52,54
    54,56
    超市家数
    9
    24
    52
    9
    6
    参考答案:
    1.D
    【分析】根据已知条件及交集的定义即可求解.
    【详解】由题意可知x+y−2=0x−y−4=0,解得x=3y=−1,
    所以A∩B=3,−1.
    故选:D.
    2.C
    【分析】根据充分非必要条件的定义,依次排除选项.
    【详解】A.当a>b>0时,a2>b2,则1a2<1b2,故A错误;
    B.当b=1,a=−2时,不满足1a2>1b2,故B错误;
    C.当b1b2,反过来,1a2>1b2时,a21b2成立的一个充分非必要条件,故C正确;
    D.当a=2,b=−1时,不满足1a2>1b2,故D错误.
    故选:C
    3.B
    【分析】根据题意,按甲是否在4道上分2种情况讨论,求出每种情况的安排方法数目,由加法原理计算可得甲不在1跑道且乙不在4跑道的总的方法数,再利用古典概型的概率求解.
    【详解】解:根据题意,分2种情况讨论:
    ①若甲在4道上,剩下3人任意安排在其他3个跑道上,有A33=6种排法,
    ②若甲不在4道上,甲的安排方法有2种,乙的安排方法也有2种,剩下2人任意安排在其他2个跑道上,有2种安排方法,此时有2×2×2=8种安排方法,故共有6+8=14种不同的安排方法,
    现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上,共有A44=24.
    由古典概型的概率公式得所求的概率为P=1424=712.
    故选:B.
    4.A
    【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
    【详解】由题意AE=34AF=34(AB+BF)=34(AB+34ED)=34AB+916ED =34AB+916(AD−AE)=34AB+916AD−916AE,
    即2516AE=34AB+916AD=34a+916b,
    所以AE=1225a+925b
    故选:A.
    5.D
    【分析】根据全称命题的否定是特称命题,即可求解.
    【详解】“∀x∈R, ∃n∈N*,使得n≤x”是全称命题,全称命题的否定是特称命题
    故否定形式是∃x∈R, ∀n∈N∗,都有n>x.
    故选:D
    6.A
    【分析】计算f−1=−1<0,排除BD,利用均值不等式得到x>0时,fx≤3,排除C,得到答案.
    【详解】fx=x2+4x+1x2+1=1+4xx2+1=1+4xx2+1,f−1=−1<0,排除BD.
    当x>0时,fx=1+4x+1x≤1+42x⋅1x=3,当x=1时等号成立,排除C;
    故选:A
    7.A
    【分析】由已知条件指对数转化得到a,b的值,再根据基本不等式得到BCD错误, A正确.
    【详解】由已知a=lg20222023,b=lg20232022=1lg20222023,故ab=1且a>1,0对于A,lg2a+lg2b =lg2ab=lg21=0,故A成立.
    对于B,a+b≥2ab=2,故B错误.
    对于C,a2+b2≥2ab=2,故C错误.
    对于D,2a+2b≥22a+b≥222=4,故D错误
    故选: A.
    8.B
    【解析】根据OA+OB+OC=0可知O为ΔABC的重心;根据点M在ΔOBC内,判断出当M与O重合时,λ+2μ最小;当M与C重合时,λ+2μ的值最大,因不含边界,所以取开区间即可.
    【详解】因为O是ΔABC内一点,且OA+OB+OC=0
    所以O为ΔABC的重心
    M在ΔOBC内(不含边界),且当M与O重合时,λ+2μ最小,此时
    AM=λAB+μAC=23×12AB+AC=13AB+13AC
    所以λ=13,μ=13,即λ+2μ=1
    当M与C重合时,λ+2μ最大,此时
    AM=AC
    所以λ=0,μ=1,即λ+2μ=2
    因为M在ΔOBC内且不含边界
    所以取开区间,即λ+2μ∈1,2
    所以选B
    【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算,特殊位置法的应用,属于难题.
    9.AD
    【分析】根据函数的性质进行判断即可.
    【详解】由已知
    对于A:a=2,f(x)=2x−1x−1=2+1x−1,由函数图像的变换可知,f(x)的图像关于(1,2)中心对称,故A正确.
    对于B:f(x)=ax−1x−1=a+a−1x−1,定义域为−∞,1∪1,+∞,又因为a>1,
    所以a−1>0,所以a−1x−1在−∞,1和1,+∞为减函数,所以函数f(x)在−∞,1和1,+∞为减函数,故B错误.
    对于C:因为f(x)=ax−1x−1,x≠1,令y=1f(x)=x−1ax−1,x≠1,所以点1,0不在y=1f(x)的图象上,但0,1在该函数的图象上,故C错误.
    对于D:因为f(x)=ax−1x−1,定义域为−∞,1∪1,+∞ ∀x1,x2∈−∞,1∪1,+∞,且x1≠x2时,fx1≠fx2,所以f(x)图像上任意不同两点的连线不平行于x轴,所以函数f(x)图像上任意不同两点的连线与x轴有交点,故D正确.
    故选:AD
    10.ABC
    【分析】对各项中的随机事件,计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数,再计算出相应的概率后可得正确的选项.
    【详解】甲同学仅随机选一个选项,共有4个基本事件,分别为A,B,C,D,
    随机事件“若能得5分”中有基本事件C,D,故“能得5分”的概率为12,故A正确;
    乙同学仅随机选两个选项,共有6个基本事件,
    分别为:A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D,
    随机事件“能得10分”中有基本事件C,D,故“能得10分”的概率为16,故B正确;
    丙同学随机选择选项(丙至少选择一项),
    由A、B中的分析可知共有基本事件15种,分别为:
    选择一项:A,B,C,D;
    选择两项:A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D;
    选择三项或全选:A,B,C,A,B,D,A,C,D,B,C,D,A,B,C,D,
    随机事件“能得分”中有基本事件C,D,C,D,
    故“能得分”的概率为315=15,故C正确;
    丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知:共有基本事件11个,
    随机事件“能得分”中有基本事件C,D,故“能得分”的概率为111,故D错;
    故选:ABC.
    11.ABD
    【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A,C,由函数单调性的结论可判断选项B,由函数单调性求出f(x)的取值范围,结合定义可得g(x)的值域可判断选项D.
    【详解】对于A,因为函数f(x)=2x1+2x−12=1−11+2x−12= 12−11+2x,x∈R,
    所以f(−x)=2−x1+2−x−12=11+2x−12=−fx,则函数f(x)为奇函数,故选项A正确;
    对于B,因为y=1+2x、y=−11+2x在R上是增函数,所以fx=12−11+2x在R上是增函数,故选项B正确;
    对于C,因为fx=12−11+2x,则g1=f1= 12−11+2=0,
    g−1=f−1= 12−11+12=−1,因为g−1≠g1所以函数g(x)不是偶函数,故选项C错误;
    对于D,又1+2x>1,所以−12故选:ABD.
    【点睛】关键点点睛:本题考查了函数性质的综合应用,关键点是对函数性质的熟练掌握,以及对新定义的理解,考查了学生的推理能力与运算能力.
    12.AD
    【分析】根据函数的解析式,作出函数图象,根据图象逐项进行判断即可求解.
    【详解】如图为fx的函数图象:
    由图可知当a∈0,1时,y=fx的图象与直线y=a存在6个交点,即方程fx=a有六个不同的解,故A正确;
    由图及函数解析式可知,x1+x2=−8,且−lg2x3=lg2x4,可得x3x4=1,
    所以x1+x2+x3x4=−7,故B错误;
    由图可知x4∈1,2,−x4x1+x2+16x3⋅x42=8x4+16x4≥28x4⋅16x4=162,
    当且仅当8x4=16x4,即x4=2时等号成立,
    令gx=8x+16x,易知函数在(1,2)上递减,在(2,2)上递增,g1=g2=24,
    故−x4x1+x2+16x3⋅x42∈162,24,故C错误;
    由解析式可知fx3=fx6,即lg2x3=x6−4−1⇒−lg2x3=x6−5,
    所以x6fx3x1+x2=x6x6−5−8=−x62−5x68,其中x6∈5,6,
    令hx=−x2−5x8,hx在5,6上单调递减,
    所以hxmax=h5=0,hxmin=h6=−34,
    所以x6fx3x1+x2∈−34,0,故D正确.
    故选:AD.
    13.0,2
    【分析】函数f(x)的定义域为R,则真数大于0对一切的x∈R恒成立,求出a的范围,命题q也用恒成立问题,求出a的范围,最后根据命题p,q的真假性,求实数a的范围.
    【详解】若命题p为真,
    因为函数f(x)=lgax2−x+116a的定义域为R,
    所以ax2−x+116a>0对一切的x∈R恒成立,
    所以a>0Δ<0,即a>01−a24<0,所以a>0a>2或a<−2,故a>2,
    若命题q为真,
    令3x=t(t>1),则a>t−t2 =−t−122+14,
    因为t>1,所以t−t2<1−1=0,
    由题知3x−9x所以a≥0
    因为p和q有且只有一个是真命题,即p与q一真一假,
    若p真 q假,a>2a<0,无解,若p假q真,a≤2a≥0,所以0≤a≤2,
    综上所述:实数a的取值范围是0,2
    故答案为:0,2.
    【点睛】恒成立问题与有解问题要注意进行区别,若a≥f(x)在x∈D恒成立,则a≥f(x)max;若a≥f(x)在x∈D有解,则a≥f(x)min.
    14.1
    【分析】先求出员工总数和男员工人数,再求出男女员工再各区间的人数,从而对四个结论逐一判断即可.
    【详解】根据题意,设员工总人数为n个,
    因为女员工人数为20+60+70+50=200,
    所以200n=1−35=25,解得n=500,所以男员工人数为500−200=300,
    对于①,女员工得分在A区间的占比为20200=10%,男员工得分在A区间的占比为1−40%−35%−15%=10%,故①正确;
    对于②,女员工在A区间有20人,B区间有60人,C区间有70人,D区间有50人;
    男员工在A区间有300×10%=30人,B区间有300×40%=120人,C区间有300×35%=105人,D区间有300×15%=45人;
    所以D区间男员工少于女员工,故②错误;
    对于③,B区间有30+120=180人,C区间有70+105=175人,所以B区间人数比C区间多,故③错误;
    对于④,D区间有50+45=95人,所以得分在D区间的员工占总人数的95500=19%,故④错误;
    综上:①正确,②③④错误,故正确结论的个数是1.
    故答案为:1.
    15.4
    【分析】函数fx=x3+3x是R上的增函数,而8(x+1)3−x3⩾3x−6x+1⇒f2x+1⩾f(x),可得2x+1⩾x,解得x的范围,进而求得fx的最大值.
    【详解】f′x=3x2+3>0,故fx是R上的增函数
    而8(x+1)3−x3⩾3x−6x+1⇒2x+13+3⋅2x+1⩾x3+3x⇒f2x+1⩾f(x)
    故2x+1⩾x,即(x−1)(x+2)x+1⩽0,即(x−1)(x+2)⩽0x+1>0或(x−1)(x+2)⩾0x+1<0
    解得−1所以当x=1时,fx取最大值4.
    故答案为:4.
    16.4+32
    【分析】建立平面直角坐标系,标出各个点的坐标,利用平面向量的坐标运算即可得解.
    【详解】如图,以A为原点,分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系,
    设正方形ABCD的边长为2a,则正方形DEHI的边长为3a,正方形EFGC边长为a
    可知A0,0,B2a,0,D0,2a,DF=3+1a
    则xF=3+1a⋅cs30∘,yF=3+1a⋅sin30∘+2a,即F3+32a,5+32a
    又AF=xAB+yAD,∴3+32a,5+32a=x2a,0+y0,2a=2ax,2ay
    即2ax=3+32a2ay=5+32a,即2ax+2ay=3+32a+5+32a,化简得x+y=4+32
    故答案为:4+32
    17.答案见解析.
    【解析】求得集合B=[-1,1),化简集合A={x∣(x-a)(x+1)<0,x∈R},分a>-1,a=-1,a<-1三种情况讨论得到集合A;再分别得若选择①,若选择②,若选择③时,实数a的取值范围.
    【详解】A=xx−ax+1<0,x∈R=xx−ax+1<0,x∈R,
    当a>−1时,A=(−1,a);
    当a=−1时,A=∅;
    当a<−1时,A=(a,−1);
    若选择①A∩B=A,则A⊆B,
    当a>−1时,要使-1,a⊆-1,1,则a≤1 ,所以-1当a=−1时,A=∅满足题意;
    当a<−1时,A=a,−1,不满足题意.
    所以选择①,则实数a的取值范围是−1,1.
    若选择②A∩B≠∅,
    当a>−1时,A=(−1,a),B=−1,1,满足题意;
    当a=−1时,A=∅,不满足题意;
    当a<−1时,A=a,−1,B=−1,1,不满足题意;
    所以选择②,则实数a的取值范围是(−1,+∞).
    若选择③B⊆∁RA,
    当a>−1时,A=(-1,a),∁RA=(-∞,-1]∪[a,+∞),
    而B=−1,1,不满足题意;
    当a=−1时,A=∅,∁RA=R
    而B=−1,1,满足题意;
    当a<−1时,A=a,−1,∁RA=(-∞,a]∪[-1,+∞)
    而B=−1,1,满足题意;
    所以选择③,则实数a的取值范围是−∞,−1.
    【点睛】本题考查集合间的包含关系,集合间的运算,属于中档题.关键是对集合A的解集分类讨论,
    18.(1)6%,33%
    (2)310
    【分析】(1)根据频数分布表,结合频率公式得出均价不低于54元/公斤和均价小于50元/公斤的频率,进而估计该市的情况;
    (2)由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.
    【详解】(1)根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表,得所调查的100家超市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市频率为6100=0.06;零售均价小于50元/公斤的超市频率为9+24100=0.33;
    用样本频率分布估计总体分布,得该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例为6%,零售均价小于50元/公斤的超市比例为33%.
    (2)由题知,抽取的5家超市中,有三家均价在区间52,54,即为a,b,c,有两家均价在区间54,56,即为A,B,则从中任取两家,共有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB共有10种,其中均价都在区间52,54内有ab,ac,bc共3种,故所求的概率为P=310.
    19.(1)p(t)=−10t2+200t+200,2≤t<101200,10≤t≤20(t∈N∗);(2)6分钟.
    【分析】(1)2≤t<10时,求出正比例系数k,写出函数式即可得解;
    (2)求出每一段上的最大值,再比较大小即可得解.
    【详解】(1)由题意知p(t)=1200−k(10−t)2,2≤t<101200,10≤t≤20(t∈N∗),(k为常数),
    因p(2)=1200−k(10−2)2=1200−64k=560,则k=10,
    所以p(t)=−10t2+200t+200,2≤t<101200,10≤t≤20(t∈N∗);
    (2)由Q=6p(t)−3360t−360得Q=6(−10t2+200t+200)−3360t−360,2≤t<103840t−360,10≤t≤20,
    即Q=840−60(t+36t),2≤t<103840t−360,10≤t≤20(t∈N∗),
    ①当2≤t<10时,Q=840−60(t+36t)≤840−60×12=120,当且仅当t=6等号成立;
    ②当10≤t≤20时,Q=3840t−360在[10,20]上递减,当t=10时Q取最大值24,
    由①②可知,当发车时间间隔为t=6分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益最大,最大为120元.
    20.(1)1427;(2)[−1,0]
    【分析】(1)由题意可得AE=13AM+23AN,AM=AB+13AD,AN=AD+12AB,进而可得结果.
    (2)设MF=kMN,则1≤k≤2,则AF=(1−k)AM+kAN =tAM+(1−t)AN,k=1−t,由1≤k≤2,即可得出结果.
    【详解】(1)∵ME=2EN∴AE−AM=2(AN−AE)
    ∴AE=13AM+23AN
    由已知AM=AB+13AD,AN=AD+12AB
    ∴AE=23AB+79AD,∴λ=23,μ=79∴λμ=1427
    (2)∵DP//MC,N为CD的中点,
    易证△DNP与△CNM全等,则NM=PN,
    设MF=kMN,则1≤k≤2
    ∵AF−AM=k(AN−AM),AF=(1−k)AM+kAN
    ∵AF=tAM+(1−t)AN∴1−k=t,k=1−t
    ∴1≤1−t≤2,∴−1≤t≤0
    ∴t∈[−1,0]
    21.(1)m=1n=0;(2)−∞,18;(3)0,+∞.
    【分析】(1)通过二次函数的性质分析gx=mx2−2mx+1+n在1,2上取得最大、最小值的点,然后求解m,n的值;
    (2)当flg2x−2klg2x≥0在x∈2,4上有解时,可得1+1lg2x2−2lg2x≥2k在x∈2,4有解,只需使函数hx=1lg2x2−2lg2x+1=1lg2x−12的最大值满足条件即可求解;
    (3)由fex−1+2kex−1−3k=ex−1+1ex−1−2+2kex−1−3k=0得
    ex−12−2+3kex−1+2k+1=0,然后利用换元法、结合二次方程根的分布问题求解.
    【详解】解:(1)由题意可知m≠0,对称轴为x=1,
    当m>0时,函数gx在1,2上递增,则g1=m−2m+1+n=0g2=4m−4m+1+n=1,解得m=1n=0;
    当m<0时,函数gx在1,2上递减,则g1=m−2m+1+n=1g2=4m−4m+1+n=0,解得m=−1n=−1;
    又n≥0,故m=1n=0.
    (2)fx=gxx=x2−2x+1x=x+1x−2,
    所以flg2x−2klg2x=lg2x+1lg2x−2−2klg2x≥0在2,4上有解时,
    则1+1lg2x2−2lg2x≥2k在2,4有解,
    令hx=1lg2x2−2lg2x+1=1lg2x−12,则只需hmaxx≥2k成立即可.
    当x∈2,4时,1lg2x∈12,1,则hmaxx=12−12=14,
    故2k≤14,得k≤18.
    (3)若fex−1+2kex−1−3k=ex−1+1ex−1−2+2kex−1−3k=0,
    则ex−12−2+3kex−1+2k+1=0
    令ex−1=t,t>0,则t2−2+3kt+2k+1=0,
    若方程fex−1+2kex−1−3k=0有三个不同的实数解,
    则ex−1=t有两个解t1∈0,1,t2∈1,+∞或t1∈0,1,t2=1
    即t2−2+3kt+2k+1=0在0,1和1,+∞上有各有一根,
    令φt=t2−2+3kt+2k+1
    则φ0=2k+1>0φ1=−k<0或2k+1>0φ(1)=−k=00<3k+22<1
    解得:k>0
    所以,实数k的取值范围是0,+∞
    【点睛】本题考查二次函数的最值问题、与对数不等式有关的不等式有解问题及根据函数零点求参数的取值范围问题,难度较大.解答时注意参变分离思想、分类讨论思想、数形结合等的运用.
    22.(1)mx=x3,x∈0,2不具有性质P(2);nx=x,x∈R具有性质P(2)
    (2)a=0
    (3)τx=lghx具有性质Pa0,理由见解析
    【分析】(1)由性质Pa的定义,结合作差法判断函数是否具有性质P2即可;
    (2)根据已知条件有22x(2a−12a)−2x(22a−12a)+(2a−1)>0对任意x∈R恒成立,讨论a>0,a=0 判断不等式是否恒成立,即可得参数范围;
    (3)由hx的性质可得hxha0−x≥ha0−x+hx≥ha0>0 ,再根据对数函数的单调性及性质Pa定义判断τx=lghx是否具有性质Pa0.
    【详解】(1)∵mx+m2−x−m2=x3+2−x3−8=6x2−12x=6xx−2,x∈0,2,
    所以6x2−12x<0 ,则mx+m2−x∵nx+n2−x=x+|2−x|≥2,
    ∴nx+n2−x≥n2恒成立,故nx=x,x∈R具有性质P2.
    (2)由gx=2x−2−x ,
    则gx+ga−x−ga=2x−2-x+2a-x−2−a−x−2a-2−a≥0 ,
    22x(2a−12a)−2x(22a−12a)+(2a−1)≥0对任意x∈R恒成立,
    显然a=0时,上式不等式成立;
    a>0时,2a−1>0 ,若0综上,a=0.
    (3)因为hx具有性质Pa0,所以hx+ha0−x≥ha0 ,
    因为函数的值域为2,+∞,所以hx≥2 ,ha0−x≥2 ,
    则12hxha0−x≥ha0−x,12hxha0−x≥hx,
    ∴hxha0−x≥ha0−x+hx ,
    ∴hxha0−x≥ha0−x+hx≥ha0>0 .
    ∵τx+τa0−x=lghx+lgha0−x
    ∴lghx+lgha0−x=lghxha0−x≥lg[hx+ha0−x]≥lgha0 ,
    所以τx+τa0−x≥τa0 ,即τx=lghx具有性质Pa0.
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