2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次阶段检测数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次阶段检测数学试题

一、单选题

1．集合的元素个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【分析】根据题中给出的条件,所以为，从而求出的个数.

【详解】由，所以为,

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

故当，即时，

所以集合的元素个数为8.

故选：D

【点睛】本题考查了集合中元素的个数,关键根据分析出的取值情况，考查分析和解决问题的能力,属于基础题.

2．已知函数的定义域和值域都是，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.

【详解】当时，，方程组无解

当时，，解得

故选：A.

3．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

4．已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【分析】根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知为最小值，然后解的值

【详解】由在上单调递减可知 是最小值

由两条对称轴直线和可知也是对称轴且，为最小值

故

又 ，解得

故选：A

5．若正数满足，则的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设，解得，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值.

【详解】由题意，设，解得其中，

因为，所以，整理得，

又由，

当且仅当，即等号成立，

所以的最小值为.

【点睛】本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

6．如图，中，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量线性运算可得，进而得到，根据平面向量基本定理可求得结果.

【详解】由题意得：，

，，，

三点共线，，即.

故选：B.

7．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到．若函数在上恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图象的变换得，由已知零点可得，进而可求出.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得到的图象．若函数在上恰有5个零点，

则，所以，得．

故的取值范围是．

故选:D.

8．函数，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵当时,，∴f(x)∈[1,2]，

对于 (m>0)，

当时,,

∵对任意，存在,使得成立，

∴解得实数m的取值范围是.

故选D.

点睛：函数中的方程有解问题：

（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；

（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．终边相同的角相等

B．扇形的圆心角为，周长为8，则扇形面积为4

C．若，则为第一或第二象限角

D．

【答案】BD

【分析】对于A，由终边相同的角的特点可得答案.

对于B，由弧度制下，扇形的面积，周长公式可得答案.

对于C，注意这一特殊情况.

对于D，利用诱导公式可得答案.

【详解】对于A，终边相同的角有可能相等，也有可能相差，其中.故A错误.

对于B，扇形在弧度制下的面积公式为，周长为，其中为扇形圆心角.则由题有，则.故B正确.

对于C，当，得，既不为第一象限角，也不为第二象限角，故C错误.

对于D选项，由诱导公式有，故D正确.

故选：BD

10．已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（     ）

A． B．点是的图象的一个对称中心

C．在上的值域为 D．的图象在上有四条对称轴

【答案】BD

【解析】根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：，

由题意得：其图象对应的函数为偶函数，

则，，解得，

因为，令，得，故A错误．

所以；

对于B：因为，所以，

所以点是的图象的一个对称中心，故B正确；

对于C：因为，所以，

所以当时，即时，有最大值2，

当时，即时，有最小值，故C错误；

对于D：令，解得，

因为时，令，解得

令，解得，

令，解得，

令，解得，

所以的图象在上有四条对称轴，故D正确.

故选：BD

【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

11．已知函数，则下列结论中正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．点是图象的一个对称中心

C．的值域为

D．不等式的解集为

【答案】CD

【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.

【详解】，作出的图象，如图，观察图象，

的最小正周期为，A错误；

的图象没有对称中心，B错误；

的值域为，C正确；

不等式，即时，得，解得，

所以的解集为，D正确.

故选：CD

12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为3个

D．若大于1的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.

【详解】因为，

所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，

，

所以当，时，，

当，时，，

当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；

如图：

当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点，，，所以，

而，故推出，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若，则__________.

【答案】##

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切函数的正负性进行求解即可.

【详解】因为，

所以，又，

所以，

由

，

因为，

所以由，

故答案为：

14．已知函数，且关于的方程在区间上有唯一解，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据图像即可求解.

【详解】解：如图所示，

在区间上有唯一解，即函数与函数的图像有一个交点.

则的取值范围是，

故答案为：

15．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________.

【答案】

【分析】根据题意，结合图像求出周期，进而可得的值，再代点分别求出和的值，即可得到函数的解析式，进而可得.

【详解】由图可知，点，故，即，因，所以.

由，得，又因，所以，

故.

由图可知，又因且圆的半径为，所以，

因此，即，所以.

因此.

故答案为：.

16．已知函数，当时函数能取得最小值，当时函数能取得最大值，且在区间上单调，则当取最大值时的值为__________.

【答案】

【分析】由题意，函数取最大值与最小值对应自变量之间的距离，可得周期的取值，进而表示出，根据余弦函数在区间上的单调性，表示出的取值范围，由大到小，逐个进行检验，可得答案.

【详解】因为当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以可得，

即，解得，即为正偶数，

在上单调，，即，解得，

当时，，且当时，，由，可得，

此时由，即，则在不单调，不满足题意；

当时，，且当时，，由，解得，

此时由，即，则在单调，满足题意；

故的最大值为，此时的值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，且．

(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若命题“”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合，由充分条件定义可知，由此可构造不等式组求得结果；

（2）由题意可得，由此可构造不等式求得结果.

【详解】（1）由得：，即；

是的充分条件，，，解得：，

即实数的取值范围为.

（2）若命题“”为假命题，则命题“”为真命题；

，，即，

若，则或，解得：或，

即实数的取值范围为.

18．我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。

(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，

（2）由概率乘法公式与加法公式求解

【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间，

∴，

设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则，

∴，

∴.

（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，

由题意知事件，，相互独立

由（1）知.

记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则

易知事件，，两两互斥，

根据互斥事件概率加法公式得

.

19．如图，在梯形中，，且，设.

(1)试用和表示；

(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；

（2）由，，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．

【详解】（1）解：，，，

，

则整理得：．

（2）解：，，三点共线，

．

，，

，

又．

．

，解得，．

．

20．已知

(1)化简；

(2)若是第三象限角，且，求；

(3)若角是的内角，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由诱导公式即可化简；

（2）由诱导公式和同角三角函数平方的关系即可求解；

（3）由同角三角函数的平方和商的关系即可求解.

【详解】（1）

.

即.

（2）因为，

所以，即，

又因为是第三象限角，所以，

所以.

（3）由，得，所以，

所以角是钝角，

，，

所以.

21．已知函数的部分图像如图所示.

(1)求和的值；

(2)求函数在上的单调递减区间；

(3)若函数在区间上恰有2022个零点，求的取值范围.

【答案】(1)；；

(2)

(3)

【分析】（1）根据图像上点的坐标特征列方程求解即可；

（2）根据复合函数“同增异减”列式求解即可；

（3）根据周期性求解即可．

【详解】（1）解：由图像得，，

，

解得，

．

（2）解：令，，

由图像易知

当时，递减，

∴ ，

解得，

∴ 函数在上的单调递减区间为．

（3）解：令，

则，

解得，，

∴在有两个零点，因为周期为2，

若函数在区间上恰有2022个零点，

则，

，

．

22．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.

(1)求证：为奇函数；

(2)求证：在上单调递增；

(3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数；

（2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性；

（3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域．

【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，

令，得，解得或，

又不存在，使得，

∴，

令，得，

∴，

∴为奇函数.

（2）时，，

∴，当且仅当，等号成立，

又不存在，使得，

∴，

∴时，，

又为奇函数，

∴时，，

∴对，，

任取，则，，

而，

∴，

又，，

∴，

∴，

∴，，

∴在上单调递增.

（3），

∴，

，

∵不等式对恒成立，

∴对恒成立，

又在上单调递增，

∴对恒成立，即对恒成立，

当时，对恒成立，

当时，对恒成立，解得，

综上，，

而函数在上单调递减，

∴的值域为.

【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形．