还剩15页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版九年级数学上册【精品最全面复习卷21-23章】
成套系列资料，整套一键下载
初中人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步测试题
展开
这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步测试题，共18页。
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利润(销售)问题（中考常考点）
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
4.几何问题
通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小。
【典型例题】
类型一、传播问题
1．某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染．
(1)每轮感染中平均1人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【答案】(1)8人 (2)会
【分析】
（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
解：(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均1人会感染8人．
(2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．
解：依题意得1+x+x（1+x）=64，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．
【答案】x2+x+1＝73
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝73．
故答案为x2+x+1＝73．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
类型二、增长率问题
2．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．
【答案】(1)10% (2)9
【分析】
（1）设该水果每次降价的百分率为y，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解．
解：(1)设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该水果每次降价的百分率为10%．
(2)依题意，得，
解得x1＝9，x2＝11（舍去）．
答：x的值为9．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】 小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元，求这两年小滨家年收入的平均增长率．设这两年年收入的平均增长率为x．根据题意所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设这两年年收入的平均增长率为x，然后根据小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元列出方程求解即可．
解：设这两年年收入的平均增长率为x，
由题意得，
故选C．
【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
【变式2】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为60元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 _____．
【答案】
【分析】设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
解：设平均每次降价的百分率是，根据题意，得：
根据题意，得：
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．
类型三、与图形有关的问题
3.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cp15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
(1)设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为_________米；
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
【答案】(1)36-2x (2)当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为12米
【分析】
（1）垂直于墙的边长是x米，有两条边长，平行于墙的边长只有一条，这样就可以求出来；
（2）花圃的面积=长×宽，令面积等于144即可求出来；
解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为36-2x米；
(2)设花圃的面积为S平方米
∴S=（36-2x）·x=144
解得x=12
答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．解决本题的关键在于用未知数表示长和宽，并求出其面积．
举一反三：
【变式1】 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设道路的宽为xm，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的长为，宽为，根据长×宽=77m2，列出方程即可．
解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(12−x)(8−x)=77，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，且得出长为，宽为，是解题的关键．
【变式2】《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道他的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？若设长为步，则列方程为________．
【答案】
【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：设长为步，则宽为步，
根据题意得：，
故答案为：
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
类型四、数字问题
4.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5，理由见分析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x(x+8)=65，
解得x1=-13（舍去），x2=5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点拨】 此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
【变式2】某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______
【答案】11
【分析】设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．
解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：
，
即
解得： ．
故答案为：11
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
类型五、营销问题
5.某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)每件降价20元 (2)不可能，理由见分析
【分析】
（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
(1)解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
(2)解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
举一反三：
【变式1】 小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是( )
A．20件B．24件C．20件或30件D．30件
【答案】A
【分析】设小强购买了这种服装x件，则每件的价格为（100-2x）元，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小强购买了这种服装x件．
由题意得：，
解得：x1=20，x2=30．
∵80－2(x－10)≥50，
∵x≤25，
∴x=20．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
类型六、动态几何问题
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0【答案】当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【分析】当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，
依题意得×2t(6－t)＝8，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒或秒
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
解：由题意，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选D．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【答案】1
【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
类型七、工程问题（只有解答题和选择题各一个题）
7.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400
【分析】
（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．
(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子
由题意得：解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
(2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子
由题意得：
整理得：
解得：，，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点拨】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28D．x（x-1）=28
【答案】D
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x−1），由此可得出方程．
解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x−1）＝28，故选：D．
【点拨】本题考查由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
【变式2】．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．
【答案】
【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了45场，
，
故答案为．
【点拨】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
类型八、行程问题
8.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9
【分析】
（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），
那么从刹车到停车所用的时间是s；
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，
则这段路程内的平均车速为，
所以x（20-4x）＝15，
整理得：4x²-20x＋15＝0，
解得：，
∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
举一反三：
【变式1】 小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x．
解：小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：
x•=5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．
∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．
【变式2】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
【答案】
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
类型九、图表信息问题
9、某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】
（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
A．0B．3.5C．3.8D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
解：时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
【变式2】把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300．
【答案】24
【分析】据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），根据题意列方程即可求解．
解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1），
由题意得，n（n+1）＝300，
解得，
∵n＞0，
∴n＝24．
故答案为：24
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用等知识，归纳出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1）是解题的关键．
类型十、其他问题
10、陕西某景区吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3 000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少万人？门票价格应是多少元？
【答案】10万人、300元
【分析】设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，根据题中的图中信息，利用待定系数法即可求解出每周旅游人数y与票价x之间存在一次函数关系，再根据题意列出一元二次方程即可求解．
解：设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，
∵每周旅游人数与票价之间存在一次函数关系，
∴设一次函数为y＝kx＋b，
则有，
解得：，
∴．
由题意得：，
解得＝100，＝300．
当x＝100时，y＝30；
当x＝300时，y＝10．
∵既要控制人数又要保证收入，
∴每周应限定旅游人数是10万人，门票价格应是300元．
【点拨】本题主要考查一次函数与一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一次函数解析式和方程，是解题的关键．
举一反三：
【变式】 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是( )
A．5 cm，15 cmB．12 cm，8 cmC．4 cm，16 cmD．10 cm，10 cm
【答案】D
【分析】根据题意设一段线段长为x，列方程，求解即可．
解：设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，
由题意得，
解得，
此时20-x=20-10=10，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出方程．时间/天
x
销量/kg
120－x
储藏和损耗费用/元
3x2－64x＋400
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
2
3
4
5
6
5
13
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利润(销售)问题（中考常考点）
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
4.几何问题
通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小。
【典型例题】
类型一、传播问题
1．某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染．
(1)每轮感染中平均1人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【答案】(1)8人 (2)会
【分析】
（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
解：(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均1人会感染8人．
(2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．
解：依题意得1+x+x（1+x）=64，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．
【答案】x2+x+1＝73
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝73．
故答案为x2+x+1＝73．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
类型二、增长率问题
2．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．
【答案】(1)10% (2)9
【分析】
（1）设该水果每次降价的百分率为y，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解．
解：(1)设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该水果每次降价的百分率为10%．
(2)依题意，得，
解得x1＝9，x2＝11（舍去）．
答：x的值为9．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】 小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元，求这两年小滨家年收入的平均增长率．设这两年年收入的平均增长率为x．根据题意所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设这两年年收入的平均增长率为x，然后根据小滨家2019年年收入25万元，2021年年收入达到36万元列出方程求解即可．
解：设这两年年收入的平均增长率为x，
由题意得，
故选C．
【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
【变式2】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为60元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 _____．
【答案】
【分析】设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
解：设平均每次降价的百分率是，根据题意，得：
根据题意，得：
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．
类型三、与图形有关的问题
3.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cp15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
(1)设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为_________米；
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
【答案】(1)36-2x (2)当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为12米
【分析】
（1）垂直于墙的边长是x米，有两条边长，平行于墙的边长只有一条，这样就可以求出来；
（2）花圃的面积=长×宽，令面积等于144即可求出来；
解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为36-2x米；
(2)设花圃的面积为S平方米
∴S=（36-2x）·x=144
解得x=12
答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．解决本题的关键在于用未知数表示长和宽，并求出其面积．
举一反三：
【变式1】 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设道路的宽为xm，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的长为，宽为，根据长×宽=77m2，列出方程即可．
解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(12−x)(8−x)=77，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，将四块栽种花草的小长方形拼成一个大长方形，且得出长为，宽为，是解题的关键．
【变式2】《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道他的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？若设长为步，则列方程为________．
【答案】
【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：设长为步，则宽为步，
根据题意得：，
故答案为：
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
类型四、数字问题
4.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5，理由见分析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x(x+8)=65，
解得x1=-13（舍去），x2=5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点拨】 此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
【变式2】某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______
【答案】11
【分析】设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．
解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：
，
即
解得： ．
故答案为：11
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
类型五、营销问题
5.某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)每件降价20元 (2)不可能，理由见分析
【分析】
（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
(1)解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
(2)解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
举一反三：
【变式1】 小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是( )
A．20件B．24件C．20件或30件D．30件
【答案】A
【分析】设小强购买了这种服装x件，则每件的价格为（100-2x）元，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小强购买了这种服装x件．
由题意得：，
解得：x1=20，x2=30．
∵80－2(x－10)≥50，
∵x≤25，
∴x=20．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
类型六、动态几何问题
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0
【分析】当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，
依题意得×2t(6－t)＝8，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒或秒
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
解：由题意，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选D．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【答案】1
【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
类型七、工程问题（只有解答题和选择题各一个题）
7.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400
【分析】
（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．
(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子
由题意得：解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
(2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子
由题意得：
整理得：
解得：，，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点拨】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28D．x（x-1）=28
【答案】D
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x−1），由此可得出方程．
解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x−1）＝28，故选：D．
【点拨】本题考查由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
【变式2】．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．
【答案】
【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了45场，
，
故答案为．
【点拨】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
类型八、行程问题
8.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9
【分析】
（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），
那么从刹车到停车所用的时间是s；
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，
则这段路程内的平均车速为，
所以x（20-4x）＝15，
整理得：4x²-20x＋15＝0，
解得：，
∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
举一反三：
【变式1】 小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x．
解：小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：
x•=5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．
∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．
【变式2】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
【答案】
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
类型九、图表信息问题
9、某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】
（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
A．0B．3.5C．3.8D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
解：时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
【变式2】把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300．
【答案】24
【分析】据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），根据题意列方程即可求解．
解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1），
由题意得，n（n+1）＝300，
解得，
∵n＞0，
∴n＝24．
故答案为：24
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用等知识，归纳出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1）是解题的关键．
类型十、其他问题
10、陕西某景区吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3 000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少万人？门票价格应是多少元？
【答案】10万人、300元
【分析】设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，根据题中的图中信息，利用待定系数法即可求解出每周旅游人数y与票价x之间存在一次函数关系，再根据题意列出一元二次方程即可求解．
解：设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，
∵每周旅游人数与票价之间存在一次函数关系，
∴设一次函数为y＝kx＋b，
则有，
解得：，
∴．
由题意得：，
解得＝100，＝300．
当x＝100时，y＝30；
当x＝300时，y＝10．
∵既要控制人数又要保证收入，
∴每周应限定旅游人数是10万人，门票价格应是300元．
【点拨】本题主要考查一次函数与一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一次函数解析式和方程，是解题的关键．
举一反三：
【变式】 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是( )
A．5 cm，15 cmB．12 cm，8 cmC．4 cm，16 cmD．10 cm，10 cm
【答案】D
【分析】根据题意设一段线段长为x，列方程，求解即可．
解：设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，
由题意得，
解得，
此时20-x=20-10=10，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出方程．时间/天
x
销量/kg
120－x
储藏和损耗费用/元
3x2－64x＋400
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
2
3
4
5
6
5
13
相关试卷
人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.23 位似（知识讲解）： 这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.23 位似（知识讲解），共20页。
人教版九年级上册22.1.1 二次函数习题： 这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数习题，共11页。
初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程精品当堂达标检测题： 这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程精品当堂达标检测题，文件包含重难点讲义人教版数学九年级上册-知识点213实际问题与一元二次方程原卷版docx、重难点讲义人教版数学九年级上册-知识点213实际问题与一元二次方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
