2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．2022°是第（    ）象限角．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【分析】将表示为（）的形式，由此确定正确答案.

【详解】，

所以是第三象限角.

故选：C

2．已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（    ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【答案】C

【分析】根据集合的描述可得，由非空子集个数与集合元素个数的关系求的所有非空子集的个数.

【详解】由题设，，即8可被整除且，，

∴，故集合的所有非空子集的个数为.

故选：C

3．已知且，则“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】对进行分类讨论，求得的等价条件，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】对于，

当时，在上递减，所以，则，

当时，在上递增，所以，则.

所以或.

对于，则或.

所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.

【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，

由题可知：，即，

解得.

故选：C.

5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【详解】设事件A为不用现金支付，

则

故选：B.

6．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（    ）

A．40 B．39 C．38 D．37

【答案】C

【分析】利用中位数左右两边的小矩形的面积都等于即可求解.

【详解】年龄位于的频率为，

年龄位于的频率为，

年龄位于的频率为，

年龄位于的频率为，

因为，而

，

所以中位数位于，设中位数为，

则，

解得：，

故选：C.

7．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.

【详解】如图，延长交于点，

设，则，

因为共线，

所以，解得，

所以，，

则，

由，

得，即，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

8．若对，，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．12

【答案】B

【分析】构造奇函数，根据其奇偶性与最值之间的关系，结合其与的关系，即可求得结果.

【详解】令，定义域关于原点对称；

又；

由，，有可得：，

即，同时亦可得：，则;

故，则为奇函数，则其在对称区间上的最大值和最小值的和为，

又，故在上的最大值和最小值的和为.

故选：B.

二、多选题

9．下列四个选项，正确的有（    ）

A．在第三象限，则是第二象限角

B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为

C．若角的终边经过点，则

D．

【答案】ABD

【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；

，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；

对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，

则，，解得，又，即，解得，B正确；

对C：根据题意可得，故C错误；

对D：因为，，故，

故，D正确.

故选：ABD.

10．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（    ）

A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人

B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为

C．第5组志愿者被抽中的概率为

D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为

【答案】ABC

【分析】根据分层抽样得定义即可判断A；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC.

【详解】第3组的人数有人，

第4组的人数有人，

第5组的人数有人，故A正确；

设第3组的人分别为，第4组的人分别为，第5组的人分别为，

则6人中随机抽取2人有，

共15种抽法，

其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，

则其概率为，故B正确；

第5组志愿者被抽中有5种，

其概率为，故C正确；

第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，

其概率为，故D错误.

故选：ABC.

11．已知函数，则以下判断正确的是（    ）

A．若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 B．函数在上是增函数

C．方程有两个实根 D．函数的图象与直线有且只有一个公共点

【答案】AC

【分析】作出函数图象，借助图象判断A，C；探讨函数在上单调性判断B；在时求方程的根判断 D作答.

【详解】函数，当时，，作出函数的图象，如图，

函数有3个零点，即函数的图象与直线有三个交点，由图象可得实数m的取值范围是，A正确；

直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个实根，C正确；

函数在上是增函数，在上是减函数，在上不单调，B不正确；

令，即，解得或，即和是方程的两个根，

于是得函数的图象与直线至少有两个公共点，D不正确.

故选：AC

12．在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（    ）

A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则

C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则

【答案】ACD

【分析】对A，由重心可知，根据，，整理可得，即可判断；对B，由内心可知，结合，即可求解判断；对C，由等腰三角形的性质可得，由外心可知，结合余弦定理可得，进而判断；对D，由垂线可知，则，整理可得，而，代入求解，即可判断.

【详解】对于A选项，重心为中线交点，则，即，

因为，

则，

所以，，

所以，故A正确；

对于B选项，内心为角平分线交点，则，

即，所以，

由A选项，则，，

所以，故B错误；

对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，

因为，设为边的中点，

所以，，

所以，

因为，所以，

在中，，则，

，

所以，易知，所以，

所以，故C正确；

对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，

由C选项，因为，，

所以，

因为，则，即，

因为，所以，即，

因为，所以，

所以，

所以，解得，

所以，故D正确；

故选：ACD

【点睛】知识点点睛：的“四心”，可知：

（1）重心为中线交点，则；

（2）内心为角平分线交点，内切圆圆心，则；

（3）外心为垂直平分线交点，外接圆圆心，则；

（4）垂心为高线交点，则.

三、填空题

13．甲、乙两位同学高三次物理模拟考试成绩如图所示，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则______

【答案】.

【分析】根据数据的平均数和众数的概念和计算，列出方程，即可求解.

【详解】由茎叶图和众数的概念，可得乙的众数为，

因为甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，

所以，解得.

故答案为：.

14． 设，，，则的最小值为__________.

【答案】.

【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

15．若，，且，则的最大值为______．

【答案】

【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：由，

得，

因为，所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最大值为.

故答案为：.

16．若是边长为6的等边三角形，点满足，且（其中，），则的最小值为______．

【答案】##

【分析】利用模的运算公式，结合二次函数的性质求得的最小值.

【详解】依题意（其中，），

，

所以当，时，

取得最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，

(1)化简；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.

（2）利用平方的方法求得正确答案.

【详解】（1），，

，

，所以，

.

（2），，

两边平方得，

.

18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）

【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．

（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．

详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以，事件M发生的概率为P（M）=．

点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．

19．××市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了辆车的车速.现将所得数据分成六段：､､､､､，并绘得如图所示的频率分布直方图.

（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于的概率是多少？

（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？

（3）在抽取的辆且速度在内的汽车中任取辆，求这两辆车车速都在内的概率.

【答案】（1）；（2）()；（3）.

【分析】（1）计算出前四个小矩形的面积和即可；

（2）平均数的估计方法：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；

（3）用列举法求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．然后可得概率.

【详解】（1）由频率分布直方图得速度低于的频率为：，

∴现有某汽车途径该路口，则其速度低于的概率是；

（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是：

()；

（3）在抽取的辆且速度在内的汽车共有：

辆，

其中速度在[内的汽车抽取辆，设为､，

速度在内的汽车抽取辆，设为､､､，

从中任取辆，其基本事件为：､､､､､､､､､

､､､､､，总数为，

这两辆车车速都在内包含的基本事件为：

､､､､､，总数为，

∴这两辆车车速都在内的概率.

20．如图，在△AOB中，已知||= 2，|| = 2，∠AOB = 90°，单位圆O与OA交于C， = λ，λ（0，1），P为单位圆O上的动点.

（1）若 + = ，求λ的值；

（2）记||的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值.

【答案】（1）或，（2），最小值为

【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标，记，由 + = ，可得，从而可求得答案；

（2）由,当且仅当在上等号成立，可得，再结合二次函数的性质可得答案

【详解】解：（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标，则，记，则，

所以，

因为 + = ，所以，

所以，

所以，解得或，

（2）因为，当且仅当在上等号成立，

所以

因为，所以

21．如图，在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足．AP分别交EG、FH于M，N两点，记，．

(1)当时，用，表示；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解,

（2）利用三点共线得到，，，再利用 , ，得到之间的关系，用表示，然后利用函数的单调性求解取值范围即可

【详解】（1）当时，，则

所以

（2）连接,则

，

，

因为三点共线，三点共线，

设 ，

所以，

，

因为，所以，得

因为，所以,

所以，

，

因为，

所以，即，代入得

，

因为，所以解得，

因为，令，则，

因为在上单调递减，所以，

所以，

所以的取值范围为

22．已知函数满足,对于任意R都有,且

,令.

（1）求函数的表达式；

（2）求函数的单调区间；

（3）研究函数在区间上的零点个数.

【答案】（1）；

（2）当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和；

（3）当时，函数在区间上只有一个零点；当时，函数在区间上有两个不同的零点．

【分析】（1）由，可得，函数的对称轴为，得. 由判别式，可得，从而可得结论；

（2）求得 ，结合二次函数的对称轴位置，分类讨论，分别得到单调区间即可；

（3）分类讨论，结合（2）中的单调区间及零点存在定理进行判断函数的零点.

【详解】（1）∵，∴.

∵对于任意R都有,

∴函数的对称轴为，即，得.

又，即对于任意R都成立，

∴,且．

∵， ∴．

∴．

（2）

① 当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．

② 当时，函数的对称轴为，

则函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为

；

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为

和．

 （3）① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，

又，

故函数在区间上只有一个零点．

② 当时，则，而，

，

（ⅰ）若，由于，

且，

此时，函数在区间上只有一个零点；

（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间

上有两个不同的零点．  

综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；

当时，函数在区间上有两个不同的零点．

【点睛】分类讨论思想的常见类型 ：

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.