2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：抛物线的标准方程为： ，据此可知，抛物线的焦点坐标为： .

本题选择D选项.

点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．

2．“”是“直线与直线垂直”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】若直线与直线垂直，

则，

解得或，

又时，直线不存在，

所以，

故“”是“直线与直线垂直”的充要条件，

故选：C.

3．展开式中，的系数为（　　）

A． B．320 C． D．240

【答案】A

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以通项公式为：，

令，所以，

设二项式的通项公式为：，

令，所以，

因此项的系数为：，

故选：A.

4．已知圆上至多有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（　　）

A．（5，7] B．（5，7） C．（5，9] D．（5，9）

【答案】D

【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，由题意可得，解不等式即可得实数的取值范围.

【详解】由可得，

则即，

所以圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

因为圆上至多有两个点到直线的距离等于，

所以，即，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：.

5．如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离.

【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，

,

则，

则,，，，

设平面的一个法向量，

则，令，则，且面，

则，即，得，故，

所以，，

，则，

P到AB的距离为.

故选：C

6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与两条渐近线分别交于点（其中点A在第一象限），满足，且，则C的离心率为（　　）

A．2 B．6 C． D．6

【答案】B

【分析】根据已知条件分别求出两点坐标,再应用在渐近线上,计算即可

【详解】由双曲线可得渐近线方程为，，

因为,所以在以为直径的圆上,且（点A在第一象限）在渐近线上,

联立,解得,可得,,设

又因为,,

所以，解得,又因为在渐近线上,

所以,即得,则离心率

故选:.

7．定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（　　）

A．20 B．56 C．84 D．120

【答案】C

【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可.

【详解】因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数,所以按首位数字分别计算

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

当首位数字为,则剩余三位数分别是,共有个幸运数;

则共有个幸运数;

故选:.

8．空间四边形边长为，对角线的长为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知，，进而根据向量夹角求解即可.

【详解】解：因为空间四边形边长为，对角线的长为，

所以，，

所以，

，

因为为的中点，

所以，，

所以

因为

，即，

，即，

所以，，

所以，异面直线与所成角的余弦值为

故选：Ｃ

二、多选题

9．在二项式展开式中，下列说法正确的是（　　）

A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64

C．有理项共有4项 D．常数项为第五项

【答案】BCD

【分析】先写出二项式展开式的通项公式,再逐个判断选项即可.

【详解】二项式展开式通项公式为,

对于:第三项的二项式系数为,故错误;

对于:所有项的二项式系数之和为,故正确;

对于:展开式中当时,共有4项有理项,故正确;

对于:当展开式通项为常数项时, ,令,

则,则常数项为第五项,故正确.

故选:

10．一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面与圆柱的轴所成角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（　　）

A．短轴长为2r B．长轴长为

C．焦距为2rtanθ D．离心率为cosθ

【答案】AD

【分析】由题设可得短轴长，平面与圆柱的轴所成角大小为长轴长，进而求出焦距、离心率即可.

【详解】由题意，椭圆短轴长，平面与圆柱的轴所成角大小为,而长轴长随变大而变短且，

所以，焦距为，故，

综上，、正确，、错误.

故选：.

11．已知动圆C：，P为直线l：上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（　　）

A．圆C恒过定点；

B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π；

C．四边形PACB的面积的取值范围为

D．当时，的正弦值的取值范围为

【答案】ABD

【分析】分析可得动圆的圆心，半径，C在以圆心，半径的圆上.

对A，由可判断；

对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；

对C，四边形PACB的面积，分析的范围即可求；

对D，由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求.

【详解】动圆的圆心，半径，

令，则由得C在以圆心，半径的圆上.

对A，由得圆C恒过定点，A对；

对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，即，B对；

对C，过点P做圆C的两条切线，切点为A、B ，则，则四边形PACB的面积，

当时，最短，故，故，C错；

对D，，

∵，由C得，，

令，则，则，

∵在上单调递增，故，D对.

故选：ABD

12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（　　）

A．∠AOB一定为钝角

B．若，则直线AB的斜率为

C．若点M在x轴上点F右侧，，，则

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】设直线的方程为，利用设而不求法确定点的坐标关系，计算的夹角，判断A；结合抛物线的定义求直线的斜率判断B；结合设而不求法证明为直角，由此列方程求点的坐标；结合抛物线定义表示，利用基本不等式求其最小值.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

当直线的斜率为0时，直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，

故可设直线的方程为，

对于选项A， 联立，消，得，

方程的判别式，

设，，则，

，

所以，所以，

即∠AOB一定为钝角，A正确；

对于选项B，因为，所以，又，，

则，又，

故，所以，所以直线直线AB的斜率为，B错误；

对于选项C，因为，所以，所以，

因为，所以四点共圆，

故，所以，所以，故，所以点的坐标为，C错误；

对于选项D，因为，

所以，，故，当且仅当时等号成立，

由，可得，，

所以当，时，取最小值，最小值为，D正确；

故选：AD.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

三、填空题

13．已知，则___________.

【答案】或

【分析】由组合数的性质可求得的值.

【详解】由组合数的性质可得，故或.

故答案为：或.

14．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________.

【答案】

【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.

【详解】圆，即，圆心为，半径.

圆，即，圆心为，半径.

圆心角，所以两圆外切，

由解得，

所以两圆切点的坐标为，

，所以公切线的斜率为，

所以公切线的方程为，即

故答案为：

15．把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.

【答案】

【分析】分两种情况：一人3本，三人1本和两人2本，两人1本，先分成4堆，然后再分给甲乙丙丁4个人.

【详解】若有一人3本，三人1本，有种分配方法；

若有两人2本，两人1本，有种分配方法；

则共有种分配方法.

故答案为：

16．设点P（，），Q（，）.定义P，Q两点的“直角距离”为已知点A和点B分别为直线与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据新定义，利用参数法，表示出椭圆上一点与直线上一点的“直角距离”，然后分类讨论求出最小值．

【详解】设直线上的任意一点坐标，

椭圆上任意一点的坐标为

由题意可知

分类讨论：

①，

②

③，

∴椭圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值为．

故答案为：

四、解答题

17．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.

(1)求点和点的坐标：

(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出直线的方程，联立直线和直线的方程可求得点的坐标，设点，根据点在直线上以及线段的中点在上可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标；

（2）计算出、、，比较大小后可得出圆的半径，即可得出圆的方程.

【详解】（1）解：因为边上的高线所在直线的方程为，

且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，

联立直线和直线的方程可得，解得，即点，

设点，则线段的中点为，

由题意可得，解得，即点.

（2）解：因为，，

，则，

故圆的半径为，所以，圆的方程为.

18．如图，正方形与梯形ABEF所在平面互相垂直，已知.

(1)求证：平面

(2)求平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)应用线面平行判定定理证明即可.

(2)空间向量法求面面角余弦值.

【详解】（1）取中点,连接,因为,所以四边形是平行四边形,又因为四边形是正方形,所以,

所以四边形是平行四边形,可得平面,平面,所以平面

（2）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面，

AD平面ABCD，所以AD⊥平面ABEF，又，以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

设，则A（0，0，0），E（3，2，0），C（3，0，3）

取平面ADF的一个法向量

设平面ACE的一个法向量，则，即，

令，则

则

所以平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值.

19．设直线，点A和点B分别在直线和上运动，且（其中O为坐标原点）.

(1)求AB的中点T的轨迹方程C：

(2)是否存在直线满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】(1)相关点法求轨迹方程即可;

(2)联立方程后用向量法转化直径问题,代入根与系数关系式求解即可.

【详解】（1）设A（，），B（，），T（）

由得，得

因为 ，得

所以

化简得.

（2）联立直线方程与曲线方程

化简得

由且得且

设M（x1，），N（，），则

曲线C的右焦点,由已知以MN为直径的圆过右焦点可得

化简得，解得或，均符合且

所以存在，或.

20．如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．

(1)求证：；

(2)若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理即得；

（2）建系，利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）取BD中点H，连接EH， FH，

因为，则，

故，

因为，EH，FH平面EFH，

所以BD⊥平面EFH，

因为EF平面EFH，

所以；

（2）因为△BCD为直角三角形，且，

所以，又因为△EBD为等边三角形，

所以，△AEH为等边三角形，

取点O为AH中点，则，

∵，

则，又，平面，

∴平面，即四点共面，

又∵平面，

所以，又，平面，

所以EO⊥平面ABD，

过点O作交AD于点M，则，

以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面ABE的法向量为，则,

令，则，得

∵，

所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为.

21．已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于两点，其中.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若（其中O为坐标原点），求k：

(3)证明：是定值.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可；

（2）由分析得，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k；

（3）直接由斜率公式化简求值即可.

【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为.

（2）直线l交y轴于，因为，则，所以，

联立直线方程与椭圆方程得，由得或，

由韦达定理得，

把代入上式得①，②，

得，解得，符合或，所以.

（3）证明：由韦达定理得

22．已知抛物线，点在抛物线上，直线在点下方，直线l与抛物线交于B，两点.

(1)证明：内切圆的圆心在定直线上：

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由的对称性,内切圆圆心在定直线上可证;

(2)先写出三角形面积再应用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）联立直线与抛物线方程得

则得.

设B（，），C（，），则由韦达定理得，则

则的角平分线为，则△ABC内切圆的圆心在定直线上..

（2）

点A到直线BC的距离为，则

当且仅当，即，等号成立

面积的最大值为.